数学史在教学中的作用

数学史在教学中的作用 浅谈数学史在大学数学教学中的作用 摘 要:文章从四个方面阐释了数学史在大学数学教学中的重要作用。数学史既是大学数学的一部分，又能作为数学与人文学科之间的桥梁与纽带激发学生学习大学数学的兴趣。 在大学数学教学中融入数学史教育， 还能有效的促进学生良好道德品质的养成以及非智力因素的发掘。 关键词:数学史 大学数学 教学 1992年,联合国教科文组织在里约热内卢宣言中指出:“纯粹数学与应用数学是理解 [1]世界及其发展的一把主要钥匙”，各个学科都需要这把钥匙，文科当然也不例外。文科学生系统地学习一些基础数学理论十分必要。但是，由于文科学生思维习惯、文化修养等方面与理科学生的不同，使得文科学生对数学学习有畏难感。因此，如何激发文科学生学习数学的兴趣，使得不同专业的文科学生都能在数学学习中有所收获，是大学文科数学教学的一个重点和难点。而数学史对于大学数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。认识到数学史在大学数学教学中的作用，并将数学史与大学数学教学紧密的结合起来，不但能有效的激发学生学习数学的兴趣，而且对于提高其数学方面的素质修养以及逻辑思维能力、启发文科学生的人格成长、发展其认知能力等都有十分重要的作用。 1 数学史是大学数学教学的重要的组成部分 俗言说的好“冰冻三尺非一日之寒”。数学知识的发生和发展过程其实就是数学家与困难、问题的斗争史。数学本身不仅是一门科学，而且还是一种精神，一种探索精神。比如，微积分是由牛顿、莱布尼兹、欧拉、维尔斯特拉斯等多位大数学家前赴后继，历尽艰辛，历时千年才建立和发展完善的。了解数学理论知识建立的历史，不但可以使学生对所 1 学知识有一个全局的完整的认识，而且可以使学生学会由易到难、由已知到未知，逐步的克服障碍，在探索中学习。 2 数学史可以构建数学与人文之间的桥梁，激发学生学好大学数学的兴趣 数学学科的抽象性、严密的逻辑性, 使得很多学生有畏难心理, 大学数学的学习也相应的恶化成枯燥无味的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 记忆和解题演练。荷兰数学家和教育家赖登塔尔就批评那种注 [2]重逻辑严密性、而没有丝毫历史感的教育乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”。因此, 如何构建数学与人文之间的桥梁, 激发学生学习的兴趣就成了教师的首要任务。 2.1人类的文明史与数学史是密不可分的 数学是各个时代人类文明的标志之一。数学对整个人类文明产生了不容质疑的影响，无论是物质文明还是精神文明两方面都是这样。数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在它直接或间接参与了从根本上改变人类物质生活方式的三次重大的产业革命。比如，第一次产业革命的主体技术是蒸汽机、纺织机等，它们的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 涉及对运动与变化的计算，而这只有在微积分发明后才有可能。又如，原子能的释放，首先是由于爱因士坦利用数学工具导出的著名公式揭示出质能转化的可能性。而现在的航天事业的发展更离不开数学的参与。“神舟飞船”的历次成功飞行都离不开数学家的参与。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。比如，日心说的决定性胜利是在牛顿用当时最新的数学工具——微积分和严密的数学推理从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳系的运动之后。哥白尼的学说得到证实恰是通过这样的事实:天文学家加勒根据几位数学家在数学上的推算和预报找到了一颗新的行星——海王星。在大学数学的教学中，在学到相关数学知识的时候，适时的将数学知识与其在促进当时社会的发展联系起来，使学生认识到数学与 2 人们的生活息息相关，其来源于生活、服务于生活。这将有助于树立学生对数学课正确的认识，增强学习兴趣。2.2数学史的学习有助于学生体会到数学中的美学价值 不同的专业有不同的美，不同专业的学生有不同的美的视角。比如，外国语专业的学生可能在专业学习中较多的体会到语言的简洁美，而艺术专业的学生可能在专业学习中更多体会到是艺术的直观美。在美学方面，数学与许多学科有共性的美，也有个性的美。数学中处处充满着简洁美、奇异的美、对称的美、抽象的美。爱因斯坦说过:“这个世界可 [3]以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成”。一系列的数学史实则是数学美的主要表现形式。比如，0.618„，它被中世纪学者、艺术家达•芬奇誉为“黄金数”，他也被德国天文学家、物理学家、数学家开普勒赞为几何学中的两大“瑰宝”之一(另一即为“勾股定理”)。事实上，黄金比值一直贯穿着古代中东和中西方的建筑艺术。无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的巴特农神庙;无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎的埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴涵着0.618„这一黄金比值(它显然展示着数学美感)。在教学过程中，介绍数学中的美学，将为数学与人文学科构建起一道沟通的桥梁，同时，也增加了数学本身的魅力，提高学生的学习兴趣。 3 数学史在大学数学教学中具有重要的德育功能 3.1大学数学教学中融入数学史教育有助于学生辩证唯物主义观点的培养 数学中蕴涵着丰富的辩证唯物主义的思想。在数学史上，数学概念的形成与演变，重要思想方法的确立与发展，重大理论的创立与变革等，无不体现唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化。比如，自从数学中引入了变量，运动就进入了数学。在高等数学中至始至终贯穿着动态的变量的思想，函数就是这一思想的具体体现。通过函数出现历史的 3 介绍，就可以教会学生学会用变化、运动的观点看待事物、看待世界。在大学数学教学中融入数学史，既可以使学生认识到数学的价值，又有助于学生辩证唯物主义观点的培养。辩证唯物主义观点对于学生养成科学的思维方法、富有创新意识是非常重要的。 3.2大学数学教学中融入数学史教育是对学生进行爱国主义教育的很好途径 作为人类三大文明之一，古老的中国文明在数学方面曾经创造了许多的辉煌。作为中 世纪数学的主角之一，我国古代的数学发展当时处于世界领先地位(在宋元时期曾达到鼎盛)。我国西汉时期的数学专著《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。其涉及的算术、代数以及几何知识都走在世界的前列。南北朝时期的数学家祖冲之最早用22/ 7 和355/ 113 表示π的近似值并将它准确到小数点后7 位数, 而355/ 113更被后人尊称为“祖率”。其子祖暅在公元6 世纪提出的“祖氏原理”, 比欧洲数学家卡瓦列利于1635 年提出相同的定理整整早了1000多年。同时, 我国古代还涌现出了像刘徽、朱世杰、秦九韶 [4]等诸多世界一流的数学家, 他们的成就令世人瞩目。但是从14 世纪后, 我国的数学明显的衰落了。尽管早在刘徽的割圆术中就体现了极限思想, 但至新中国成立前, 在世界近现代数学蓬勃发展的历史中几乎是交了白卷。在近代数学发展的历史上, 数学史上更多的出现的是高斯、黎曼、柯西等一系列的西方数学家的名字，中国数学家甚至东方数学家鲜有出现。在教学中简单的介绍相关的数学史，可以使学生对我们国家的灿烂的文明自豪的同时，也可激发学生为中华只之崛起而奋发学习的爱国热情。因此, 在大学数学的教学中,适时地穿插相关的数学史事, 既能极大地激发学生学好大学数学的历史使命感, 又能增 强其学习数学的无穷动力。 4 在大学数学教学中融入数学史教学将有助于学生的非智力因素的发掘 4 首先，有助于培养学生踏实细微、严肃认真、精益求精的良好品质。牛顿曾经说过:“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”数学学科的一个显著特点就是精确性，所谓“差之毫厘，失之千里”。在人类为实现“飞天”梦想的过程中，就因为“粗心”而上演了十分悲壮的史剧。1967年8月23日，前苏联著名宇航员费拉迪米尔?科马洛夫，独自一人驾驶联盟一号宇宙飞船，经过一昼夜的飞行，完成了任务，胜利返航。但当飞船返回大气层后，准备打开降落伞以减慢飞船速度时，科马洛夫发现无论用什么办法也打不开降落伞了。二小时后，在亿万电视观众的注视下，一声爆炸，飞船坠毁，民族英雄殉难。造成联盟一号坠毁的原因，就是因为地面检查时，忽略了一个小数点，这场悲剧，也可以叫做对一个小数点的忽略。这则与数学有关的真实故事，既说明了数学活动是何等需要严密谨慎，踏实细微、精益求精的工作作风，又生动的说明了自然规律如何，客观公正而又铁一般地起着作用。在大学数学的教学活动中，及时的举出一些类似的例子，将使课堂变的生动有趣，更重要的是对学生的踏实细微的优秀品格的形成大有助益。而这种优秀的品质对各个专业的学生都是必需的。 其次，有助于培养学生的理性思维能力。对于学习大学数学的文科学生来说，其形象思维能力教强，形象思维丰富多彩。而纵观整个数学发展史，可以说就是一种创造的演化史。在创造的过程中，更多的是理性思维的力量。比如，描述极限的ε，δ语言的出现，就是人类理性思维的美的体现，这套语言克服了以往对极限直观描述的随意性、抽象性。数学是人类思维所能达到的最严谨的理性。通过结合数学史的教学，可以更好的提高学生理性思维能力，从而促进学生的综合素质的提高。 5 最后，有助于养成兼收并蓄、善于学习的良好习惯。牛顿曾经说过:“如果我看的更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。从数学史的学习中，学生还可以认识到科学事业需要全人类的共同努力，需要对前人的许多知识批判性的继承，闭关锁国、闭门造车，只能造成自大和落后。在牛顿开创微积分以后，英国大陆数学发展的滞后就是典型的自我封闭的恶果。作为新时代的大学生, 应该有开阔的视野，敢于学习国内外的先进的科学知识为我所用。 总之，因为大学数学教学对象具有一定的特殊性—主要是文科方向的学生，所以在数学教学合理的融入数学史教育不仅有助于数学知识的讲授，而且有助于学生综合素质的提高，最终起到事半功倍的效果。 参考文献: [1] 汪国柄. 大学文科数学[M]. 北京:清华大学出版社,2005. [2] Freudenthal H. Should a mathematics teacher know something about the hist ory of Mathematics? [J]. For the learning of Mathematics, 1981, 2(1):30--33. [3] 吴振奎，吴旻. 数学中的美[M]. 上海:上海教育出版社, 2004. [4] 李文林. 数学史教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000. [5] A. D. 亚历山大洛夫. 数学的内容,方法和意义[M]. 北京:科学出版社, 2001. [6] 张奠宙. 数学文化[J]. 科学, 2003, 3. [7] 张奠宙. 数学教育学导论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. 6 数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和 一般文化联系的一门学科。随着数学教学改革的逐步深入，数学史越来越受到数学教育教学工作者的重视。国际上成立了HPM组织(即数学史与数学教育研究组)，国内很多师范院校已将数学史作为数学专业的一门选修课或必修课，中学数学新课程标准中将数学史列为 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 学习阶段的选修内容。不仅如此，初中数学课程各章中也介绍了有关的数学史，因此，数学史在数学教学中的重要作用逐渐凸显出来，以下从四个方面探讨数学史在数学教学中的作用。 一、有利于帮助学生加深对数学概念、方法、思想的理解。 数学教学的主要目的之一，是要让学生理解掌握教学中所要求的数学概念，数学思想和数学方法。由于数学抽象的特点，其概念、方法和思想大都以抽象的形式出现，如何帮助学生理解接受并能掌握乃至应用这些数学概念、方法和思想，始终是数学教学中需要关注和值得探讨的问题。有多种途径可以帮助学生理解并掌握抽象的数学概念、方法和思想，这方面有很大的探索空间，而数学史在此可以发挥非常有效的作用。一些历史的例子可以古为今用，可以被开发出来作为阐释某些深奥数学概念和思想的教学载体。 如，在讲微积分时，很多学生对微积分的概念及数学思想方法不甚理解，这时可借助数学史讲述德国数学家莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646,1716)发现微积分的过程。 大约从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来，借助于笛卡儿的解析几何，莱布尼兹把曲线的纵坐标用数值表示出来，并想象一个由无穷多个纵坐标Y组成的序列，以及对应的X值的序列，而X被看做是确定纵坐标序列的次序，同时考虑任意两相继的Y值之差的序列。莱布尼兹后来在致洛必达的一封信中总结说:“求切线不过是求差，求积分不过是求和。” 另外，莱布尼兹还特别对他创造的微分符号dx作了一段说明:“我选用dx和类似的符号而不用特殊字母，是因为dx是X的某种变化，……还可表示X与另一变量之间的超越关系。”这种对符号的精心选择，是莱布尼兹微积分的又一特点，他引进的符号d和?体现了微分与积分的“差”与“和”的实质。对莱布尼兹创立微积分过程的介绍，可以使学生真 7 正理解微积分的概念及思想方法。 二、有利于帮助学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性思维能力。 数学 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 和专著一般都是经过“包装”的，是按逻辑顺序，从定理出发组织内容，精心撰写的。那些数学真理，数学定理又是怎样被发现的,往往则很少涉及，而对于学习、研究和应用数学的人来说，这一点恰恰至关重要。我们知道笛卡儿有两本很重要的书《方法论》和《指导思维的法则》，他在书中就抱怨古希腊人只告诉你事情是什么，怎么证明，却没有告诉你事情是怎样发现的。如欧拉的《原本》证明了几百个命题，但并没有说明它们是怎样被发现的。于是笛卡儿企图找到一种发现真理的一般方法，让普通人也发现真理。笛卡儿把他的方法叫“普遍数学”，解析几何正是他将这种“普遍数学”实施于几何学时创造出来的工具。笛卡儿在批判古代希腊演绎思维模式的过程中，强调了数学真理的发现，致力于寻找发现数学真理的思维法则。解析几何的创立，本身就是创造性数学研究的范例。 笛卡儿提出了一种大胆的计划，即:任何问题?数学问题?代数问题?方程求解。他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短”。这种怀疑传统与权威，大胆思索创新的精神，正是我们要认真学习的。 三、有利于帮助学生培养科学品质，增强自我探索精神。 数学是人类文明的重要组成部分，是人类智慧的结晶，数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史，它时而波涛汹涌，时而风平浪静。数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数先驱前赴后继、辛勤耕耘的结果。数学先驱们的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们借鉴，他们孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们感动。 以继牛顿之后最伟大的科学家之一、18世纪数学界的灵魂人物欧拉(L.Euler.1707, )为例。他在年近花甲时双目失明，不久，除了其本人和一些手稿幸免于难外，他的1783 住所和财产全部在一场大火后荡然无存。尽管遭受一系列的不幸和沉重打击，但欧拉的科学活动丝毫没有减少。欧拉的记忆力和心算能力是惊人的。心算不仅限于简单的运算，高等数学同样可以用心去算。欧拉在完全失明前，还能朦胧地看到一些东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上写下他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生笔录。 8 在失明后的17年里，欧拉还解决了许多数学问题，留下400多篇论文。由于欧拉身残志坚、百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神，以及他无与伦比的数学贡献，后人把他誉为“数学英雄”。 在数学史上，这样的数学先贤不胜枚举，他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神和道德情操，是后人应该继承的宝贵遗产。 四、有利于激发学生学习数学的兴趣。 