行程问题之走走停停

第八讲  行程问题之走走停停 在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。 例1 龟兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？  分析与解：龟所用的时间是10000÷80＝125（分钟）， 兔子跑的时间是10000÷400＝25 （分钟），歇了(25÷5－1)×25＝100（分钟），共用25+100＝125（分钟）。 所用的时间相同，因此同时到达。  例2 甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过___小时____分的时候两人相遇．  分析与解：经过2小时15分钟的时候，甲实际行了2小时，行了4×2=8千米，乙则行了12×2 =27千米，两人还相距35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过2小时19分的时候两人相遇．  例3 在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？   分析与解：甲实际跑 =100（秒）时追上乙，甲跑 =20（秒），休息10秒；乙跑 =25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒； 这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。   例4 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路．他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？  分析与解：从整体上考虑，邮递员走了12＋8=20千米的上坡路，走了12＋8=20千米的下坡路，所以共用时间为：20÷4＋20÷5=9(小时)，邮递员是下午7+10－12=5(时)回到邮局。  例5 一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？  分析与解：汽车行驶了一半路程即行驶了3小时，那么他后一半路程行驶了2.5小时，2.5小时比原来2.5小时多行驶2.5×12=30千米。则原来的速度为30÷（3-2.5）=60（千米）。那么A、B两地相距60×6=360（千米）   例6 甲、乙两站相距420千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米.客车到达乙站后停留1小时，又以原速返回甲站.则两车迎面相遇的地点离乙站有多少千米？  分析与解：两车相遇时，路程和＝420×2＝840千米，要使得两车的时间保持一致，而客车中途停留了1小时，可以看作货车提前行驶1小时，所以将此间货车行驶的40千米减去，取路程和＝840－40＝800千米， 客车行驶的时间＝800÷（60+40）＝8小时，因此客车行驶了60×8＝480＝420+60千米，相遇地点距离乙站60千米.  例7 乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米.出发一段时间后，二人在距离中点120米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇.问：甲在途中停留了多少分钟？ 分析与解：第一次，甲比乙多走的路程差＝120×2＝240米，根据公式路程差＝速度差×时间，可知两人的相遇时间为240÷（80－60）＝12分钟，两地相距（80+60）×12＝1680米；两次相遇地点关于中点对称，则可知，乙第二次比第一次多走的路程也是120×2＝240米，所以乙比第一次多用了240÷60＝4分钟；甲第二次比第一次少走的路程也是240米，甲比第一次少用了240÷80＝3分钟，所以甲在途中停留了4+3＝7分钟.  例8 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地出发．求小轿车追上大轿车的时间．  分析与解：小轿车晚于大轿车从甲地出发，先于大轿车到达乙地，说明两车一定在中间某时间相遇．如图13-4： A(甲地)与B(乙地)中点记为C．则相遇地点可能在AC之间，可能在C点，也可能在CB之间． 另一方面，大轿车先出发17分钟，晚到4分钟，中间又停了5分钟，一共比小轿车多走16分。 大轿车的速度是小轿车的0.8倍，可以知道大轿车不停顿地从A到B所用的时间是小轿车的1.25倍；而小轿车比大轿车少用16分钟，用差倍问题可以得出走完全程小轿车需要用时：16÷(1.25-1)=64分钟． 大轿车用时：64×1.25=80分钟．大轿车从A到C用时80÷2=40分钟，在C停留5分钟，离开C时10时45分．而小轿车在10时17分出发，经过64÷2=32分钟到达C，即10时49分到达C．也就是说，小轿车在C时，与大轿车相差大轿车4分钟行驶的路程． 而另一方面，小轿车10时17+64分，即11时21分到达B，此时大轿车距小轿车相差也是大轿车4分钟的行驶的路程，只不过这一次小轿车在前面．小轿车由在大轿车后面大轿车4分钟的路程，变为大轿车前距大轿车4分钟路程，易知小轿车一定在这两个时刻的中点与大轿车相遇，即10点49分与11时21分的中点相遇．即11时5分小轿车追上大轿车．  习题八 1.龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？  2.甲乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。甲每行5分钟休息2分钟；乙每行210米休息3分钟。甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟。已知两人最后一次的休息地点相距70米，两人的速度是每分钟行多少米？  3.绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行，小王以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟，两人出发多长时间第一次相遇？  4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？  5.某人上山时每走30分休息10分，下山每走30分休息5分。已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用多少时间？  6.一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？  7.一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18小时两车在某处相遇，已知客车每小时行50千米，货车每小时比客车少行8千米，货车每行3小时要停驶1小时。问：两地之间的铁路长多少千米？  8．一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达.但汽车行驶到路程3/5时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？  习题八解答 1.乌龟不停的跑，所以乌龟跑完全程需要6÷3＝2(小时)，即120分钟，由于兔子边跑边玩，120＝20×5+（1+2+3+4+5）+5，也就是兔子一共跑了1+2+3+4+5+5=20 (分钟)，跑了20÷60×15=5(千米)，即乌龟到达终点时，兔子刚刚跑了5千米，所以乌龟胜利了，领先兔子6-5=1(千米) 2. 两人的速度是每分钟行50米。 3. 两人出发2时40分第一次相遇 4. 上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.  5. 下山用了2时15分。  6. 当以原速行驶到全程的3/5时，总时间也用了3/5，所以还剩下50×(1－3/5)=20分钟的路程；修理完毕时还剩下20－5=15分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:15=4:3,根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快750×4/3－750=250米． 7. 两地之间的铁路长1488千米. 8.当以原速行驶到全程的 时，总时间也用了 ，所以还剩下50×(1- )=20分钟的路程；修理完毕时还剩下20-5=15分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20：15=4：3，所以相应的速度之比为4:3，因此每分钟应比原来快750× =250米.