2013年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目

高考数学讲座—— 导数的应用 高三数学组 栗文玲 2014.09.19 考情分析：导数及其应用一直是高考数学的重点，热点也是难点，特别是通常出现在理科数学试卷的压轴题中，对考生数学能力的要求较高， 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 往往具有挑战性，是能否取得高分的关键。 复习要点：在导数的复习备考中要努力通过以下三关：第一关，会求函数的导函数，即能准确，熟悉地根据导数的运算法则及其基本函数的导数，求出题目中函数的导数，特别要注意运算的准确性，它关系后面结果的对错，第二关，会直接应用导数解题，如利用导数求函数单调性，最值等，第三关，会构造应用，能对试题所涉及的函数进行合理的改造和变形，然后再利用导数解决。 破解技巧：（1）熟悉运用导数研究函数性质的基本程序：先求函数定义域，再求导数，确定导函数的零点，由此可得函数的单调性及最值。 （2）对于含参变量的最值问题，特别要注意分类讨论思想的应用。 （3）对于比较陌生的创新问题，要注意等价转化的思想，化为熟悉的基本问题。 （4）若试题有若干个小题，则特别注意前后小题之间的联系，要利用前面小题所得的结论解决后面问题的意识。 典型例题讲解： 1.（2013北京卷18题）(本小题共13分) 设l为曲线C： 在点(1，0)处的切线. ( )求l的方程； ( )证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方 练习1.已知函数f(x)=x2e-x, (1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。 例2已知函数 （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极值． 解：函数 的定义域为 ， ． （Ⅰ）当 时， ， ， ， 在点 处的切线方程为 ， 即 ． （Ⅱ）由 可知： ①当 时， ，函数 为 上增函数，函数 无极值； ②当 时，由 ，解得 ； 时， ， 时， 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值． 综上：当 时，函数 无极值 当 时，函数 在 处取得极小值 ，无极大值． 4.（2013广东卷21题）．（本小题满分14分） 设函数 (其中 ). (Ⅰ) 当 时,求函数 的单调区间； (Ⅱ) 当 时,求函数 在 上的最大值 . 【解析】(Ⅰ) 当 时, , 令 ,得 , 当 变化时, 的变化如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf : 极大值 极小值             右表可知,函数 的递减区间为 ,递增区间为 , . (Ⅱ) , 令 ,得 , , 令 ,则 ,所以 在 上递增, 所以 ,从而 ,所以 所以当 时, ；当 时, ； 所以 令 ,则 , 令 ,则 所以 在 上递减,而 所以存在 使得 ,且当 时, , 当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 因为 , , 所以 在 上恒成立,当且仅当 时取得“ ”. 综上,函数 在 上的最大值 . 5.（2013广西卷22题）．（本小题满分12分） 已知函数 （ ）若 ； （ ）设数列 6.（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0 7.（2013年河南山西河北卷 21）（本小题满分共12分） 已知函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 （Ⅰ）求 ， ， ， 的值 （Ⅱ）若 ≥－2时， ≤ ，求 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】（Ⅰ）由已知得 ， 而 = ， = ，∴ =4， =2， =2， =2；4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ， 设函数 = = （ ）， = = ， 有题设可得 ≥0，即 ， 令 =0得， = ， =－2， （1）若 ，则－2＜ ≤0，∴当 时， ＜0，当 时， ＞0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取最小值 ，而 = = ≥0， ∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立， (2)若 ，则 = ， ∴当 ≥－2时， ≥0，∴ 在(－2,+∞)单调递增，而 =0， ∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立， (3)若 ，则 = = ＜0， ∴当 ≥－2时， ≤ 不可能恒成立， 综上所述， 的取值范围为[1, ]. 8.（2013湖北卷22题）设 是正整数， 为正有理数。 （ ）求函数 的最小值； （ ）证明： ； （ ）设 ，记 为不小于 的最小整数，例如 ， ， 。令 ，求 的值。 （参考数据： ， ， ， ） 证明：（ ） 在 上单减，在 上单增。 （ ）由（ ）知：当 时， （就是伯努利不等式了） 所证不等式即为： 若 ，则 ………… ， ，故 式成立。 若 ， 显然成立。 ………… ， ，故 式成立。 综上可得原不等式成立。 （ ）由（ ）可知：当 时， 9.（2013年湖南卷22题）（本小题满分13分） 已知 ，函数 。 （ ）；记 求 的表达式； （ ）是否存在 ，使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。 10.（2013年江苏卷20题）．（本小题满分16分） 设函数 ， ，其中 为实数． （1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围； （2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1） ≤0在 上恒成立，则 ≥ ，  ． 