数学是公认难学难教的科目，之所以这样，很重要的原因是我们的教学不能引起学生的兴趣。数学给学生的印象是枯燥乏味，抽象难懂。其实，数学本身是多姿多彩的。历史上数学与天文学、力学同根连枝，还与音乐、哲学等交织共生，现代学术界还常常争论数学是艺术还是科学,是比喻还是猜测,对此数学史可以给出“全息图景”，激发学生探索数学美妙的欲望。 在数学教学中，适时、恰当地引入与教学内容有关的数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题，可以使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而可以大大激发学生学习数学的兴趣。 如学习无理数、微积分、集合时，分别介绍数学史上的三次数学危机引发的原因，以及通过数学家们的努力后这三次数学危机的成功解除，一定能提高学生学习数学的兴趣。 以上从四个方面探讨了数学史在数学教学中的作用，但数学史在数学教学中的作用远不止这些。数学史和数学教学息息相关，通过在数学教学中渗透数学史知识，可以帮助学生在学习、研究、应用数学的过程中逐步体会数学的文化价值，把学生对数学的“怕”转化成“爱”，从而全面提高数学乃至其他课程的教学质量。 9 数学史可以创造一种探索与研究的数学学习气氛，激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，进而揭示其人文价值。有人将其在高中数学教学中的作用概括为::(1)对数学给出一个整体框架，对数学有一个整体图景，能认识到各分支之间的相互关系。(2)对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定认识。(3)总结历史上的经验、教训，借鉴解决问题的各种途径、方向。(4)对数学发展趋势有一定的估计和预测。教学设计:也没看过课本，下面说说自己的想法。 既然是要讲数学史，首先就要简单介绍数学发展的四个时期，也就是数学形成时期、初等数学时期、变量数学时期、现代数学时期.然后将数学史与高中数学内容整合，分成若干个专题进行专门研究，比如在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将促成代数兴起与发展的重要人物和有关史迹的图片呈现在学生的面前。在空间与图形部分，介绍勾股定理的几个著名证法(如欧几里得证法、赵爽证法等)及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵;介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献;简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值。在统计与概率部分，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰(Buffon)投针问 题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。选讲的内容要根据具体情况做适当调整，加强对近、现代数学史内容的介绍，如果学生不具备相关内容的数学知识，可以侧重总体介绍，目的在于帮助学生了解现代数学的特点和发展趋势，建立对数学的整体意识。 教学形式上可以从多个方面入手:教师主讲、同学分组研究、向学生推荐一些适合的数学史书籍供他们课下阅读，例如，数学家传记、数学名著，较通俗的数学通史、专题数学史研究的著作等。 谈数学史在数学教学中的作用 “一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智 慧。” 10 在数学已经成为一门基础学科，数学知识已被大多数人了解的今天，我们有必要学习一些数学史知识，我们应该了解数学史在学习中的重要作用。在此，本人发表一些自己的看法,希望与大家一起探讨。我认为学习数学史起码有以下三个作用。 一( 发现认知过程，促进创造力发展。 传统的数学教育使得教师在课堂上讲授的知识偏重于演绎论证的训练，忽视了知识的发明过程。我们说人的学习是一个认知过程，而教科书上讲的往往是成熟的、完美的知识，而从不讲获得真理的艰苦历程，使学生认识不到数学发展的曲折性，更不能让学生了解知识发展过程，容易使学生产生误解，以为数学家获得知识很轻松。这严重阻碍了学生创造力的发展。割裂历史就不能很好地认识现代的数学知识，更不可能学好现代的数学知识，因为数学史可以揭示知识产生背景，展示知识形成过程，预示知识发展前景。 从知识形成过程中，我们可以学习数学家思考问题的方法、解决问题的途径，从而借签他们的经验，在今后学习中为我所用。我们也可以模拟数学家的活动，去体验数学家是怎样由实验而归纳、由类比而猜想、由发现到证明的艰难思维、认识活动的经历，把数学知识的教学与获得知识的认识活动有机结合起来，也许只有这样，才能让我们更好地认识数学的本质。例如，在学习无理数时，我们可以讲讲第一次数学危机，说说无理数是如何走进数学的，以及无理数产生原因、过程等等，从中学习数学发现过程，由此我们也可以看出数学发展的一般规律。 在此，我们应当模拟数学家的研究活动，去了解数学知识获得过程，尤其是数学家的研究动机和研究过程。这也是我们学习数学史的一个主要目的，这样我们在以后的学习研究中就更能找准某些问题的切入点，可以让我们少走弯路。传统的数学教育和教学大纲使得学生的创造力逐步被磨灭，人们只是机械地模仿、重复课本上的习题、方法，根本不会创新，而学习数学史可以让我们借签数学家的创新过程和思维方式，间接地培养创造力。 二( 使高度抽象概括的数学变得有趣，提高学习积极性。 兴趣是最好的老师，一个人如果对他学习的东西不感兴趣，甚至于很厌恶它，我想这个人是不会很好地投入到学习中的。如何培养学生的学习兴趣，也许这里可以提供一个方法:那就是学习数学史，数学史可以展示人们的探求过程，在此过程中，不乏一些名人轶事，讲述一些在发明过程中的故事，不仅可以说明知识的产生思路，也可以让人们对此产生兴趣，尤其在一个轻松的学习环境，在人们不知不觉中更容易学习到一些真正的知识，记忆更牢固。我们何乐而不为呢, 另外，一些数学史名题本身就很有趣，或者有一些很独特的解法，看后会让人心头为之一震。如三角形九点共圆定理、猴子分桃子等问题。介绍一些此类题也有助于培养学生的学习兴趣，也能改善学生的思维。 11 三( 从数学家身上学习锲而不舍的精神，在学习中鞭策自己。 数学家的性格中有永不收敛的好奇心和不近世俗的独立思考习惯，他们耐得住寂寞，对研究的问题，只要不得出答案就一定会持续思考。例如证明哥德巴赫猜想的陈景润，即使在文革时期也是数十年如一日，终于研究出了世界领先的命题(1，2)。然而在很多人眼里，数学被认为是枯燥无味的，他们在遇到困难时，很快就会放弃，没有数学家那种锲而不舍的精神。学习数学史可以让我们从数学家身上学到一种精神，鞭策自己学习。同时，有意识地讲述一些数学家的生动故事，可以极大地激发学生的学习兴趣，这是传统的数学课难以实现的。在教学中讲述数学史、在学习中了解数学史，可以弥补传统数学课的不足，学习数学史应该成为学习数学的必修课。 所以，在数学学习中了解数学史是重要的一步。可以毫不夸张地说，不知道数学史的人就不可能真正地了解数学，一个不了解数学为何物的人是不会去认真学习数学的，因为他不能体会到数学的美和数学的实用价值。 数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展的一门学科,它记载了各时期数学家的数学成就及各种数学研究的思维方法,如能有效地将其应用于教学,便能使数学教学丰富多彩,使学生在愉快的学习中学到更多的知识,培养多方位的思维能力,促进学生健康成长. 浅谈在中学数学教学中融入数学史教育的点滴体会与思考 [ 12 数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门学科，它是数学学科体系中重要的组成部分。《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出:数学探究、数学建模、数学文化应贯穿于整个高中数学课程之中。还进一步强调:“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学对社会的需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求，设立‘数学史选讲’等专题。在教学活动中深刻体会到，数学史教育是中学数学教学中不可缺少的组成部分。尤其在全面推进素质教育，实施课程改革的今天，对发展中学生综合素质提出了更高的要求，数学史的教育功能则更加明显。但是由于长期应试教育的影响，很多教师重数学知识的传授，忽视了它在发展中学生综合素质方面的作用，影响了中学数学教学质量的提高。为此，在总结教学经验的基础上，对数学史教育在中学数学教学中的重要作用以及加强数学史教育的途径，做了初步的研究。 1(凸显数学史的教育功能 数学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人类文明的重要力量，而作为教授数学的教师和学习数学的学生来说，数学史更是必读的篇章。在中学数学教学中渗透数学史教育主要是因为数学史有如下的教育功能。 1.1 开阔学生视野，激发学习兴趣 就大多数学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥和乏味的，这样如何把数学课讲得引人入胜、生动活泼就成为数学教师的一大挑战。事实证明，课堂授课时那些知识丰富、循循善诱的老师远较那些授课时简单乏味、就事论事的教师受学生欢迎。如果教师在教授一些常见的数学概念、理论和方法时，能够指出它们的来源、典故及历史演变过程，将会使学生兴趣盎然。如果能不失时机地、适当向学生渗透一些有关的典故、背景或名人趣事，学生一方面开阔了视野，知道了数学知识的取得是如此曲折动人，就会对知识点产生更深刻的认识，学生的知识面会得到不同层次扩展。比如，教师在讲授“勾股定理”时，如果仅仅给出推导证明，学生也能够掌握。但是，如果教师给出中国古代的证明思路，或者提及古希腊毕达哥拉斯发现这个定理的经过，课堂气氛就会活跃起来。如果他知道，从古至今，“勾股定理”的证法已经超过300多种，甚至还曾经有一位美国总统醉心于这个定理的证明，学生们一定会产生旺盛的求知欲，努力从各方面去探寻证明思路。 教师虽然不是数学家，但却可以培养出数学家。许多数学家走上数学研究道路都与中学时代遇到一位善于激发学生兴趣的教师有密切关系，由此看来，教师对学生的影响是显而易见的，有些教师甚至成为发现千里马的伯乐。 1.2 对学生进行品德教育，增强自我探索精神 数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史。数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数数学先驱前仆后继，辛勤耕耘的结果。数学先贤们的严谨态度值得我们学习，他们孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们感动。以继牛顿之后最伟大的数学家之一、18世纪数学界的灵魂人物欧拉(L. Euler， 1707—1783)为例，他在年近 13 花甲的双目失明，不久，他的住处又遭火灾，尽管遭受一系列的不幸和沉重打击，欧拉并没有倒下，科学活动丝毫没有减少。在失明后的17年里，欧拉还解决了许多数学问题、留下400多篇论文。由于欧拉身残志坚、百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神及无与伦比的数学贡献，后人把他誉为“数学英雄”。 我国著名数学家华罗庚，他在十八岁那年不幸罹患伤寒，病后左腿残疾，走路时左腿要先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。华罗庚幽默地戏称这是“圆与切线的运动”。他的誓言是:“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿～” 在数学史上，这样的数学先贤不胜枚举，他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神及高尚的道德情操，无不是后人应该继承的宝贵遗产，无疑是品德教育的好教材。 中华文明源远流长，五千多年虽有起伏跌宕，但却连绵不绝，从未中断。就数学而言，中华民族有着光辉灿烂的过去，在元代以前，中国的许多成果处于世界领先位置。可以说，数学是中国古代最发达的基础科学之一。仅以现在的初中数学知识为例，十进位制、线性方程组的解法，正负数运算、开平方开立方法则，圆周率的计算都是古代取得的辉煌成就，有些成就领先世界千年以上。 数学是璀璨夺目的中国古代文化的重要组成部分，古代伟大的数学贡献不仅是当今进行爱国注意教育的绝佳材料，而且古代数学家实事求是，敢于坚持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激励后人振兴中华，为实现中华民族伟大复兴的而奋斗的自强精神。 1.3 数学史教学不可忽视文化价值的渗透 新课标要求培养学生正确的数学观和数学价值观，特别要了解数学文化价值。学生只有了解数学的价值，才能自觉学习数学。数学史能帮助学生了解数学的文化价值，这对学生今后的发展是终身受用的。中国科学院我国著名数学史专家李文林在作数学史与数学教育的录音谈话中说到:我们应从五个角度去挖掘数学史的文化价值，首先，数学为人类提供精密思维的模式;其次，数学是其他科学的工具和语言;其三，数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆;其四，数学是人类思想革命的有力武器;最后，数学是促进艺术发展的文化激素。 数学的发展与社会的进步息息相关，互相促进。一方面，数学的发展依赖于社会环境，受社会经济、政治和文化等诸多因素的影响;另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，不管是物质文明还是精神文明。 数学对人类物质文明的影响，突出的反映在它与能够改变人类生活方式的产业革命上。人类历史上有三次重大的产业革命，这三次产业革命的主体技术都与数学的新理论、新法方法的应用有直接或间接的联系。牛顿和莱布尼茨发明的微积分作为一种强有力的新工具，推动了以机械运动为主题的17、18世纪整个科学技术的高涨，成为18世纪下半叶开始的第一次产业革命的重要先导。19世纪60年代，第二次产业革命开始，这次产业革命发电机、电动机以及电气通信为标志，这些技术当然依靠了电磁理论的发展，而电磁理论的研究是与数学分析的应用分不开的。第三次产业革命发生在上世纪40年代，主要以电子计算机的发明使用、原子能的利用以及空间技术、生产自动化等为标志。这这些技术发展的每一个关头都记载着数学家的不可磨灭的功勋。 14 数学有两大作用，一个是工具作用;另一个作用就是人文作用，也就是对人类的精神文明所起的作用，数学对人类精神文明的影响极为深刻。某种程度上，对于大多数人来说数学的人文作用比其工具作用更具意义。 数学本身就是一种探索精神。这种精神包含的两个要素，即对真理和完美的追求，千百年来对人们的思维方式、教育方式以及世界观、艺术观都有着毋庸质疑的影响。数学对人类精神文明的意义，也突出地表现在历次重大思想革命的关系上。由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性，数学往往成为解放思想的决定性武器，尤其在文艺复兴之后科学与神学的斗争中表现的更为突出。 数学史教育中渗透文化价值成了数学史教育的一项重任，数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对于今后的中学数学史教学，我们应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展求知、求实、勇于探索的情感和态度;体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性。 2(开发数学史教育的途径 当前，加强数学史教学在培养学生科学素质和人文精神方面的作用，已经成为中学数学教学改革的重要内容之一，尤其在新课程教学中得到认可。 2.1 加强数学史学习，提高教师自身素质 众所周知，能否发挥教材教育功能的关键在教师。同样，为了有效发挥学史教材的教育功能，教师本身也必须具有较高的数学史素养，这样他才能在掌握学史知识的基础上，从认识方法论的角度，把握数学的发展轨迹与规律，才能很好地挖掘学史的教育功能。不仅如此，提高学史素质对教师全面理解和把握数学科的知识体系，提高教学水平，具有长远的意义。 2.2 深入研究学史教学的规律，调整数学史教学内外关系 学史教学作为一种教学活动，必然有其自身的规律，只有掌握了这些规律，才能自如地进行教学，才能使教学达到预期的目的。学史教学有着多方面的规律，目前需要尽快认识和把握的，我认为有学史教学与知识、技能教学之间的关系;各学史教学内容之间的关系，如科学家故事、科学探索的背景、科学发现过程、方法论等之间的关系;教学中思想品德教育与智育之间的关系等几个方面。教师对这些关系的认识、协调与处理，既是提高学史教学质量的基础，也是保证其健康发展的条件。例如，只有当真正解决好数学史教学与知识、技能教学之间的关系，与过程、方法教学之间的关系，才能保证中学数学教学质量的全面提高，才能促进学生思想品德、科学素质、人文素养的均衡发展，而不致走向顾此失彼、矫枉过正的偏颇境地。 2.3 广泛开展学史教学实践研究，改进教学方法 由于轻视数学史教学的结果，使目前学史教学方法较为落后，一般仅限于讲故事，“贴德育标签”(即在讲完故事后，加上几句口号)的传统教学方法，这显然不符合学史教学目标的要求。为此，必须引导广大教师重视学史教育，有计划地组织教师在实践 15 中大力开展学史教育研究，深入分析教材内容，适当补充引入数学史料，积极改进教学方法，达到学科素质教育的目的。目前中学数学教材中学史内容所占比例甚微，其中内容仅限于科学家故事。因此，教师应进行学史教材的分析，适当补充有关探索的背景、发现过程以及方法论方面的学史材料，挖掘教材的教育功能。同时用现代学习理论为指导，提高学生学习的兴趣和能力，促使学生主动学习数发展历史，领会数学精神，掌握科学思维方法，培养良好的学习行为。 3(思考与建议 3.1 课堂教学是数学史知识渗透的主阵地 尽管现在数学新课程中，要求将数学史的内容贯穿于数学教学中，但由于时间的问题，很多教师老担心时间不够，没有坚持下去，而学生几乎都认为他们数学史的获得主要来源于教师课堂上的介绍，是教师在课堂上的介绍引发了他们的学习兴趣，所以课堂教学在学生数学史的学习中依然是渗透数学史知识的主阵地。 3.2 数学史内容的选择 介绍数学史的内容要注意有连续性:作为十七世纪数学的三大成就，介绍对数的发明、解析几何的诞生，也就应该介绍微积分的创立。即便是对同一内容的介绍，也应遵循连续性。而且插入的数学史内容应与教材恰当地融合。还有，在课堂中穿插数学史的故事，不一定仅仅局限于数学家。事实上，历史上那些并非数学家的名人学习和钻研数学的故事对学生，特别是对那些不喜欢数学的学生，同样能产生一样的作用，还可以介绍一些数学符号、数学术语的起源。介绍数学家所经历的艰苦漫长的道路，让学生认识到这些，让他们学习数学家的精神来获得一些人生哲理，使他们不仅获得真知酌见，还将获得顽强的追究他所攻问题的勇气，并且不会因为自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。 3.3 让学生了解数学的最新发展动态 数学史渗透着数学方法，在教学中充分利用数学史，我们的数学教学方能充分反映数学的文化底蕴。让学生了解一点最新的数学的发展情况，了解最新的数学知识，了解数学伟大而广泛的应用，可使学生看到数学的光明而开阔的前途，树立爱数学的信心，也才能培养学生对数学真正的兴趣，因此学生的学习成绩自然也就会提高。 3.4 以数学史为载体开展研究性学习 以数学史为载体开展一些研究性学习活动，可以让学生体会到数学与生活通常是有完美、和谐的结合。在教学中渗透数学史的知识，以数学史为载体，不但能丰富学生的学习内容，增加学生学习的兴趣，而且能引起学生的主动探究，在合作交流的氛围中增长数学知识，促进课内的主动学习，让学生从喜欢数学史到喜欢数学，从而有效的提高数学成绩。 总体来说，在新课标数学课程中数学史内容的出现是一个崭新的现象，我们应该予以充分的重视。数学史的教学的一个终极目的就是提高学生学习数学的积极性，使学生加深对数学本质的理解，增长知识面，扩大视野。 参考文献: [1] 中华人民共和国教育部(普通高中数学课程标准(实验)(北京:人民教育出版 16 社，2003. [2] 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史.北京:科学出版社，2000. [3] 郑毓信.数学文化学.成都:四川教育出版社，2000. 数学史的教学原则 2007-04-11 08:33:30 数学史教育应遵循以下五个原则:准确性，交融性，可接受性，实用性， 及富有趣味性。 1、正确介绍史实——准确性原则 教师向学生传授的数学史知识必须是正确的，我们应该尊重历史，尊重事实， 既不可随意编造，也不能无端拔高，更不可艺术加工，把数学史当作故事，随意 虚构，特别在讲授中国的数学史，实事求是更能激发民族自尊心和爱国主义热情。 介绍勾股定理时不能只讲商高而不提比达哥拉斯，介绍圆周率时，不能只突出祖 冲之的“高，大，全”，而不说刘薇的“割圆术”，不能一味地宣传《九章算术》， 而漠视了《几何原本》。总之，一定要屏除“不是我国的不介绍”，“今日看来 已是肤浅的不介绍”等陈旧观念。 、密切结合教学内容——交融性原则 2 确定哪些知识需要数学史知识的帮助，哪些不需要;确定出在教学时如何 给学生讲解和确定;确定出在什么环节补充数学史等，数学史知识在数学教学中 毕竟是辅助知识，主要的目的是帮助学生更好的理解掌握教材内容，因此，教学 中不可能拿出大段的时间专门讲解数学史知识，那样数学教学课变成数学史课了， 数学史知识只能结合数学，在需要的时候出现，寻找好教学的“生长点”，非常 自然的切入数学史料，不机械地把数学课上成历史课，比如:结合初三几何圆这 章的章头图，介绍《墨经》在数学方面的成就就不会牵强附会;结合“墓碑上的 算题”，说说丢番图，也是很自然的。 3、深入浅出，让学生可接受——可接受原则 数学应深入浅出，让学生听得懂。比如:思考《张丘建算经》中的“百鸡 问题”，就应注意语意的解释而接受阿拉伯数字成为世界通用记数符号的历史沿 革时，也不宜过0分翔实地讲埃及的象形文字，巴比伦的楔形文字，意大利的罗 马数字和中国的算筹。高一年级在“对数”一节，接触了无理数e,这是就不宜介 绍其来源。 17 4、实用性原则 实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来工作有直接帮助作用， 根据时间多少，授课计划，应有所侧重。例如:初等数学中的数的起源，无理数 的导入与确立，圆周率，勾股定理，笛卡儿对直角坐标系的贡献，数学中的微积 分的概念，函数的概念以及非欧几何的创立等，不仅史料丰富，而且内容精彩， 非常适合于课堂教学，对学生理解所学的知识有很大的帮助。 5、育人为本，富有趣味性 题材的典型，情节的生动，发展的曲折，数学史上惊心动魄，引人入胜的 例子不胜枚举。教师在数学史教学中一定要声情开茂，语言富有感染力，视角应 定位育人。比如:介绍祖冲之的圆周率不能一味地津津乐道其结果如何任何领先， 却不去关心祖冲之艰难求索的过程，这在教育上是不可取的，而应该在介绍成果 的同时渲染祖冲之必须用算筹作一百几十次对就位大数的复杂计算的繁难，在当 时条件下探求密率的艰辛，深刻体会这种意志这种精神 与以往的高中数学教学大纲相比，数学史选修课是高中数学课程改革新添加的内容。作为选修系列3的一个专题，《普通高中数学课程标准(实验)》要求“数学史选讲”通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。 正因为数学史选修课是高中课程改革中的一项新内容，以前的研究尚不充分，实践上也没有十分成功的先例，这就需要我们用清醒的头脑冷静地对待课程改革。本文将从课程结构设置方式、专题选择和内容选择三个方面研究《普通高中数学课程标准(实验)》中数学史选修课课程设置的合理性，充实课程内容，并给出两个具体的课程设计案例;最后给出与数学史选修课设立相关的教师培养、数学史教学和配套课程资源方面的建议。 数学是一门历史性或者说累积性很强的学科，这门科学有悠久的历史，发展过程充满了人类的创造和理性智慧。英国科学史家丹皮尔也曾说过:“没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。”数学课程适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发挥的作用，数学的社会需求、社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。 数学包含并且正在继续生长出越来越多的分支。数学史正是数学这棵参天大树的一个分枝，描述研究数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和 18 一般文化的联系，透过数学史可以看到数学的发展和数学家创造的艰难和喜悦。不了解数学史就不可能全面了解数学科学，也就不可能全面了解整个人类文明史。 重视数学史与数学文化在数学教学中的作用，已成为一种国际现象。据了解，美国数学协会下属的数学教育委员会，曾在一封建议书中向未来的中小学教师呼吁，要求他们“注意培养自身对各种文化在数学思想成长与发展过程中所作的贡献有一定鉴赏能力;对来自各种不同文化的个人(无论男女)在古代、近代和当代数学论题发展上所作的贡献有所研究，并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识”。 我国教育部于2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》，将数学史正式列为高中数学选修课程。新课标里关于课程的基本理念中提出要“体现数学的文化价值”，新课标中没有将“数学文化”设为一门课程，而是通过高中数学内容和数学史来体现，因此，“数学文化”内容有一半左右与数学史有直接的关系。新课标指出学习数学史的要求:“通过生动、丰富的事例了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程。体会数学对人类文明发展的作用，提高学习兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨和锲而不舍的探索精神。” 近期，由科学出版社出版的《中学数学简史》，正是依据《普通高中数学教程标准(实验)》的要求编写。书中内容丰富、史料翔实，简明生动地介绍了中学数学中的主要概念和思想方法的历史发展。全书采用专题形式，选题恰当，符合中学生认知兴趣和水平。该书的编著者之一、四川西昌学院副教授徐品方介绍，该书以辩证唯物主义、历史唯物主义为指导，以“尊重史实，突出重点”为选取史料的原则，用通俗生动的语言介绍科学发展规律、数学思想方法，使读者在不多时间内就可初步了解新课标中关于学习数学史的要求。 19 “数学史的内容博大精深，不可能面面俱到，只能以史料为据，抓住重点，赋予知识以灵性，融思想方法于故事，寓知识于趣味，使数学史走向大众。”徐品方说。因此，该书是专题型，而不是通史型或者是分科讲述型，适合大中专师生、干部、社会青年自学，或者选为高中数学史教材或教学参考书。 学习数学史有助于学生把握数学发展的脉络，加深对数学概念、方法、思想的理解，体会数学创造过程。张勋说，中学生学数学史能了解历史上一些杰出数学家的生平和数学成就;有助于感受前辈大师严谨治学、锲而不舍的探索精神;有助于培养兴趣、开阔视野、造就创新意识，更深刻领会数学对人类文明发展的作用。 徐品方还建议，学数学史的教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写 心得体会 决胜全面小康心得体会学党史心得下载党史学习心得下载军训心得免费下载党史学习心得下载 等方式进行。教师应鼓励学生对数学产生发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究小论文，进行交流传播。 当前课改中数学史教学现状的调查分析 丁益民 (江苏省泰州市民兴实验中学 225300) 新课程标准指出:数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观(新教材已经使用近一年，教师是怎样将数学史融人课堂教学的呢?教师是怎样引导学生进行数学史学习的呢,作为新课改的实施者，笔者通过对我校28名教师和80名高一学生的问卷调查和亲身实践，谈谈当前课改中数学史融人课堂教学的现状。 1 调查过程 1.1 调查对象 教师:我校全体高中数学教师28人( 学生:我校高一学生80人(使用新课标教材)( 1(2 调查问卷 对全体高中数学教师进行问卷调查( 教师问卷 问1 你认为数学史引入中学教材有必要吗? ( ) (A)有 (B)没有 (C)不知道 问2 你在平时教学中经常进行数学史教学吗? ( ) (A)经常 (B)偶尔 (C)一点也不 问3 你将数学史融入数学教学的目的是什么? ( ) (A)增加数学知识的实践性 (B)调动学生学习数学的积极性 (C)使课堂更加充实 (D)追求形式上的完美 问4 你是如何进行数学史教学的? ( ) (A)故事描述 (B)多媒体展示 (C)组织学生搜集资料 问5 学生对你讲数学史的反应怎样? ( ) (A)特别感兴趣 (B)反应一般 20 (C)冷漠 问6 你能举出3—5例与高中知识密切联系的数学史案例吗? 学生问卷 问1 你喜欢课本中介绍数学家和数学知识的历史史料吗? ( ) (A)喜欢 (B)无所谓 (C)不喜欢 问2 你为什么喜欢数学史? ( ) (A)对数学故事感兴趣 (B)可以获得相关知识 (C)可以放松一下 问3 你是通过什么方式学习这些数学史知识的呢, (A)老师讲解 (B)翻阅其他资料 (C)到网上搜索 问4 你的老师经常讲数学史吗? ( ) (A)遇到相关的就讲 (B)偶尔讲讲 (C)根本不讲 问5 你是以什么态度学习数学史知识的? ( ) (A)象学习数学知识一样认真 (B)听故事一样的无所谓 (C)不愿意听 问6 你能举出2—3个你熟悉的数学史案例吗? ( ) 2(3 调查结果 表1 教师问卷结果 人数 问题 A B C D 设计意图 1 19 7 2 / 调查教师对数学史引入教材的态度 2 4 11 13 , 调查教师将数学史融入课堂教学的频率 3 18 8 2 0 调查教师将数学史融入课堂教学的动机 4 18 10 0 , 调查教师将数学史融入课堂教学的方式 5 15 8 5 , 调查教师将数学史融入课堂教学后的效果 能回答5例的老师有4人; 能回答4例的老师有6人; 6 能回答3例的老师有8人; 调查教师的数学史知识结构 能回答1,2例的老师有6人; 不能回答的老师4人( 表2 学生问卷结果 人数 问题 A B C 设计意图 1 69 8 3 调查学生对教材中数学史的态度 2 61 11 8 调查学生对数学史学习的动机 3 72 8 0 调查学生学习数学史知识的来源 21 4 31 22 27 调查学生对教师处理数学史知识的态度 5 11 66 3 调查学生学习数学史的态度 能回答3例的同学12人; 6 能回答2例的同学19人 调查学生数学史的知识面 能回答1例的同学22人( 不能回答的同学27人 2(4 调查分析 由上述结果可以看出，大部分中学教师对新教材中出现的这一板块内容普遍持支持态度，绝大多数学生也非常喜欢这一板块的知识(一方面数学史内容与数学知识的教学紧密结合有力地促进了学生对数学本质的掌握，增强了学生学习数学的兴趣;另一方面数学史知识的适当渗透并没给老师的教学和学生的学习增加压力(当然课堂授课时那些知识丰富、谆谆善诱的老师远较那些授课时简单乏味、就事论事的教师受学生欢迎(教师如能在一些常见的数学概念、理论和方法讲解时，指出它们的来源、典故及历史演变过程，将会使学生兴趣盎然( 其次，教师将数学史融入课堂教学的动机是明确的，学生也是非常欢迎的，即数学史培养学生动态的数学观、数学文化价值观(通过对历史的了解，学生可以缩短心理上接受某一观念的时间，数学史有助于学生了解数学形式化、抽象化、精确化的过程，有助于改变教师的数学观，从而影响学生的数学观( 调查也暴露了一些问题，如教师传授数学史的途径大多照本宣科，并且教学方式单一欠生动;又如教师数学史知识的匮乏使得知识传授上比较呆板，导致学生学习的目的不是十分明确，也就导致学生获得数学史知识的途径只能依赖于教师的传授，最终导致数学史知识的教学成了过过场的“花招”而已( 22 3 几点建议 “数学史的内容博大精深，不可能面面俱到，只能以史料为据，抓住重点，赋予知识以灵性，融思想方法于故事，寓知识于趣味，使数学史走向大众。”徐品方说。因此，该书是专题型，而不是通史型或者是分科讲述型，适合大中专师生、干部、社会青年自学，或者选为高中数学史教材或教学参考书。 学习数学史有助于学生把握数学发展的脉络，加深对数学概念、方法、思想的理解，体会数学创造过程。张勋说，中学生学数学史能了解历史上一些杰出数学家的生平和数学成就;有助于感受前辈大师严谨治学、锲而不舍的探索精神;有助于培养兴趣、开阔视野、造就创新意识，更深刻领会数学对人类文明发展的作用。 徐品方还建议，学数学史的教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写心得体会等方式进行。教师应鼓励学生对数学产生发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究小论文，进行交流传播。 