故： ≥1． ， 若1≤ ≤e，则 ≥0在 上恒成立， 此时， 在 上是单调增函数，无最小值，不合； 若 ＞e，则 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数， ，满足．故 的取值范围为： ＞e． （2） ≥0在 上恒成立，则 ≤ex， 故： ≤ ． ． (ⅰ)若0＜ ≤ ，令 ＞0得增区间为(0， )； 令 ＜0得减区间为( ，﹢∞)． 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 当x＝ 时，f( )＝﹣lna－1≥0，当且仅当 ＝ 时取等号． 故：当 ＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜ 时，f(x)有2个零点． (ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点． (ⅲ)若a＜0，则 在 上恒成立， 即： 在 上是单调增函数，当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点． 综上所述：当 ＝ 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜ 时f(x)有2个零点． 11.（2013年江西卷题）. (本小题满分14分) 已知函数 ， 为常数且 . (1) 证明：函数 的图像关于直线 对称； (2) 若 满足 ，但 ，则称 为函数 的二阶周期点，如果 有两个二阶周期点 试确定 的取值范围； (3) 对于（2）中的 和 ， 设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性. 12.（2013年辽宁卷22题）（本小题满分12分） 已知 ，其中 ．设 ． （ ）写出 ； （ ）证明：对任意的 ，恒有 ． （22）本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分． （ ）解：由已知推得 ，从而有 ．    3分 （ ）证法一：当 时， ， 当 时， ，所以 在 上是增函数． 又 是偶函数，所以 在 上是减函数． 所以对任意的 ， ，恒有 ．    7分 ． ，    10分 ． 因此结论成立．    12分 证法二：当 时， ， 当 时， ，所以 在 上是增函数． 又 是偶函数，所以 在 上是减函数． 所以对任意的 ， ，恒有 ．    7分 ， 又 ， ，    10分 ．因此结论成立．    12分 证法三：当 时， ， 当 时， ，所以 在 上是增函数． 又 是偶函数，所以 在 上是减函数． 所以对任意的 ， ，恒有 ．    7分 ， 由 ，得 ．    10分 ． 因此结论成立．    12分 证法四：当 时， ， 当 时， ，所以 在 上是增函数． 又 是偶函数，所以 在 上是减函数． 所以对任意的 ， ，恒有 ．    7分 对上式两边求导，得 ， ， ．    10分 ． 因此结论成立．    12分 13. （2013年山东卷21题）（本小题满分13分） 　 设函数 是自然对数的底数， . （1）求 的单调区间，最大值； （2）讨论关于x的方程 根的个数. 解答：（1） ，令 得， ， 当 所以当 时，函数取得最的最大值 （2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 ，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。 故令f(1)=0得， ， 所以当 时，方程有两个根； 当 时，方程有一两个根； 当 时，方程有无两个根. 14.（2013年陕西卷21题）.(本小题满分14分) 已知函数 . (Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数. (Ⅲ) 设a 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】(Ⅰ) ;        (Ⅱ) 当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点； (Ⅲ) > 【解析】(Ⅰ)  f (x)的反函数 . 设直线y＝kx＋1与 相切与点 。所以 (Ⅱ)  当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。 由 ， 则 h(x)在 h(x) . 所以对曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下： 当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点； (Ⅲ) 设 令 。 ，且 。 所以 15.（2013年上海卷22题） 设函数 . （1）当 时，求函数 在区间 内的零点； （2） 设 ，证明： 在区间 内存在唯一的零点； （3）设 ，若对任意 ，有 求 的取值范围． （2）证明：因为 ， 。所以 。所以 在 内存在零点 。                ，故 内 16.(2013年四川卷21题)（本小题满分14分） 已知函数 ，其中 是实数，设 ， 为该函数图象上的点，且 . （I）指出函数 的单调区间； （II）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值；（III）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围。 17. (2013年天津卷20题)(本小题满分14分) 已知函数 . (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使 . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为 , 证明: 当 时, 有 . 18.（2013浙江卷21题）．(本小题满分14分)已知a＞0，b R，函数 ． (Ⅰ)证明：当0≤x≤1时， (ⅰ)函数 的最大值为|2a－b|﹢a； (ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0； (Ⅱ) 若﹣1≤ ≤1对x [0，1]恒成立，求a＋b的取值范围． 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。