3(1 教师的数学史视野有待开阔 总体来说，广大教师的数学史知识是非常缺乏的，对数学史不甚了解(造成这个现象有许多原因，有自身知识的限制，有以往教材编排的原因，也有教师任务繁重无心充电的缘故(为了适应新课标数学课程的教学要求，广大教师应该努力改变数学史知识严重缺乏的现状，应该主动进行数学史知识的学习，努力提高自身的数学史素养，扩大知识面( 3(2 正确把握数学史教学要求 教师提高了自身的数学史素养后面临的一个问题是如何在教学中潜移默化处理这些知识(对于数学教材中在阅读材料部分出现的数学史，要把握好教学的“度”(以苏教版新课标高中数学教材必修系列为例，书中是以“阅读”或旁注的方式呈现数学史内容的，这些内容教师可以作为课外阅读材料让学生自学，教师也可以在教学时把它作为增强学生学习兴趣、启迪学生数学思维的材料灵活应用( 一些与所学数学内容有关而教材中又没有呈现出来的数学史内容，就需要教师本人有较好的数学史素养和开阔视野，发掘出数学知识背后的数学史的教育功能，教材中的内容几乎每一部分都有引人入胜的历史典故，比如“辗转相除法”，但绝大多数教师对于与“辗转相除法”有关的数学史知识缺少了解，因此教学就显得干瘪，这不能不说是一个遗憾( 当然，毕竟我们的数学教材主要是教授数学知识的，数学史的渗透要恰到好处，不必系统，以防喧宾夺主，这类内容的教学最好能够达到润物细无声的境界( 3(3 开辟学生数学史学习途径 对于学生获取数学史知识，教师可以组织一系列的活动，让学生进行有关数学史知识的学习(比如说开个专题讲座，或者让学生到阅览室阅览，或者在黑板报上开辟数学史专栏等等，目的是让数学史知识成为学生随处可见的普及知识，达到潜移默化的效果，这样从心理上不会给学生带来额外的压力(当然这也需要搞清楚数学学习与数学史学习之间的辩证关系，切不可浓墨重彩地大肆渲染，否则本末倒置( 参考文献 ,1,中华人民共和国教育部(普通高中数学课程标准(实验)[M,北京:人民教育出版社，2003( ,2,李明振(数学史融入中学数学教材的原则方式与问题,J,数学通报，2006(4)( 23 数学史如何融入课堂教学 摘要:数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数 学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。 运用数学史数学已经日渐成为(国际)数学教学的一种趋势，在新的《中学数学课程纲要》中，亦以“对数学采取正面的态度，以及从美学和文化的角度欣赏数学的能力”作为数学 科的教学宗旨之一。 我们要学习国外的经验，结合教材内容，“见缝插针”，使数学史自然融入课堂教学;根据教材特点，适当选择数学史资料，有针对性地进行教学;吃透教材精神，采取多种形式， 增强教学效果。 关键词:数学史;数学教学;意义;方法 引言 数学史与数学课堂教学的有机结合已成为当今国际上数学教育的热点问题。作为数学教师，如果把数学和它的历史割裂开来，那么它的损失将是最大的。彭加莱曾说过:“如果我们要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”。现在是新世纪了，长期以来，数学史在数学教学中没有得到应有的重视，首先是教材本身体现得数学史知识比较少;其次，供教师参考的关于渗透数学史教育的文献比较少，大多数数学教师把有关 24 的数学史知识轻描淡写，一带而过，大大忽视了数学史对中学数学的促进作用，如果不把数学史融入到数学课堂教学当中，那么数学的教育价值就难以体现，所以我们要充分认识 到数学史对数学课堂教学的重大意义。 一、把数学史融入数学课堂教学的意义 数学是一门基础学科，数学教育是基础教育。对二十一世纪的社会而言，数学文化修养应该是公民所必须具备的一种基本素质。为了切实地将我国的数学教育提高到当今的先进水平，使人们树立起正确的数学价值观，把数学史融入数学课堂教学具有十分重要的意义。目前我国正在推进的基础教育改革十分重视数学史，采取了一系列措施，其中包括加强数 学史和数学文化的教育。 重视数学史在数学课堂教学中的作用，可以说是一种国际数学教育界的普遍现象。若干年前，美国数学协会(MAA)下属的数学教育委员会曾发出题为《呼唤变革:关于数学教师的数学修养》的建议书，其中呼吁所有未来的中小学教师注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏能力;对来自各种不同文化的个人(无论男女)在古代，近代和当代数学论题的发展上所作的贡献有所研究;并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识。数学史与数学课堂教学的关联问题，目前是一个倍受国际数学教育界关注的课题，多数数学教育工作者都认为数学史的确值得引入数学课堂之中，这不仅是在中学，在大学的课堂上也应如此。至于数学史如何有助于教师教学和学生学习，可以说是众说纷纭。但是有一点是被公认的，那就是数学史具有独特的教育价值。它对学 25 生良好人格的行成、数学兴趣的提升、创造精神的培养都有着无可替代的作用。运用数学史教授数学已经日渐成为(国际)数学教学的一种趋势，在新的《中学数学课程纲要》中，亦以“对数学采取正面的态度，以及从美学和文化的角度欣赏数学的能力”作为数学学科 的教学宗旨之一。 历史事实是一种出色的教育指南。爱因斯坦认为，树立自觉的历史观念，重视对有关问题的历史考察，对于科学研究工作和科学家的素质有着多方面的重要意义。数学史是教育青年，培养科学家、哲学家和道德高尚的人的重要手段，通过数学史的教学，学生不仅可以学到具体的现成的科学知识，而且可以学到“科学的方法”，开拓学生的视野，使学生更具有洞察力。通过数学史例的介绍，不仅能引起学生注意数学发展的习惯，同时还可培养学生不甘落后、勇于进取、敢于创新的创造性心理品格，而这些正是新世纪高素质人材必 须具备的基本素质。 著名数学家、数学教育家克莱茵指出:“历史可以在教学中扮演重要的角色。例如，假如告诉初学微积分的学生们:尽管牛顿和莱布尼兹是声名显赫的先辈，他们自己也没有透彻地理解微积分的许多概念，数学家们大约经过200年的努力，才把这些概念弄确实 那么学生们在开始时不能很好地理解这些概念，也就不至于感到迷茫;相反他们将得到鼓舞而 继续学下去，历史还有许多其它的教育价值”。 我国数学史家、台湾师大数学系教授洪万生先生总结了数学史的三个方面的作用:数学故事，对学生人格成长具有启发作用;在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，可以 26 拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性;从历史的角度注入数学知识活动的 文化意义，可以在数学教育过程中实践多元化文化关怀的理想。 日本著名数学教育家米山国藏教授，对数学教育中的数学史问题更是有着深刻的见解，他指出:“普通的所谓数学史，无外乎记述谁在哪个年代研究了数学中的什么课题，发现了什么定理，以及古埃及、希腊和印度等国的数学如何等等，我对此兴趣不大。对历史的数学的考察，应重在研究数学各分支内部发展的阶段和途径、数学发现的历史考察、有关记述数学家的数学研究和数学发现的奇闻等。通过对历史的数学的研究，激励立志于数学研究的后来者;懂得现在数学的真正意义，和对数学的真正理解，暗示将来数学的发展方向 和研究方针;给予数学教育工作者很重要的反省材料”。 27 二、把数学史融入数学课堂教学的具体做法 数学史这方面的教学，非通常以具体数学知识的讲授为目标的课程所能替代，并且这方面的内容非常丰富，决非一、两节课所能阐明。因此在日常的数学教学中教师可以根据教学需要，适当的在教授过程中贯穿一些相关的数学史方面的内容，不仅可以增强教学效果，而且还可以提高学生的数学素质;同时设立数学史选修课等，也是非常必要的。对此在数学教学中是有许多工作可做的。那么将数学史融入课堂教学有哪些工作要做呢,我通过在实习期的观察和与学生交谈中，以及通过资料的收集整理，总结归纳，总的来说，有以下五个方面: (一)学习国外的经验，编创符合我们国情的教材 美国数学教材有重视数学史的传统。早期的数学教材中，常以大幅数学家的照片,冠以每章内容之前，照片下面或者反面则是数学家的简介,以后逐步变化。教材非常重视数学史内容，并注意将数学史知识紧扣教学内容。有时在教学内容附近介绍有关数学史的内容, 有时则将数学史的内容作为一章或一节的引入材料。例如，在介绍集合知识的时候，就介绍了十九世纪数学家康托(George Cantor 1884 —1918)发展了测量集合中元素个数的方法，康托利用一一对应关系，证明有些无限集合大于其他集合。如实数集就大于整数集，尽管两个集合都有无限多个元素。 另外，值得引起注意的是，教材在介绍完数学史后，设有一个叫做调查的栏目。它在其中提出一些理论与实际的问题，要求学生去调查研究。如查阅一下康托或其他数学分支应用集合理论的情形。相比之下，我国教材仅仅把数学史当作“阅读材料”，不入正文。教师和学生因而也就不去重视，甚至看也不看。美国教材注重数学史与教材紧密结合的做法值得借鉴。当然，我们也不能生搬硬套国外的东西，照抄他们关于这方面的编排，我们有我们自己的国情，自己的教学特色，自己的数学史文化，学生学习的方法特点也不尽相同。所以，我们要在吸收国外的先进的经验和思想的同时，结合我们自身在数学教学方面的特点，编创符合我们国情的教材。 另外,我们应关注这样的观点:数学史融入中学数学教材，应该有总体上合理的布局及介绍的视角，且所插入的数学史内容应与教材恰当地融合。虽然现在我们的教材还没有相关的数学史内容，但相信不久的将来，新的教材中一定会有数学史的一席之地的，且教师可以在平时的课堂教学中穿插相关的数学史的知识内容进去。 (二)结合教材内容，“见缝插针”，使数学史和谐地融入课堂教学 现代汉语词典对“和谐”的解释为:配合得适当和匀称。“和谐地融入”必须是数学史与数学知识点之间的衔接自然、适当，不能生搬硬套，而是要合理的过渡;“和谐地融入课堂教学”也就是在充满教师智慧的课堂氛围中，学生在课堂中能主动探求知识，常常会激发出学生创造性思维的“火花”。通过这样的课堂教学过程，每一位学生的创造潜能和个性品质都得以全面充分展现，学生的人格得到发展。 28 每一个数学分支，知识点都有它的起源、发展及数学家为之付出各种努力的一些佚事。教师可以仔细分析教材内容和学生的心理特点，在适当的地方挑选一些相关的奇闻趣事及其来源、发展，引起学生对这一知识点的了解和兴趣，也为新的课程的展开作好准备。 就初三“圆”这一章来说，有很多数学史的内容可以随着教学的展开，穿插在教学过程中。“圆”是一个古老的课题，人类的生活与生产活动和它密切相关。有关圆的知识在战国时期的《墨经》、《考工记》等书中都有记载，授课中将有关史料穿插进去，作为课本知识的补充和延伸。例如讲解圆的定义与性质时，可以向学生介绍，古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。 会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的:“一中同长也。” 即圆周上各点到中心的长度均相等;意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义与希腊数学家欧几里得的定义相似，但比欧几里得给圆下定义要早100年，此外，可进一步说明“圆，规写交也”，即圆是用圆规画出来的终点与始点相交的线。再比如圆心角、圆内接正六边形、直角三角形的内切圆、圆锥等一系列概念与性质，在《九章算术》等书中都有记载，用几句话向同学们作简要的介绍。这样，随着这一章教学内容的不断展开，学生们对我国古代数学在相关领域的发展有个初步的了解，明白我国古代就对这些内容有了比较全面、系统的认识。特别是早在战国时期就有了论证几何学的萌芽，几乎与古希腊的几何学同时产生。 这样的讲解不仅丰富学生的数学史知识，提高他们对学习数学的兴趣，在数学史的讲解过程中还涉及到了历史、地理、语文等学科几方面的的知识，具有一定的学科交叉性。 (三)根据教材特点，适当选择数学史资料，有针对性地进行教学，突出数学思想方法 数学文化的内涵不仅表现在知识本身，还寓于它的历史。将数学史引入课堂，比如讲述符号的历史，介绍某一个数学问题解决的艰辛历程，介绍数学家的名言和故事等。通过多种途径欣赏古今中外的数学史料。祖冲之、阿基米德、高斯、加罗华等等数学大师应该成为学生们经常讨论和崇拜的人物。介绍学生听数学史上的三次危机、哥德巴赫猜想等等，虽然学生可能还不太懂，但是，有很多的思想方法在其中，通过数学史的学习，让学生们在不知不觉中接受这些数学思想。这不仅可以提高他们对数学学习的兴趣，还可以激发他们克服学习困难的信心和求知欲。 “授之以鱼不如授之以渔”，这个道理谁都明白。我们也知道在数学教学中更重要的是注意方法教学:学生举一能否反三关键就在于是否掌握了其中的思想方法。如果我们教条地把一种思想方法灌输给学生，他们未必能接受，而数学史中隐含了很多的数学思想方法，我们怎样才能恰到好处地将前人的思想方法介绍给学生。这就需要教师这些执教者不断的 [11]学习总结。 29 比如中学生对于勾股定理的证明接受起来有点困难，而赵爽的“勾股圆方图”就使得证明更易于理解。证明方法是:“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。” 用字母表示即: 2222 22ab + (b – a) = c 即 a + b= c a 朱 朱 朱 黄 b c 朱 几何代数巧妙地结合在一起，所体现的也就是数形结合的思想方法。这种思想方法在解决一些疑难问题时总会收到意想不到的效果，并且在高中阶段尤其重要。 再比如在初三的圆内接多边形面积的这节课中介绍我国魏晋时代数学家刘徽首创的圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不割，则与圆合体而无所失矣。”这也是极限思想的最早体现。极限思想的 提早渗透也为以后的高等数学学习打下了基础。 我们应注意挖掘数学史中的数学方法，并恰当的渗透到数学教学中。使学生能直观地接受。 (四)吃透教材精神，采取多种形式，增强教学效果 把数学史融入日常教学，进行思想教育，教师不仅要吃透教材的知识内容，还要努力挖掘 [10]教材的思想性，并采取多种形式，形象生动地进行教学。 例如初三教材第七章的7.3节有道例题，是通过计算赵州桥桥拱的半径，使学生掌握垂径定理及其推论的应用，这也是进行爱国主义教育，使学生了解历史名胜的好机会。为了增强教学效果，可以用PPT演示赵州桥的图片，从不同的角度向学生们展示这造形奇特、气势雄伟的赵州桥。然后教师可以向学生介绍:“这是赵州桥，建于一千三百多年前的隋代大业年间(公元605,618年)，整个桥身是圆弧的一段，长50多米，宽9米多。这么长 30 的桥，全部用石头砌成，没有桥墩，只有一个拱形的大桥洞，横跨在37米宽的河面上。这样巨型的跨度，在当时是首屈一指。而更显示其先进技术的，是大拱圈上的两肩各有两个拱形的小桥洞，既减轻了桥身的重量，节省了石料，还增加了洪水季节桥下的过水面积，四个小孔可以辅助渲泄洪水，减轻了洪水对桥身的冲击力，不但坚固而且美观。这种设计是建桥史上的一个创举，创造了敞肩拱的新式桥型，使拱桥的建造技术达到了一个新水平，是综合运用包括数学在内的多种科学知识的典范。下面我们就来算一算桥拱的半径„„”这样引导，不仅可以让学生了解著名的历史名胜，提高艺术的鉴赏，并且使学生情绪高涨，课堂气氛活跃。 (五)让学生参与到数学史的教学中去 把数学史融入到数学课堂教学，不一定要全部由教师在讲台上说，也可以组织形式多样的活动，让学生参与到其中，这样不仅学生的兴趣更浓厚，亲身体验的经验也更不易忘记。 比如以“化圆为方”问题为素材，让学生亲自动手体验操作，并且还能和信息技术相结合。1、学生利用网络查阅“化圆为方”问题，了解“化圆为方”提出的背景，并理解什么是“化圆为方”。在这个过程中，学生通过网络，不仅能查阅到“化圆为方”问题，而且还可以了解到相关的“三大几何作图问题”(倍立方、化圆为方和三等分任意角)。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魅力，刺激了许多学者投身研究。关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。2、学生分组，通过动手实验体验平面几何“尺规作图”的魅力。由于历史上对“化圆为方”问题的记录过于分散，对于学生来说，他们还不能从文字中了解到究竟用了什么样的方法进行了研究，最终问题解决没有。对于这样一个只需要很简单的平面几何知识就可读懂的数学问题，入手很低且结论并没有明确给出，很容易激起学生的思考和动手探索的愿望。根据学生的心理特点，多数学生在读懂了问题之后，总有一种心理上的期望——这个问题应该很容易解决啊～看似平凡的一个问题为什么会有如此大的魅力呢,认识上的冲突，使得他们不会急于查看数学史上对此问题的解决过程，而是自己动起手来。学生凭借在初中时学过的欧氏平面几何知识，在总是“差一点儿”的动手过程中，思维被充分激起。3、通过网络阅读，了解“化圆为方”问题的解决历程。深入了解每一种“解决办法”的数学思想，重现大师的思维。学生在自己动手不能，而又无法证明的情况下，带着对问题的怀疑与好奇系统地了解“化圆为方”的解决历程。4、深入了解每一种“解决办法”的数学思想，重现大师的思维。学生在阅读的过程中了解到:历史上竟有如此多的大师对这个问题感兴趣，并且做着非比寻常的努力。在重重困难面前，大师们并不甘心，而是弱化问题的条件，使得最初的“化圆为方”问题又有了其独特的魅力。5、通过数学探究软件GSP4.05分组进行绘图实验，体验蕴涵其中的数学思想方法。(学生已经有了一定的画板GSP基础) 为了探究的方便，学生可以借助于工具GSP4.05进行电脑绘图。学生在探究中发现:手工作图是无法实现其“穷竭”思想的，学生可以借助于电脑绘图进行演示来说明问题。人们为不能尺规作图而遗憾的时候，却欣赏到它另一面的完美。6、了解“化圆为方”问题不能解决的原因。这是一个正面几乎无法进行入手证明的问题。这也是留给学生的一个后续问题。通 31 过这样的课程，学生既可以从文化和美学的角度去欣赏，又可以亲自去思考和探索，必然会吸引学生对数学问题的浓厚兴趣。 在当前的教材内容与数学史相关并且能够贴近学生的并不多，尤其是学生可以亲自动手体验操作的少之又少。的确，学生自己参与时，他们会表达不清自己的意思，会失败，但学生在这些过程中学到的是很多的。 三、对于数学史融入数学课堂教学的总结与展望 在数学学习中渗透数学史教育，这是一种全新的教学内容，能不能成功、能不能达到预定目标，取决于能否编写出好的适用的教材和能否组织好胜任的教学人才队伍。这里要强调指出的是:数学史的教育意义不是教条，数学史的教育意义主要不是理论论证而是实践开发。可以相信，数学史与数学文化方面的课程将能够达到预定的目标，能够帮助学生在学习、研究和应用数学的过程中逐渐体会，不断提高对数学文化价值的认识，把学生对数学的“恨”或“怕”转化成“爱”和“亲”，从而全面提高数学乃至其它课程的教学质量。 一个不懂得在数学教学过程中充分利用数学史的教师是不合格的 只有充分利用数学史的价值，把数学知识行成过程中蕴涵的思想价值挖掘出来，呈现在学生面前，使学生受到一种潜移默化人格培养，这才是真正的教育工作，也是一个数学教师在新课程理念下课堂教 学的追求，真切的希望通过几代人的努力，使我国的数学水平更上一个台阶～ 参考文献 32 1、 米山国藏.数学的精神思想和方法[M].成都:四川教育出版社,1986,1-123. 2、 李恩波.历史观念是攀登巨人肩膀的理性阶梯[J].自然辩证法研究，1991，2:27-30. 3、 苏霍姆林斯基.给教师的一百条建议[M].天津:天津人民出版社,1981,34-89. 4、THaimo D.实验与猜想是不够的[J].数学译林,1995,3:12-15. 熊丙章 刘丽颖. 美国高中数学教材的启示[J].中学数学杂志,2004,6:1-4. 5、 6、 王振辉,汪晓勤. 数学史如何融入中学数学教材[J].数学通报,2003，9:18-21. 7、 李文林(数学史与数学教育,D,.北京:中国科学院数学与系统科学研究院数学研究 所,2005 在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。 义务教育阶段各科课程目标都围绕三个基本方面:知识与技能，过程与方法，态度情感价值观，对于理科课程，还进而包括理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融合。 数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣， 培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。 附录:《数学史与数学教育》构思 本书通过多个侧面和大量具体案例论述数学史的教育价值，结合新课程标准的要求，为教 33 师将数学史内容用于实际教学提供直接的指导和帮助。 第一章 读史使人明智——数学史的教育价值 一、揭示数学知识的现实来源和应用 历史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。 二、理解数学思维 一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解， 可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程， 而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛， 而不是单纯地传授知识。这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。 历史的发展过程可以告诉我们， 在一个专题、一个概念或一个结果的发展中，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步，从而更深刻地理解它。历史还可以告诉我们在学习过程中可能发生的困难以及克服该困难的可能的途径。 比较历史上的不同时期、不同民族或地区对同类问题的不同处理方式， 或同类方法的不 34 同地位与应用， 可以启发学生的解题思路， 并从中比较优劣， 体会到数学思维的真谛。 历史可以为我们提供那些答案是“不可能”或“不存在”的问题， 而对这些问题的探索， 是数学研究的一个极为重要的方面， 也是数学思维品质的一个重要方面。 三、数学历史名题的教育价值 对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性， 提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣;历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的;许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的;最后，历史名题往往可以提供生动的人文背景。 向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。 数学中有许多著名的反例，通常的教科书中很少会涉及它们。结合历史介绍一些数学中的反例，可以从反面给学生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解。 四、榜样的激励作用 35 帕斯卡16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器。牛顿22岁发现一般的二项式定理，23岁创立微积分学。高斯19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》。波尔约23岁提出非欧几何学的基本思想。黎曼被认为是有史以来最大的几位几何学家之一，他在25-28岁期间在数学的三四个领域连续做出了重要的开创性工作。阿贝尔22岁证明一般五次以上代数方程不存在求根公式。伽罗瓦创建群论的时候只有18岁，死时还不满21岁。克莱因23岁发表“爱尔朗根纲要”，全面推动了几何学的研究。哥德尔25岁发表震惊整个数学界的“不完全性定理”。图灵24岁发表论理想数的论文，提出了通用计算机的基本原理，从而成为理论计算机之父。法国的布尔巴基学派对20世纪数学的发展产生了极大影响，它的几位主要创建者当时年纪最大的也只有32岁。 19世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农，直到14岁还没有学过写字，18岁才正式开始读书，后来靠作私人教师谋生，经过艰苦努力，终于在30岁时在数学上做出重要工作，一举成名。外尔斯特拉斯读大学耽于玩乐，未能毕业，离开大学后才开始发愤努力，40岁获得数学界承认，50岁左右成为杰出的数学家，晚年被欧洲数学界公认为“我们大家的老师”、“数学的良心”。 古希腊数学家阿那克萨戈拉晚年因自己的科学观点触怒权贵而被诬陷入狱面临死刑的威胁，但他在牢房中还在研究化圆为方问题。阿基米德在敌人破城而入、生命处于危急关头的时候仍然沉浸在数学研究之中，他的墓碑上没有文字，只有一个漂亮的几何构图，那是他发现并证明的一条几何定理。为了让天文学家从繁琐的计算中解脱出来，纳皮尔发明了对数，而为了计算对数表他自己却整整花费了20年的时间。17世纪初，鲁道夫穷毕生精力将圆周率π的值计算到35位小数，并将其作为自己的墓志铭。大数学家欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，以致由于他的论文多而且长，科学院不得不对论文篇幅做出限制，在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。 36 数学家的墓碑与墓志铭。阿基米德:圆柱容球。雅格布?伯努利:对数螺线。高斯:墓前塑像底座为正17边形。 这样的一个名单可以开得更长，这些杰出数学家的故事对于今天的许多学生来说，无疑有着巨大的激励作用。 许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会(这往往能够获得比从正面讲解更好的效果)，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富得多的人文内涵。 第二章 源头活水——数学知识的来源和背景 一、问题的提出、解决与发展 例如: 小学数学中的“盈亏问题”，现在已经成了一个固定的套路，由于简单地认为它所处理的仅仅是含有两个未知数的一次方程组，因而或者认为毫无介绍的必要，或者直接用线性方程组求解。实际上，《九章算术》中的“盈不足”算法的本意在于，通过两次试验，将当 37 时出现的各种复杂的线性问题以及非线性问题化为盈亏类问题，给出一种统一的处理方法，对于线性问题得到精确解，对于非线性问题得到近似解。书中处理的问题，有的是二次方程问题，有的本质上是指数方程问题。 中国古代数学书《孙子算经》中有一个著名的问题“物不知数”，看似一个简单的数学游戏，实际上是对中国古代天文学中推求上元积年算法的一个概括，或者说是推算上元积年的一个数学模型。 几何三大难题是怎样提出的，希腊人为什么要研究这样的问题，这三个问题难在何处，它们的最终结果是什么。虽然在义务教育阶段不可能将有关的数学方法和结果真正说清楚，但是，首先，对许多学生来说，这三大难题是有趣的;其次，这三个问题地提出与发展十分典型地表现了数学问题与方法演进的一般规律，这不仅对学生理解初等几何有很大的启发作用，而且可以从中体会更一般的数学思想方法，例如，从反面去思考问题，不可能性问题在数学中的意义等;第三，几何三大难题及其相关问题与初等数学中相当广泛的内容有关系;最后，许多业余数学爱好者为求解这三个问题花费了大量精力，却不知道它们早在19世纪就被否定地解决了。 二、方法、重要结果及原理的建立、应用与发展 例如: 毕达哥拉斯定理是初等数学中一个非常优美而深刻的定理，又有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣。1940年，美国数学家卢米斯(E.S.Loomis)在所著《毕达哥拉斯命题》艺术的第二版中收集了了它的370种证明并作了分类，充分展现了这个定理的无穷魅力。围绕这个著名定理既有许多动人的故事，它的多种证明方法又是学习数学思想与方法的生动材料。 38 黄金分割同样十分优美和充满魅力。早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，欧几里得在《几何原本》中给出了一个十分精彩的证明。近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着密不可分的内在联系。 割圆术起源于公元前5世纪希腊数学家对化圆为方问题的研究。它非常直观而又十分深刻。由于直观，任何人都可以自然地接受它和理解它，而其中蕴含的思想与定积分是相通的，对于理解一般的面积体积度量问题也有明显的帮助。 刘祖原理通称祖暅公理，西方称之为卡瓦列利原理。它是初等几何中处理面积体积问题的一个关键性定理，其基本思想在《九章算术》终就有所体现，刘徽(公元263年)在许多场合用它解决问题，祖暅(6世纪)明确概括了它，这比意大利数学家卡瓦列利(17世纪)的相应工作早了至少1000年。从直观意义上这个原理并不难理解，但其中的思想也是与定积分相通的。 些结果对于开阔学生的眼界、启发思维和为进一步的学习奠定基础都是重要的，而把它这 们作为历史上的著名工作来介绍，又会增添许多文化韵味并极大地激发学生的兴趣，从而有助于学生对数学建立良好的情感体验。 三、概念的提出与发展 通过对历史的介绍可以使学生更好地体会到，数起源于“数”(shǔ)，量起源于“量”(liáng)，因此数和兴都来源于现实世界。 希腊人为什么要引入素数，没有素数会怎么样,从古至今寻找大素数的竞赛以及人们为什么要这样做。 39 作为位值制记数法中表示空位记号的零。作为一个数的零是怎样被引入的，其中有什么困难。印度人的相应工作。 最初无理数是怎样被发现的，它为什么会被称为“无理数”。毕达哥拉斯学派。 最初的一些长度单位是如何确定的。 既然记数是10进的，在度量角度时我们为什么要用60进制,从巴比伦人的数学贡献谈起。 圆周率π的简要历史 (方法， 数值， 公式， 性质)，其中有许多动人的故事。 四、理论体系、数学分支的建立 例如: 通常所说的算术，在中国至少可以追溯到甲骨文的时代，在巴比伦至少可以追溯到公元前1900年，在古埃及至少可以追溯到公元前1850年。初等数论(公元前5世纪)。欧几里得几何(约公元前300年)，非欧几何(19世纪)。代数学作为解方程的学问(9世纪);近代意义上的代数学(16世纪，韦达)。三角学作为初等数学中的独立分支(13世纪阿拉伯，15世纪欧洲)。 希腊历史学家希罗多德认为，埃及几何学起源于尼罗河每年泛滥之后土地的重新丈量。这或许是真的，但他所叙述的事情发生在大约1300B.C.，这比两部主要的埃及数学纸草书的年代晚了许多，因此在时间上肯定是有问题的。 40 第三章 奇思妙想哪里来——揭示数学思想方法 一、主要数学方法溯源 二、中学数学中典型方法的历史背景 三、经典案例分析 第四章 数学是美丽的——引导数学欣赏 一、尝试欣赏数学 二、数学历史名题欣赏 三、数学方法与思想欣赏 四、数学推理、模型与构图欣赏 五、数学精彩结果欣赏 六、数学概念与性质欣赏 41 七、数学理论体系欣赏 八、欣赏数学，领悟数学 第五章 追随大师的脚步——介绍名家名作 一、中国古代名家名作 二、外国古代名家名作 三、近现代名家名作 第六章 站在巨人的肩上——数学史与新课程 一、关于课程标准对数学史内容的要求 1. 在“教材编写建议”中对数学史内容提供较为充分的线索，使教材编写者有较大的选 择余地。 2(在“总体目标”中原则性地提出要求。 3(在“分学段目标”中，数学史知识可以作为完成其他具体要求的一种手段和途径。 42 二、数学史进入课程的基本形式 新的教学内容的引入部分;例题;习题;阅读材料(分为“小资料”和“扩展性阅读材料”两类)。 三、论数学史阅读材料的作用 (二)对高中数学史选修课的一点看法 基于本文第一部分的考虑，高中数学史选修课应该主要是一门数学课，而不是历史课。它的目标和重点应该在很大程度上围绕高中数学课程的目标和重点，同时兼顾义务教育阶段已经涉及的一些重要数学内容。 目前高中数学课程标准中对数学史以及数学文化的课程定位、具体要求乃至选题设计都是相当到位的。 在知识性问题上不应要求过高，重在突出数学思想方法，突出启发性和引导性，激发学生的兴趣和思考。 由于只有18课时，不可能系统讲授。又由于这门选修课是为在数学方面具有一定实力和足够兴趣的学生开设的，因此在内容选取上要精心考虑。教材要有足够的引导性和相当程度的开放性。为使课程有适当的容量，适当的扩展阅读是非常必要的。 43 基于上述考虑，这门课相当比例的内容可能按照如下模式进行教学: 提出问题——引导阅读(课外)——讨论交流——教师的概括与提升——进一步的阅读 这样的课程，一方面对教师的数学专业素养和数学史素养提出了较高的要求，另一方面也对配套的课程资源提出了要求，如教师参考用书，学生课外读物，电子音像资料，多媒体教学课件等。 高中数学课程标准中“数学文化”没有独立的模块，需要渗透在其他模块或专题中，数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对此，课程标准在教学要求和选题上已经有明确的考虑，例如，有一半左右的推荐选题与数学史有直接关系。但是，对于实际的教学，似乎有必要给出更进一步的引导，使教师可以方便地实施。 附录:课程标准原文 要求 1.数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。 2.学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展求知、求实、勇于探索的情感和态度;体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性; 44 提高学习数学的兴趣。 3.以下选题供参考。 (1)数的产生与发展; (2)欧几里得《几何原本》与公理化思想; (3)平面解析几何的产生与数形结合的思想; (4)微积分与极限思想; (5)非欧几何与相对论问题; (6)拓扑学的产生; (7)二进制与计算机; (计算的复杂性; (9)广告中的数据与可靠性; (1O)商标设计与几何图形; (11)黄金分割引出的数学问题; 45 (12)艺术中的数学; (13)无限与悖论; (14)电视与图像压缩; (15)CT扫描中的数学一一拉东变换; (16)军事与数学; (17)金融中的数学; 海岸线与分形; (1 (19)系统的可靠性。 (三)数学史进入中小学数学课程带来的连锁反应 ?对中小学数学教师的数学史素养提出了较高要求 ?数学系本科数学史课程的普遍开设 ?数学史硕士研究生的培养 46 ?相关的数学史课程资源的开发 上述四方面工作，每个都是系统工程，有大量具体工作有待进行。以下就这几个方面发表一点粗浅的看法。 1(中小学数学教师的数学史素养 小学和初中:具有初步的数学史常识、并且能将其初步融入数学课程的数学教师。培养途经:1(数学系本科数学史课程。2(在职培训。 高中:能开设数学史选修课的教师。培养途经:1(在数学系本科数学史课程的基础上，进一步开设数学史讨论班。2(在职培训。3(数学史硕士课程班。 数学史硕士课程班:以相对简单的方式，较短的周期，解决中学数学课程对教师数学史基本知识的要求，特别是在较大范围内解决高中数学史选修课的任课教师问题。 对此，应做好充分的前期准备，包括对课程计划的充分论证和相关的资源开发，不宜一哄而上。 2(数学系本科数学史课程的建设 47 第一步，努力在尽可能多的高师院校数学系开设数学史选修课。需要特别注意的是保证这门课程的开课质量。目前的实际情况是绝大多数高师院校数学系缺少数学史教师，更缺少对数学史课程必要性的认识。另外，以往某些学校的数学史课程是由一些对数学史有一定兴趣但缺乏足够了解的教师开设的，呆了一系列问题，例如课程在很大程度上照本宣科，成为大事年表或流水账，枯燥乏味，缺少启发性等。我的一个基本看法是，数学史课，开就要开好，否则不如仅仅设为讨论班。数学史课成功的首要条件是有好的教师。 第二步，对高师院校数学系的数学史课程在目标和内容等方面达成共识，形成较为规范统一的课程标准。1984年曾经起草过一个教学大纲，但由于种种原因未能实行。 从目前的需要几所具备的条件看，前两步基本上可以同步进行。 第三步，在前两步的基础上，形成与达成共识的课程标准相协调的高师院校数学系数学史教材，可以开发多种不同风格的教材，但在基本目标和内容上应该是彼此大体相当的。 第四步，努力使数学史课程成为高师院校数学系的主要选修课甚至必修课，前提是要有数量足够的、具有足够数学专业素养和数学史专业素养的数学史教师。 (高师院校数学系数学史师资的培养 3 (1)数学史博士或硕士研究生 数学专业素养 48 数学史主干内容 适当的科学史、文化史、哲学(包括科学哲学、哲学史)素养 目前的感觉是，数学史硕士研究生的数学专业素养相对薄弱，哲学和文化史素养相当缺乏。 (2)数学史研修班 协调国内具有数学史研究生指导力量的单位(包括中科院、综合性大学和高师院校)，可以同时在几个地点，利用大约两个假期，为有兴趣开设数学史课程而又缺少数学史专门人才的高师院校培训数学史教师。学员来自各高师院校，可能是数学教育研究方向的教师，也可以是其他研究方向的教师。研修班的规模不宜过大，例如不超过20人，从而可以较为充分地研讨。 (3)数学史访问学者 在国内具有数学史研究生指导力量的单位(包括中科院、综合性大学和高师院校)招收数学史研究方向的访问学者，采取短期访问、长期联系的方式提高进修者的数学史专业素养。 49 4(相关的数学史课程资源的开发 (1)中学:高中数学史选修课教材;教师指导书;教师参考书系列;学生课外读物;电子音像资料;多媒体教学课件等。 (2)高师院校数学系:数学史教材建设;教师教学手册;教师参考书系列;学生课外读物;电子音像资料。 关于怎样在教学中穿插数学史的一些想法 关于怎样在教学中穿插数学史的一些想法 教学中讲述数学史的重要性是很明显的，然而人们怀疑它的可行性，尤其是一些工作在一线的教师抱怨教学任务重而课时少，根本没有时间去讲数学史。在此，本人想给出几种在 课堂中穿插数学史的方法，供大家参考。 一、数学史引入教学内容 任何学科都有其形成、发展的过程。如果我们能顺着它的起源来学习，这对学生掌握数学思想是有百益而无一害的，而且通过一小段数学史来引入教学也可以吸引学生的兴趣，使其在上课时注意集中，带着疑问去学习效果自然会好些。比如我们在讲到无理数时，可以先讲一讲古希腊毕达哥拉斯学派，告诉同学们希帕索斯因为发现 ?2无法用整数之比来表示而被处死这一事件。“希帕索斯到底是为什么被处死了呢,这个神秘的?2究竟是什么,”通过发问引起学生的兴趣。当然了，在学习无理数时学生们可能还没有学过勾股定理和开方，但这也可以通过一两句话来让学生们接受，并不需要理解。而且整个事件(包括说明毕氏学派信仰的“万物皆数”和?2的来源)完全可以在几分钟之内讲完。通常在这里教师们都会把数扩展到实数范围。“毕氏所说的数就是我们以前学过的有理数，而希帕索斯发现的像?2这样不能用整数之比来表示的数就是今天讲的无理数，这样我们就知道了数有有理数和无理数之分”。两句话就完全说明了有理数和无理数的本质区别，也就 是分类标准。 二、教学中插入数学史 在此需要说明的是这里说的教学中并不局限指一节课的中间时间，而是指教学任务将要完 50 成或完成时，可以通过一段数学史来说明某种思想的发展或应用，也可说明与此内容相关 的别的数学思想，这样可以提高学生的能力。同时，一节课经过一段时间后，学生的注意 力就会下降，可以通过它来缓解压力、提高注意力。在讲完一元二次方程的解法后，可以 顺着解方程的思想来讲一讲一元三次方程的故事，说一说卡尔丹与塔塔利亚之间的恩怨。 我们可以顺便说一说先辈们在解方程上做的努力，从三次方程到四次方程的顺利类比，以 及无法扩展到五次方程的困惑，直至伽罗瓦彻底解决五次方程解的问题。使人们对解方程 的思想有了一定的了解。当然在讲述时我认为应对数学思想有所侧重，这样可以达到提高 学生认知、使学生掌握数学思想的目的。 三、章节小结时引用数学史 在一章或一部分内容讲完后，专门来找一节课理顺这部分内容，使学生从整体上把握它， 是每个教师都会做的。如果我们能以其发展历史为顺序、以其数学思想作主线，从历史的 角度来看这种数学思想，也许更能让学生从全局把握它，而且也了解了这种思想的来龙去 脉。在微积分讲完后，找一节课来讲它的发展史，你会发现是很有意思的。可以从古希腊 的欧几里德用极限求和的思想来算圆面积，就已经蕴含了积分的思想开始，说一说古代的 数学家为微积分做的准备，微分学与积分学的发展先后自然就明了了。讲一讲牛顿、莱布 尼茨所发明的微积分不成熟的样子，由此引起了第二次数学危机，直至魏尔斯特拉斯给出 -δ的方法来定义极限才巩固了微积分的基础。可以在此过程中插入微积了严格的用ε 分的思想来达到总结概括的目的。当然，如果讲一讲牛、莱为微积分发明的优先权之争这 一段不光彩的事情也未尝不可。我个人认为在教学中讲述数学史以这种通过历史来揭示数 学思想的方法为最佳。 当然在具体的教学中不应局限于以上方法，因人因境而异。有时一句看似不经意的话 却能起到很好的作用。只要本着向学生灌输数学思想、提高数学能力的原则，任何方法都 是有效的。 中学数学史教育的问题及其策略 ?何玲爱 任何一门学科都有它自己产生和发展的历史，像数学这样历史悠久、分支繁多、抽象难学且有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更加漫长、更加艰辛。人类从对自然界数量关系和空间关系形成模糊的认识，到形成数的概念、记数符号、计算方法以及图形的知识着一过程是一个十分了不起，其间不知道经过了多少人的努力，经过了多少思考的积累。 数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科，它研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，探索前人的数学思想，借以指导数学的进展，并预见数学的未来。法国 51 数学家庞加莱说过:“如果我们要预见数学的将来，适当的途径就是研究这门科学的历史和现状。”我国数学家吴文俊也说过:“数学教育和数学史是分不开的。”一般的数学史料可以使数学教育的内容变得更加生动有趣，古代数学的伟大成就可以激发和提高民族自豪感，数学发展史的高潮及其成功的经验可以作为今后发展数学的借鉴，而低潮和失败的教训可以帮助我们今后少走一些弯路，历史上的数学思想和数学方法可以给我们今后的数学发展以启示。 对于现行的教育体系，初中生是否需要数学史,到底数学史知识对他们的学习有无帮助,现行教材中有关数学史的知识是否能满足学生强烈的求知欲望,当前初中数学课堂教学中应该如何渗透数学史的内容,初中生感兴趣的是哪些方面的数学史知识,本课题研究的目的，是通过对中学生有关数学史知识及其认识的调查，发现一些问题并提出建议，以促进中学数学教育。 一、调查情况 ?调查对象 为使调查结果更为客观、真实和具有代表性，笔者分别选择浙江省诸暨市暨阳初中,(,)班，,(,)班，诸暨市浣纱中学三(,)三(,)班，诸暨市浣江中学三(,)、三(,)班三所学校六个班共,,,位学生进行问卷调查，实际发放问卷,,,份回收,,,份问卷有效率,,。,,, ?调查结果和分析 一是大部分学生喜欢数学史知识 对(,)你喜欢数学的历史吗,(,)你认为数学史对你的学习有无帮助,(,)你认为数学课上介绍数学史有无必要,(,)你是否希望老师在上课的时候讲一些结合课堂内容的数学史识等内容进行了调查问卷。 从调查结果看，只有极少数学生不喜欢数学史;有半数以上的学生觉得数学史学习对于他们平时的数学学习是有帮助的;大部分学生认为数学课是介绍数学史知识是有必要的;他们希望老师在上课的时候结合课堂内容讲一些数学史方面的知识，有此可知，学生对于数学史知识是很感兴趣的而且认为数学史知识有助于他们的学习，那么将数学史知识融入数学教学中将会是行之有效的办法。在回答第六题“是否希望老师在上课的时候讲一些结合课堂内容的数学史知识，看来学生数学史知识的获得很依赖教师的讲解，笔者也觉得教师在学生的数学史学习中有着重要的指导作用，课堂教学是渗透数学史知识的主要阵地，教师在课堂上的介绍可以引发学生的学习兴趣，促使学生有意识地关注数学史的知识，而且可以将教材中的引言、旁注和阅读材料进行合理的运用。 二是目前教材的处理和教学方法不能满足学生的需要 对(,)你希望数学史的知识以怎样的形式穿插在数学教材中,(,)你最希望得到的是哪方面的数学史知识,(,)你平时还通过怎样的途径获取数学史方面的知识,这三道多选题及(,)你认为数学教材中数学史的内容是否丰富,的调查结果的统计，发现现行初中数学教材中的数学史内容以旁注阅读材料的形式穿插于其中是为绝大多数学生所接受的，不过也有个别学生希望在教学内容正文中穿插数学史的知识，可见学生是希望数学教材能够变得更生动有趣，更系统完整，而且在回答第(,)题”你认为数学教材中数学史内容是否丰富只有,。,,,的学生认为是丰富的，可见数学教材中的数学史内容还远远不能满足学生对数学知识的渴望。从调杳结果中可以看出学生们希望掌握数学知识的产生过程、希望知道数学家们的生平事迹、希望了解数学的新发明、新成果。除了课堂上老师的讲解和教材中数学史知识外，学生在平时通常是通过看课外书和上网获取这方面的知识的。从问卷的第(,)题“写出你知道的著名数学家的名字”中了解到绝大多数学生写出了陈景润、华罗庚、祖冲之这些在国际上享誉在盛名的国内数学家的名字，很少有学生写出牛顿、欧拉、高斯、莱布尼兹等国外大数学家的名字， 52 由此可见绝大多数学生对于数学里某个知识发展过程中为之奋斗、为之牺牲、为之贡献的数学家的情况知之甚少。 二、数学史教育的意义 加强数学史在数学教学环节中的地位和作用对提高数学质量和培养学生的数学思维能力都是有帮助的。 关于数学史在数学教学中的地位，美国著名的数学史专家,?克莱因是这样说的:“通常一些课程所介绍的只是些似乎没有关系的数学片断，数学史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容相互联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来„„课本中的字斟句酌的叙术未能表现出创造过程的斗争和挫折，以及在建立一个可观的结构之前数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究所攻问题的勇气。” 关于数学史在数学教育中的作用，结合有关文献的研究，大致有以下几个方面: ,、有利于培养辨证唯物主义观点 通过数学史的学习，可以让学生了解到数学是不断发展变化的，数学的发展是由生产力的发展和社会的进步所确定的，同时也是数学内部矛盾运动的结果。数学所研究的是现实世界的空间形式和数量关系，它来源于现实世界，是现实世界的一种能动的反映，且这种反映是抽象与具体、主观和客观的辨证统一。臂如，古埃及的尼罗河每年洪水泛滥，经常冲出两岸的地界，这样就必须设法测量并重新勘定田地的界限，在这实际需要中，测量土地的方法,,几何学就产生了，可见几何不是人类思维创造的产物，而是产生于测地的实际需要，这充分于测地的实际需要，这充分体现了数学和实践的辨证关系。 ,、有利于进行爱国主义教育 中国古代有着光辉灿烂的文化，在数学领域中有辉煌的成就，古代数学中有许多成就曾处于世界领先地位，例如，我国著名的“算经十书”之一的《九章算术》被公认为世界最杰出的古典名著之一;祖冲之将π的近近值精确到小数点后第七位的世界纪录比西方国家取得同等成就早一千多年，宁朝秦九韶的“大衍求一术”令世界瞩目;“杨辉三角”、商高的“勾股定理”等在世界数学史上都有高的地位;近代数学家华罗庚教授发起的优选法被广泛应用于生产与科学试验，创造了很大的经济价值;数学家陈景润已经证明了“,，,”这一陈氏定理，震动了国际数学界等等，在数学教育过程中，实事求是的科学态度，可以点燃学生心中理想的明灯，树立长远的学习目标;数学家不畏艰难、不畏权贵的精神气魄，可以感染学生，鼓舞学生克服困难、顽强拼搏的勇气;数学家活泼开朗、热爱生活的心境可以影响学生，使学生心胸开阔、头脑放松，从而形成健康向上的人生观;数学家的思维方式和思想方法可以逐步影响学生的思维，使学生进一步模仿、内化，从而养成良好的思维习惯，让学生知道数学的过去和现在，可培养学生的爱国主义思想和民族自尊心，使学生树立自强自立的信念，激发学生的责任感和使命感，唤起他们的爱国热情，培养为国家富强，人民富裕而艰苦奋斗的精神。 ,、有利于实施模范教育 教育理论认为要树立学生远大的理想，榜样的力量是无究的，在数学教学中，榜样范例就是从数学史的众多人物中来，他们的治学精神是值得学生学习的，例如瑞士数学家欧拉，他是最伟大的数学家之一，是世界上最多产的数学家，他,,岁开始写作直至,,岁，他时常在不良的环境中工作，有时把孩子抱在膝上完成论文，在他,,岁时，一只眼睛失明，但他没有停止工作，不到,,岁，他的另一只眼睛也看不见了，但在双目失明后的,,年间，还口述了几本书和,,,多篇论文，欧拉的伟大不仅在于他对数学的贡献还在于他对数学的奉献精神，在数学教学过程中，结合教学内容，适当选取一些勤奋成才的数学家，介绍他们的生平趣事和对数学执着企求的精神以及对数学乃至人类的贡献，对学生主动学 53 习、勤奋学习起到潜移默化的作用，以数学家刻苦钻研、孜孜不倦的拼搏精神感化学生，从而形成学习数学的坚强毅力。 ,、有利于正确地认识数学 一般数学给学生一种错觉，似乎数学是没有变化和成长过程的，是天生完美无缺的体系，是令人生畏的概念、公式和定理的组合，在数学教学中合理地穿插数学史知识，将数学产生、发展和变化的科学演化过程暴露在学生面前，使学生懂得数学是一个动态成长的科学，数学的概念和理论是通过一系列矛盾、挫折而形成的，从而理解数学这个工具是怎样造成的，并且是可以修改的，这样才能使学生克服对数学的神秘感，使学生懂得数学中的每一个新概念、新理论的出现都是一个艰难、曲折且痛苦的过程，就会懂得科学不是先验的，而是人类实践和智慧的产物，需要为之付出巨大的努力和牺牲，这其中需要勇气需要创造，还可以使学生认识到数学与日常生活密切相干，许多实际问题可借助数学方法去解决，培养学生应用数学的意识，用数学的观点认识周围的世界。 ,、有利于更好地学习数学 数学史的发展过程和数学家的思维过程，有很强的示范性和启迪性，数学的发展是非常生动而且充满激情的。在数学教学中结合学习内容，有计划地介绍数学发展史，不仅可以拓宽学生的视野，丰富开拓内容，使数学教育更为有趣、快乐和容易，而且可以培养学生良好的数学品质，加深学生对数学本质的理解，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，增强战胜学习和生活中碰到到困难的勇气，养成良好的学习思维习惯，克服厌学、怕学的毛病，对数学家持之以恒、克服困难的精神的讴歌，培养学生对数学学习全神贯注、坚忍不拔的科学态度。 ,、有利于塑造学生数学的审美观 数学美是数学教学的内容之一，数学本身蕴含着丰富的美，古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯说过:“那里有数，那里就有美。”数学本身的审美价值和情趣是学习数学的最佳刺激。当我们认识到数学是一个五彩缤纷的美的世界里，就可以改变对数学煌成见，极大地提高学习数学的积极性。在平时的教学中，适当地穿插数学史中数学美的知识，挖掘数学美的因素，培养学生的数学美感和审美能力。例如由希腊数学家欧多克斯发现的黄金分割数学，即,,，,，,,,的正根(?,(,,,)，黄金数作为美的信条，统治着当时许多国家的建筑和艺术，譬如著名的维纳斯女神及太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全身之比皆为,(,,,;在达芬奇、提香、菩提切利等艺术家的作品中，有许多比例关系也都是,(,,,;古埃及金字塔形似方锥，大小各异，但底面边长与高之比都接近,(,,,。在数学教学中通过精心设计、生动的语言、精辟的分析、严谨的推理和有机的联系，定能使学生在美的熏陶中体会到数学的力量，有利于激发他们对数学的热爱之情，有助于增强他们的创造能力。 三、数学史教育的建议 数学史提示其“原先的质朴之美”，反映“当时数学的真与善”，在数学教学中，以数学教材的体系为主线，以“尊重史实，突出重点”为原则，适时地介绍一些数学史的知识，重视数学发展规律和数学思想方法的介绍，扭转学生畏难情绪，引导学生主动探究，让学生从喜欢数学史到喜欢数学学习，从而有效提高数学能力，那么，数学教育中如何渗透数学史教育,数学史如何与数学教育内容更好的结合呢,笔者认为可以从以下几个方面考虑: ,、运用数学史进行新课引入 一节课有一个良好的开头，这节课就成功了一半。好的开头能抓住学生的注意力，激起学生的求千欲望。运用数学史内容导入新课，让学生了解相关知识的来龙去脉，例如在讲等比数列时，可向学生介绍古代印度国王奖赏国际象棋发明者的故事来引入，如引一来，学生学习热情定能高涨，也就进入学习 54 的极佳状态了。 ,、运用数学史作为教学结尾 一堂课的收尾会令人余味无穷、浮想联翩，产生强烈的求知欲，譬如陈景润的老师在讲完整数的性质后这样说:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，而哥德巴赫猜想则是皇冠上的一颗明珠，这是一颗金光闪耀的明珠，你们谁能把这颗明珠摘到手呢,”正是老师的这番话在陈景润心中播下了哥德巴赫猜想的种子，恰当地运用数学史的知识进行教学结尾，能激起学生的教学情感，使其“余音绕梁，三日不绝”～ ,、介绍知识产生过程 数学教学的重要任务之一就是要学生了解数学知识产生的背景，通过生动的史实资料把学生事到知识系统产生、发展的历史进程中去，从而为优化学生形成认识能力和识别能力的过程创造一些有益的外部条件。例如，为了让学生了解函数概念的产生背景，并从中获得深刻理解，可通过瑞士数学家约翰?柏努利对函数概念进行了扩张，把“由变数,和常数所构成的式子，收做,的函数”，再后来欧拉将可以“解析表示的量”称为函数，此后又经过了向次扩张，才得到如今中学教材中函数的概念。只有当学生了解函数的多次扩张的发展史，才能更进一步认识和掌握它。 ,、运用数学史开展研究性学习 以数学史为载体开展一些研究性学习活动，可以让学生体会到数学与生活通常是完美、和谐结合的。在数学教学中渗透数学史知识，给学生提供丰富的数学史实，为学生提供有效的学习方法，可以是学生产生持久的学习动力。学生从教师那里获得知识，通过自己的努力有所提高，经过自己的思考、探索，更能发现掌握知识的欠缺，也就是“学，然后知不足，知不足，然后能自反也”，从而明确前进的方向。 ,、开展丰富多彩的课外活动 数学史在课堂上的讲述是很有限的，有进需要结合班会、知识竞赛等丰富多彩的课外活动来增进数学史的传授，比如，可以让学生收集有关圆周率π的趣文轶事;可以开设数学角、数学信箱征集学生感兴趣的数学问题等。这些活动具有一定的计划性和多样性，在课外活动时学生们身心放松，没有压力，在愉快的环境中获取知识更能受到切实的效果，况且课外娱乐时，学生可以亲自动动手收集资料，化被动学习为主动学习，同时对其它的学习也是有帮助的。 初中数学让学生普遍觉得枯燥乏味，抽象难懂，数学学习除了解题之外没有其他了，而在做习题时，有些学生也是茫然一片，无从下手，他们认为数学神秘莫测甚至对数学产和遗憾，失去了学好数学的兴趣，因此如何在不增加学生学习负担的前提下，使学习内容更为丰富，学习方法和手段更加多样，学习情趣更加浓厚，已经成为许多教育工作者共同关注的问题。 s数学教学中贯穿数学史内容，力求保证学生掌握基本的数学思想、基础的数学知识技能，形成对数学比较全面的认识;让学生在了解与教材中安排的与学习内容相关的数学发展史和数学家的传记、数学发展趋势和潜力等，充分体会数学发展的历史中蕴含着的丰富的数学思想，这既是发展学生智力和培养学生创新意识的基础，也是提高学生数学素养的有效手段。 (作者单位:诸暨市暨阳初中) 参考文献: ,、,美,莫里斯?克恩。古今数学思想,,,(海科学技术出版社(,,,,(, ,、徐品方(数学简明史,,,(学苑出版社(,,,,(, ,、钱克仁(数学史选讲,,,(江苏教育出版社(,,,,(, ,、袁小明(数学思想史导论,,,(广西教育出版社(,,,,(, 55 ,、唐绍友(数学教学中渗透数学教育的途径(数学通报(,,,,(, 附:问卷调查表 调 查 问 卷 同学:你好～请回答以下问题，谢谢～ ,你喜欢数学的历史吗,( ) ,(喜欢,(无所谓,不喜欢 ,(你认为数学史对你的学习有无帮助？ ,(有,(没注意,(没有 ,(你认为数学课上介绍数学史有无必要？ ,(有,(无所谓,(没必要 ,(你认为数学教材中数学史的内容是否丰富？ ,(丰富,(还可以,(不丰富？ ,(你希望数学史的知识以怎样的形式穿插在数学教材中？可多选 ,(以阅读材料的形式,(在教学内容的正文中穿插,(以主解或傍注的形式 ,(你是否希望老师在上课的时候讲一些结合课堂内容的数学史知识？ ,(希望,(无所谓,(不希望 ,(你最希望得到的是哪方面的数学史知识？可多选 ,(数学知识的产生,(数学家的事迹,(数学的新发现 ,(你平时还通过怎样的途径获取数学史方面的知识？可多选 ,(课外书,(上网,(同学讲解 ,(写出你知道的若干数学家的名字—— 、数学史进入数学教学的构想: 在诸多有关数学史的著作和论文中对数学史进入数学课堂的重要性及其意义论述得非常 到位，但在课堂中怎样进行数学史教育鲜有人提及。文[4]认为:数学史教育教学就是古文 加简单的算术题，主要是数列和勾股定理应用。古文晦涩难解其意，一旦译成现代文，题 目浅显达不到训练思维的效果。因此这种方式笔者认为是行不通的。文[5]认为:结合当前 数学教学现状，在数学教学中进行数学史教育教学的最可行办法是重视教材的编写，在适 当的位置增加与教学内容相关的数学史知识或注释，或给出具体的历史知识参考文献;重 视例题、习题和考题的编写，融数学知识于学生的习题训练中;重视课后在给学生的补充 材料中添加数学史知识，;重视数学实践(或研究性学习)中增添数学史知识等。这些方 法笔者认为是可行的，但笔者只看到本文的摘要，未见全文，很是遗憾。因此在笔者读到 的文章中对具体怎么做叙述是不到位的或是不切实际的。本文拟结合文[5]的观点对数学史 进入数学教学的构想进行如下阐述: 56 3、1改革考试评价方式: 数学史能否进入中学数学课堂，最大的争论焦点是:数学史的教学内容和教学效果能否进行有效评价，即数学史是否要成为考试内容。正如前文中的反对意见10，部分数学教育教学专家们认为即使将数学史编在课本内，一线教师也会由于不考而放弃这部分内容。即“不考就不教”。虽然许多有识之士都意识到这是教育的一种悲哀，但感到无力改变(如文[6])。笔者认为要改变这种现状就要改革考试制度。要改革考试制度首先要降低考试难度。我国的中学数学与其他国家特别是西方国家相比知识面比较窄，但难度却要大得多。我国初中一、二年级的数学试题难度足以成为其他国家的高中数学试题的难度甚至是大学的难度，高中数学高考试题的难度几乎可以与国外的数学竞赛试题相当。学生学得累，教师教得累。笔者所在学校虽然在历年的高考中均取得很辉煌的成绩，但是本校高中部每年都有一些成绩比较差(特别是数学成绩，可以用极其糟糕来形容，150分的卷子经常只考二三十分，甚至是个位数)，学习有困难，在国内升学无望，家庭经济实力比较强的学生出国留学(即在高中阶段就到国外读同等学力的高中或大学预科班)。每想到这些学习困难生到国外后几乎人人都有非凡的表现。为了保证不侵犯他人的隐私权，本文举例就隐去人名。学生A，女，外国语学校97级初中生。2002年由于自己意识到在国内升学无望，留学澳大利亚墨尔本读同等高中。一年后由于各科学习成绩优异，尤其是数学常名列全校第一，被保送入剑桥大学。学生B，男，外国语学校99级初中生，由于进入高二后学习成绩一直处于全年级最后，特别是数学，稳居全年级倒第一，考大学根本不可能，所以申请留学英国，在一所大学(这所大学的名称笔者忘记了甚为抱歉)的入学考试中力克该校各国留学生，以总分第一的成绩进入该校的大学预科班。当然这样的学生还有好几个，限于篇幅，不一一列举。今年暑假，A、B二人先后来到母校看望老师。从本人与他们的聊天中发现国外数学课上的例、习题以及考试试题所覆盖的范围非常广，几乎涉及了至今为止所有的数学知识，但所有试题的难度均不超过课本难度，那种拐弯抹角的试题几乎没有。只要认真学，肯定能学会。不象在中国，不论付出多大的努力，总是大不到预期的成绩。用B的话讲是:用功一尺，题难一丈。多次的失败使学生丧失了学好数学的信心。据B讲，他将我们平时学习资料中的一道题译成英文后求教老师，老师看题后说题目太难了，建议他不要去做，并说如果B对数学竞赛感兴趣，他可以介绍专门搞竞赛的教师为B辅导。由此看来我国的数学试题确实太难了。由于题目太难逼得中学教师只得用题海战术来训练学生，苦不堪言。而且数学学习由原来的与科学同等层面下降为技术训练层面的学习，使本来有的学习乐趣荡然无存。因此我国选手在国际数学奥林匹克竞赛中屡屡获奖，但这帮人中后来很少有人从事数学研究就不足为怪 著名教育家，苏州大学博士生导师，苏州市副市长朱永新在我校的一次讲学中说，如果他是教育部部长，他首先要做的一件事是降低考试难度，取消高考排名，使每一位学生都能取得理想的成绩，获得学习的成功感和乐趣。他举例说美国的课程和试题难度都很低，但他们的航天飞机照样上天了，在很多领域都领跑于世界。说明试题难度与科技发达程度之 57 间没有必然的联系。相反，似乎存在一个这样的规律，越是发达，考试题目相对越简单。比较江苏与上海的试题，读者或许就能明白了。当然这也不能怪出卷人。如果试题不超过现有课本的难度，照现在的教学方式(在升学压力的逼迫下，一线教师加班加点，学生反复操练)，人人都将得到满分，不利于人才的选拔。因此迫使他们不得不加大试题难度，以提高试题的区分度来甄别人才。其实这个问题很好解决。中国人习惯了自上而下的接受命令式的改革，只要教育部发文并真抓实干地做好以下三件事即可。第一严格执行中小学校的课程标准，开足开全各门功课，严格控制各考试科目课时(即课程标准规定每周几课时就只能几课时，不能多，也不能少。)，严格控制中小学校学生在校时间，严禁一切形式的补课。如果有违反上述规定者一经查实，扣除当事教师全年工资，撤消其以前获得的一切荣誉与称号，并追究该教师所在学校校长的领导责任。如果学校组织补课，将该校校长撤职，并追究该县(市)教育局长的领导责任。如果全县(市)有三分之一的学校违反上述规定，撤该县(市)教育局长的职。当然这必须有人不定期检查，查到一个处理一个，一级一级撤下来，象抓“非典”一样抓此项工作，一定能抓好。当学校教育教学也实行了朝九晚五或朝八晚四和真正的双休日后，素质教育才能真正得以实现，这时教育的春天才真正来到了。 让“数学史话”焕发生命的活力 ——小学“数学史”教育研究与实践 宁波市鄞州区下应中心小学 罗静伟 【摘要】 长期以来，我们小学的数学教学一直注重形式化的演绎数学思维的训练，比较强调数学的工具性。我们知道数学是现实的、是源于生活的;其实数学也应该是历史的、是人文的、是人类文明的结晶。当我们创设现实有意义的生活情境帮助学生建构数学知识、技能的同时，也应该为其建构数学史观、文化观、思想观。让学生在现实与历史的坐标中更真切地建构数学。 【关键词】 数学史 教育 研究 58 【正文】 数学是一种科学，也同样是一种文化。而要正确地树立数学的观念，培养一个民族的数学文化，我们就不能不追问这个民族的数学史，以及整个数学的学科发展的历史。而事实上，我国的数学教学一直注重形式化的演绎数学思维的训练，而忽视了培养学生对数学作为一门科学的思想体系、文化内涵和美学价值的认识，忽视了学习数学作为一门科学更内在的东西。随着新课改的进行，《普通高中数学课程标准(实验)》已经在教学内容上增加了数学史方面的内容，指出要通过数学史的学习使学生“体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”高中老师已把这块内容的学习纳入了日常教学。而我们发现在小学数学教学中，虽然随着课改的步步深入，教师的教学理念、教学手段在新课标的指引下都发生了可喜的变化。但对“数学史”如何融入小学数学的新课改中，如何在小学数学教学实践中发挥其最大的育人功能„„这方面的研究从目前来看我们还是做得不够，在现在我们的很多教师还有这么一种观念:认为数学学的应该是如何解题这样的方法技巧，而数学史作为课外了解的扩充知识倒是可以，成为正式的教学内容似乎没有必要。这使得培养出来的学生是个解题高手，却缺乏了起码的人性素养，这不是新课程的本意，更非教育的本意所在。因此，数学作为一门基础学科，数学知识已被大多数人了解的今天，我们有必要对数学史中的知识进行学习，我们应该了解数学史在学习中的重要作用。 基于以上认识，我校开展了对《小学“数学史”教育研究与实践》的研究工作。旨在改变传统的教学观，在新课程理念指导下，用全新的教育教学观念来指引我们的教学实践。通过“数学史话”的教育，让学生更好地去了解数学，发现数学，吸取知识的原汁，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识、民族自豪感和爱国主义情感，形成辨证唯物主义世界观，提升学生学习数学的素养。下面大胆地谈谈在将近半年的研究与实践中我们在实施《小学“数学史”教育研究与实践》过程中获得的一些体会与思考。 一、利用“数学史”教育来激发学生学习数学的兴趣。 夸美纽斯说:“兴趣是创造一个欢乐和光明的教学环境的主要途径之一。”布鲁纳也说:“学习的最好刺激乃是对所学学科的兴趣。”实践证明兴趣是最好的老师，是会学的前提，是小学生学习动机中最活跃最实在的成分。只有当学生把学习看作一种需要，一 59 种快乐，学生才会产生我要学的内动力，才会激起强烈的求知欲。在对“数学史”具体的教学、研究过程中，我们发现数学史中其实有很多能够培养学生学习兴趣的内容，而且这些内容能很好地融入我们的日常数学教学，能为我们日常的课堂教学所用。这就要求我们在平时的数学教学中，要充分考虑教材和数学史的联系，挖掘数学史中积极的成分，根据不同的内容，运用不同的方法来调动学生的学习热情，充分让他们展现自我，激起学生对学习的兴趣，使学生成为学习的主人。我们在研究过程中主要是采用以下几方面来为我所用的。 1、利用数学史中的经典游戏来培养学生学习的兴趣。 数学游戏能为学生动手、动口、动脑，多种感官参与学习活动创设最佳情景，激发学生的学习兴趣，调动学生积极性，最大限度地发挥学生身心潜能，省时高效地完成学习任务，同时，渗透思想品德教育，培养良好的学习习惯和心理素质，使智力和非智力品质协调发展。而在实际研究中我们发现，数学史中有许多经典的游戏可以作为培养学生兴趣的可贵资源。 例如,商人过河问题: 有三个商人带着三个随从和货物过河， 船每次最多只能载两个人，要求保证在过河期间商人的人数要大于或等于随从的人数，否则随从杀人抢货。 可以请学生6人小组合作来完成。看看哪一组最先取得成功。这样的数学游戏，每个学生都乐于接受，在游戏中不但激发了学生学习的兴趣。同时，在游戏中学生也找到了解决这个数学问题的方法。诸如此类的数学游戏还有很多很多，如巧拿火柴棒、幻方等，它们有很强的可操作性，作为课堂活动或是课后研究都可以达到很好的效果。 2、利用一些历史上的数学名题来培养学生学习的兴趣。 在漫长的数学历史中，有着许多有趣的题目，这些历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的。许多历史名题的提出与解决的过程是非常曲折的，通过学习这些题目，不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程，使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些被标本化了的数学。数学历史名题可以使枯燥乏味的解题过程变得富有趣味和探索意义。 60 比如“鸡兔同笼”问题就是我国古代的数学名题之一，它出自于我国古代的一部算书《孙子算经》。还有七桥问题、哥德巴赫猜想等，它们往往有生动的文化背景，也容易引起学生的兴趣。通过解决这些古代的数学名题，可以大大地调动学生的积极性，让学生在解题的过程中感受到智力的挑战，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，培养他们的探究精神和学习的乐趣。 3、利用一些著名数学家的生平、轶事来培养学生学习的兴趣。 在人类漫长的数学探索中涌现出了许多著名的数学家，将他们身上发生的许多趣闻轶事适当介绍给学生，可以有效拉近学生与伟人之间的心理距离，感受数学与人类密不可分的关系。如，在执教《圆柱、圆锥体积》时，可以介绍阿基米德测皇冠体积的故事。在教学《简便计算》的内容时，向学生说说大数学家高斯上小学时发现“高斯求和公式”的故事。通过这样的介绍，必然能加深学生对所学知识的理解和认识，冲破对数学家顶礼膜拜的心理距离，进而产生“心向往之”的学习动力。 其实学生在课堂中的任何发现都能从人类数学历史的发展历程中找到脚注。现实与历史之间有着密不可分的关系，可以说:任何脱离人类数学发展历史的创新和发现都是不存在的。我们的数学课堂在解读生活的同时，也应该做到解读历史、解读人类文明，使学生从心底里喜欢数学。 4、通过数学故事，激发学生学习兴趣 对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣，我们在教学中经常结合教材 向学生们讲述一些有趣的数学故事，激发他们对学习的兴趣。 比如可以给学生讲类似《取胜的策略》这样的数学小故事来引发学生思考，激发学习数学的兴趣:战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马:上马，中马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输无疑。但是田忌采纳了门客孙膑(著名军事家)的意见，用下马对齐威王的上马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。 在数学教学的过程中，如果能经常通过这些故事使学生体验到学习数学的乐趣，那我想学生对数学学习也许就不再是被迫无奈的了。 61 二、利用“数学史”教育来丰富数学课堂教学。 现行的数学教材教学内容编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但我们发现在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾:一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化;另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的，影响了学生正确数学思维方式的形成。 数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识，了解数学知识的现实来源和应用，而不是单纯地接受教师传授的知识，从而可以在这种不断学习，不断探索，不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。因此，我们认为在小学的数学课堂上也应该有数学史的声音。 1、数学课堂，以史入题。 良好的开端是成功的一半，以数学史为开端入题不仅可以使学生学习数学史，而且更重要的是可以激发学生学习兴趣，为新课的教学创造出良好的课堂氛围。如在教学多位数的认识时，可以给学生介绍古人多位数的表示方法——算筹表示数。它与现在阿拉伯数字表示法完全一致。 立算筹表示个位、百位、万位、百万位......卧算筹表示十位、千位、十万位、千万位......零用空位表示。这在公元前几个世纪里，是世界最先进的计数法和表示法。 62 筹算与阿拉伯数字计数、计算相比，不太方便，但在阿拉伯数字产生之前筹算是世界最先进的计算体系。筹算直到明代才退出历史舞台。而日常生活中，“统筹”、“筹划”仍留下了筹算的痕迹。珠算除法九归口诀。 经过这样的数学史教育后，学生对数字产生了浓烈的兴趣，学生思维的热情高涨，探究的欲望强烈。这样的引入，使学生对多位数的认识产生了强烈的兴趣。从而激发了学生的学习热情和求知欲望。 2、课堂教学过程中适时插进数学史。 我们都有这样的经验:学生如果能知道数学知识的来龙去脉，那么就能较好地掌握知识。数学知识的产生与发展必有其前因后果。因此，作为数学教师不仅要透彻地了解他们所教的那一部分数学，而且能够知其然也知其所以然，从而达到能教其所以然。 同时，数学是思维的科学，需要多动脑和多动手，这样不免使学生感到疲惫和乏味。这样我们如果在课堂上插进与教学有关的数学史知识，则会提高学习兴趣，而且更能很好的理解所学知识。如在执教《圆的周长》一课时，可以充分挖掘数学发展史中的经典内容。学生通过实践操作理解了圆周率，接着教师说:“同学们，你们通过猜想，验证知道了圆的周长总是直径的3倍多一些，其实早在几千年前的《周髀算经》中就有了这方面的探索和认识，其中提出“周三径一”的说法，你现在对这句话是如何理解的,你有什么感想呢,”有的学生说:“我觉得‘周三径一’就是指在同一个圆里周长总是直径的3倍。”有的学生说:“我觉得古代的人民真是很聪明”，也有的学生说:“这种说法并不完全正确，在同一个圆里，周长应该是直径的3倍多一些。”教师又说:“同学们说得非常好，随着历史的发展，到了一千多年前，我国古代数学史上又出现了一位杰出的数学家——祖冲之，它通过精确的测量和计算，发现圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这一发现，比欧洲类似的发现早了好几百年呢„„”学生听着老师的叙述不禁心驰神往，仰慕不已。接着教师又介绍了关于圆周率的近代知识。如:有的国外数学家已将圆周率算到小数点后几百万位了;圆周率是一个无限不循环小数;有的数学爱好者能一口气背出圆周率小数点后很多位等等。学生在这样由古至今，由中及外的数学发展史中感受到人类对数学知识的不懈追求，激发了强烈的社会责任感和献身科学真理的理想。 63 3、在课后布置数学史阅读材料 在小学数学教学中，在课堂上对数学史的学习毕竟是有限的，而且有许多的数学历史需要靠我们同学自己去发现、自己去挖掘。因此，有必要在课后布置数学史学习的阅读材料。同时，在现在的信息社会中，让学生通过进图书馆，上网等方式查阅资料，获取数学史料，这样不仅可以使学生学到数学史知识，还可以培养学生的信息素养。 当学生学完行程问题以后，可以布置这样的数学课后作业。请学生自己去了解一下关于运动的数学悖论——古希腊埃利亚学派提出的四个悖论之一的“阿基琉斯”(善跑英雄)追龟说。(阿基琉斯前面有一只乌龟，但永远追不上它。因当追到龟的出发地时，龟又向前爬了一段，追上这一段时，龟又向前爬了一段。如此，有限的路被无限分割，故要追上在时间上也是无限的。)然后，请同学们根据今天学的数学知识结合“阿基琉斯”追龟说写一篇数学日记。 我想这样的课后作业，不仅形式新奇学生乐于接受，而且学生通过自己的动手实践，收获到的知识要比我们传统的说教好的多。 三、利用“数学史”教育来进行德育教育。 在《标准》的要求下，德育教育已经不是像以前那样主要是品德与社会、语文、班会这些学科的事了。数学作为一门科学学科，也必须融入德育的内容。而数学史的教育恰恰能使数学教育有更强大的德育教育功能。 1、学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。 对学生进行爱国主义教育是我们教师义不容辞的责任和义务。我国在数学上有卓越的成就，对东方乃至全世界的数学发展做过巨大贡献。在数学教学中，若能结合教学内容，自然、恰当、生动而富有情趣的进行一些我国古今数学上的成就，可培养学生的民族自尊心和自豪感，增强热爱社会主义祖国的思想感情，这种教育效果是很难用其方式代替的。如讲“方程”时可向学生介绍:在我国古代的《九章算术》一书中就有有关 “方程”一般解法，它的解法除了符号、术语和计算工具不同之外，和现代使用的方法实际上是一样的。而方程解法在外国直到一千五百年后的17世纪末，德国数学家莱布尼兹才给出解法。说明我国的方程解法是数学史上的一大光辉成就，是中华民族的骄傲。又如刘徽发明了割圆术，得到 =3.14的世界首创近似值，而祖冲之是世界上的第一个算出圆周率到七位小数的人，比17世纪荷兰人安托尼兹早了一千一百多年„„现代数学界上也有令我们骄傲的 64 地方，如陈景润的哥德巴赫猜想“1+2”的证明遥遥领先世界水平„„所有这些辉煌成就都是我们中华民族的光荣，激励学生继承发扬我国数学的光辉成就，继往开来，为我国的数学发展作出贡献。 2、学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。 任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出毕生的努力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，他的论文多而且长，以致在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说，介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。 3、学习数学史可以提高学生的美学修养。 数学是美的，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。 总之，数学史奥妙无穷，数学乐趣无限。我们所做的研究和探索还是初步的，还有待于我们进一步地去发现、去探索。让我们徜徉在数学史之中，漫步于数学领域内，尽情地吸取前人的研究精华，去发现、探索、开拓新的数学天地吧～这是我们在课题研究中所获得的粗浅的认识，希望得到专家的指导与指正。 65 二、把数学史融入数学课堂教学的具体做法 数学史这方面的教学，非通常以具体数学知识的讲授为目标的课程所能替代，并且这方面的内容非常丰富，决非一、两节课所能阐明。因此在日常的数学教学中教师可以根据教学需要，适当的在教授过程中贯穿一些相关的数学史方面的内容，不仅可以增强教学效果，而且还可以提高学生的数学素质;同时设立数学史选修课等，也是非常必要的。对此在数学教学中是有许多工作可做的。那么将数学史融入课堂教学有哪些工作要做呢,我通过在实习期的观察和与学生交谈中，以及通过资料的收集整理，总结归纳，总的来说，有以下五个方面: (一)学习国外的经验，编创符合我们国情的教材 美国数学教材有重视数学史的传统。早期的数学教材中，常以大幅数学家的照片,冠以每章内容之前，照片下面或者反面则是数学家的简介,以后逐步变化。教材非常重视数学史内容，并注意将数学史知识紧扣教学内容。有时在教学内容附近介绍有关数学史的内容, 有时则将数学史的内容作为一章或一节的引入材料。例如，在介绍集合知识的时候，就介绍了十九世纪数学家康托(George Cantor 1884 —1918)发展了测量集合中元素个数的方法，康托利用一一对应关系，证明有些无限集合大于其他集合。如实数集就大于整数集，尽管两个集合都有无限多个元素。 另外，值得引起注意的是，教材在介绍完数学史后，设有一个叫做调查的栏目。它在其中提出一些理论与实际的问题，要求学生去调查研究。如查阅一下康托或其他数学分支应用集合理论的情形。相比之下，我国教材仅仅把数学史当作“阅读材料”，不入正文。教师和学生因而也就不去重视，甚至看也不看。美国教材注重数学史与教材紧密结合的做法值得借鉴。当然，我们也不能生搬硬套国外的东西，照抄他们关于这方面的编排，我们有我们自己的国情，自己的教学特色，自己的数学史文化，学生学习的方法特点也不尽相同。所以，我们要在吸收国外的先进的经验和思想的同时，结合我们自身在数学教学方面的特点，编创符合我们国情的教材。 另外,我们应关注这样的观点:数学史融入中学数学教材，应该有总体上合理的布局及介绍的视角，且所插入的数学史内容应与教材恰当地融合。虽然现在我们的教材还没有相关的数学史内容，但相信不久的将来，新的教材中一定会有数学史的一席之地的，且教师可以在平时的课堂教学中穿插相关的数学史的知识内容进去。 (二)结合教材内容，“见缝插针”，使数学史和谐地融入课堂教学 现代汉语词典对“和谐”的解释为:配合得适当和匀称。“和谐地融入”必须是数学史与数学知识点之间的衔接自然、适当，不能生搬硬套，而是要合理的过渡;“和谐地融入课堂教学”也就是在充满教师智慧的课堂氛围中，学生在课堂中能主动探求知识，常常会激发出学生创造性思维的“火花”。通过这样的课堂教学过程，每一位学生的创造潜能和个性品质都得以全面充分展现，学生的人格得到发展。 66 每一个数学分支，知识点都有它的起源、发展及数学家为之付出各种努力的一些佚事。教师可以仔细分析教材内容和学生的心理特点，在适当的地方挑选一些相关的奇闻趣事及其来源、发展，引起学生对这一知识点的了解和兴趣，也为新的课程的展开作好准备。 就初三“圆”这一章来说，有很多数学史的内容可以随着教学的展开，穿插在教学过程中。“圆”是一个古老的课题，人类的生活与生产活动和它密切相关。有关圆的知识在战国时期的《墨经》、《考工记》等书中都有记载，授课中将有关史料穿插进去，作为课本知识的补充和延伸。例如讲解圆的定义与性质时，可以向学生介绍，古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。 会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的:“一中同长也。” 即圆周上各点到中心的长度均相等;意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义与希腊数学家欧几里得的定义相似，但比欧几里得给圆下定义要早100年，此外，可进一步说明“圆，规写交也”，即圆是用圆规画出来的终点与始点相交的线。再比如圆心角、圆内接正六边形、直角三角形的内切圆、圆锥等一系列概念与性质，在《九章算术》等书中都有记载，用几句话向同学们作简要的介绍。这样，随着这一章教学内容的不断展开，学生们对我国古代数学在相关领域的发展有个初步的了解，明白我国古代就对这些内容有了比较全面、系统的认识。特别是早在战国时期就有了论证几何学的萌芽，几乎与古希腊的几何学同时产生。 这样的讲解不仅丰富学生的数学史知识，提高他们对学习数学的兴趣，在数学史的讲解过程中还涉及到了历史、地理、语文等学科几方面的的知识，具有一定的学科交叉性。 (三)根据教材特点，适当选择数学史资料，有针对性地进行教学，突出数学思想方法 数学文化的内涵不仅表现在知识本身，还寓于它的历史。将数学史引入课堂，比如讲述符号的历史，介绍某一个数学问题解决的艰辛历程，介绍数学家的名言和故事等。通过多种途径欣赏古今中外的数学史料。祖冲之、阿基米德、高斯、加罗华等等数学大师应该成为学生们经常讨论和崇拜的人物。介绍学生听数学史上的三次危机、哥德巴赫猜想等等，虽然学生可能还不太懂，但是，有很多的思想方法在其中，通过数学史的学习，让学生们在不知不觉中接受这些数学思想。这不仅可以提高他们对数学学习的兴趣，还可以激发他们克服学习困难的信心和求知欲。 “授之以鱼不如授之以渔”，这个道理谁都明白。我们也知道在数学教学中更重要的是注意方法教学:学生举一能否反三关键就在于是否掌握了其中的思想方法。如果我们教条地把一种思想方法灌输给学生，他们未必能接受，而数学史中隐含了很多的数学思想方法，我们怎样才能恰到好处地将前人的思想方法介绍给学生。这就需要教师这些执教者不断的 [11]学习总结。 67 比如中学生对于勾股定理的证明接受起来有点困难，而赵爽的“勾股圆方图”就使得证明更易于理解。证明方法是:“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。” 几何代数巧妙地结合在一起，所体现的也就是数形结合的思想方法。这种思想方法在解决一些疑难问题时总会收到意想不到的效果，并且在高中阶段尤其重要。 再比如在初三的圆内接多边形面积的这节课中介绍我国魏晋时代数学家刘徽首创的圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不割，则与圆合体而无所失矣。”这也是极限思 提早渗透也为以后的高等数学学习打下了基础。 想的最早体现。极限思想的 我们应注意挖掘数学史中的数学方法，并恰当的渗透到数学教学中。使学生能直观地接受。 (四)吃透教材精神，采取多种形式，增强教学效果 把数学史融入日常教学，进行思想教育，教师不仅要吃透教材的知识内容，还要努力挖掘 [10]教材的思想性，并采取多种形式，形象生动地进行教学。 例如初三教材第七章的7.3节有道例题，是通过计算赵州桥桥拱的半径，使学生掌握垂径定理及其推论的应用，这也是进行爱国主义教育，使学生了解历史名胜的好机会。为了增强教学效果，可以用PPT演示赵州桥的图片，从不同的角度向学生们展示这造形奇特、气势雄伟的赵州桥。然后教师可以向学生介绍:“这是赵州桥，建于一千三百多年前的隋代大业年间(公元605,618年)，整个桥身是圆弧的一段，长50多米，宽9米多。这么长的桥，全部用石头砌成，没有桥墩，只有一个拱形的大桥洞，横跨在37米宽的河面上。这样巨型的跨度，在当时是首屈一指。而更显示其先进技术的，是大拱圈上的两肩各有两个拱形的小桥洞，既减轻了桥身的重量，节省了石料，还增加了洪水季节桥下的过水面积，四个小孔可以辅助渲泄洪水，减轻了洪水对桥身的冲击力，不但坚固而且美观。这种设计是建桥史上的一个创举，创造了敞肩拱的新式桥型，使拱桥的建造技术达到了一个新水平，是综合运用包括数学在内的多种科学知识的典范。下面我们就来算一算桥拱的半径„„”这样引导，不仅可以让学生了解著名的历史名胜，提高艺术的鉴赏，并且使学生情绪高涨，课堂气氛活跃。 (五)让学生参与到数学史的教学中去 把数学史融入到数学课堂教学，不一定要全部由教师在讲台上说，也可以组织形式多样的活动，让学生参与到其中，这样不仅学生的兴趣更浓厚，亲身体验的经验也更不易忘记。 比如以“化圆为方”问题为素材，让学生亲自动手体验操作，并且还能和信息技术相结合。1、学生利用网络查阅“化圆为方”问题，了解“化圆为方”提出的背景，并理解什么是“化圆为方”。在这个过程中，学生通过网络，不仅能查阅到“化圆为方”问题，而且还 68 可以了解到相关的“三大几何作图问题”(倍立方、化圆为方和三等分任意角)。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魅力，刺激了许多学者投身研究。关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。2、学生分组，通过动手实验体验平面几何“尺规作图”的魅力。由于历史上对“化圆为方”问题的记录过于分散，对于学生来说，他们还不能从文字中了解到究竟用了什么样的方法进行了研究，最终问题解决没有。对于这样一个只需要很简单的平面几何知识就可读懂的数学问题，入手很低且结论并没有明确给出，很容易激起学生的思考和动手探索的愿望。根据学生的心理特点，多数学生在读懂了问题之后，总有一种心理上的期望——这个问题应该很容易解决啊～看似平凡的一个问题为什么会有如此大的魅力呢,认识上的冲突，使得他们不会急于查看数学史上对此问题的解决过程，而是自己动起手来。学生凭借在初中时学过的欧氏平面几何知识，在总是“差一点儿”的动手过程中，思维被充分激起。3、通过网络阅读，了解“化圆为方”问题的解决历程。深入了解每一种“解决办法”的数学思想，重现大师的思维。学生在自己动手不能，而又无法证明的情况下，带着对问题的怀疑与好奇系统地了解“化圆为方”的解决历程。4、深入了解每一种“解决办法”的数学思想，重现大师的思维。学生在阅读的过程中了解到:历史上竟有如此多的大师对这个问题感兴趣，并且做着非比寻常的努力。在重重困难面前，大师们并不甘心，而是弱化问题的条件，使得最初的“化圆为方”问题又有了其独特的魅力。5、通过数学探究软件GSP4.05分组进行绘图实验，体验蕴涵其中的数学思想方法。(学生已经有了一定的画板GSP基础) 为了探究的方便，学生可以借助于工具GSP4.05进行电脑绘图。学生在探究中发现:手工作图是无法实现其“穷竭”思想的，学生可以借助于电脑绘图进行演示来说明问题。人们为不能尺 化圆为方”问题不能解决的规作图而遗憾的时候，却欣赏到它另一面的完美。6、了解“ 原因。这是一个正面几乎无法进行入手证明的问题。这也是留给学生的一个后续问题。通过这样的课程，学生既可以从文化和美学的角度去欣赏，又可以亲自去思考和探索，必然会吸引学生对数学问题的浓厚兴趣。 在当前的教材内容与数学史相关并且能够贴近学生的并不多，尤其是学生可以亲自动手体验操作的少之又少。的确，学生自己参与时，他们会表达不清自己的意思，会失败，但学生在这些过程中学到的是很多的。 69