广义限制李超代数及其
表
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示
1 2张永正,张庆成
(11 东北师范大学数学系 , 吉林 长春 130024 ;
) 21 吉林职业师范学院数学系 , 吉林 长春 130052
[ 摘 要 ] 定义了广义限制李超代数 ,证明了这一定义的三个等价条件 ,给出了
广义限制李超代数的两个典型例子 ,进而获得了关于广义李超代数表示的两个
有用的结果 .
τ [ 关键词 ] 广义限制李超代数 ;- 表示 ; GR 标准映射
文献标识码 ] A[ [ 中图分类号 ] O 15215
1 引言
1 中我们知道 ,素特征域上的限制李代数的理论是非常丰富的. 舒斌在文献 2 ,5
() 将限制李代数进行了推广 ,定义了广义限制李代数 即 GR 李代数,从而得到了一系列的 重要的结果 . 文献 6 ,7 研究了素特征域上的限制李超代数及其表示 ,得到了一些有用的 结论 ,从而人们自然想到 ,是否能将限制李代数推广到广义限制李代数的
方法
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运用到限制 李超代数上 . 本文处理了这一问题 .
+ 在本文中 , p 总表示基域 F 的特征数 , 并且假设 p > 3 , N 与 N 分别表示非负整数集
与自然数集 , Z 表示整数环 , Z= Z/ 2 Z = { 0 , 1} 是整数模 2 的剩余类环. 2
定义 1 设 L = L ? L 是域 F 上的李超代数 , E= { e| i ?I } 是 L 的有序基 . 设 s0 1 0 i 0
+
h} . 则 i 0 i s i p ( ) ad e= ad0 ?ad L , Π i ?I. i0 0 0 3 GR 李超代数的表示
ρ 定义 5 设 L = L ? L 是{ E , <} - GR 李超代数 , 其中 E 与 <如定义 2 所示. 设 :0 1 s s
( ) τL ?gl V L 在 Z- 阶化空间 V 上的阶化表示 . 若存在映射 : E ?F , 使得是 2 s < s i s i kp kp ααρ( ) ρ( ) τ( ) e- e=eI d , Π e?E , ααααi i i v i
δδρτττρ其中 k= + 2, 则称 为- 广义限制表示 , 简称为 - GR 表示. 若 = 0 , 则称 为 α αα0 1
广义限制表示 , 简称为 GR 表示.
( ) ρ 定理 3 设 F 是代数闭域 , L = L ? L 是 GR 李超代数 . 设 : L ?gl V 是 L 的有0 1
τρτ限维不可约的阶化表示 . 则存在映射 : E ?F , 使得 为 L 的- 表示.
s < s ikp α( ) ρ( ) ( ) ρ证明 因 F 是代数闭的 . 故 V 的自同态e- e有特征根 k e, Π e? i α i α i α i α
( ) ρρ( ) E , 设 U L 为 L 的泛包络代数 ,是在 U L 上的扩张 . 因为
s < s ikp α( ( ) ) ?C U L ,e- e αα ii
所以有
s < s ikp α( ) - [ e- k e1 , y ] = 0 . eααα i ii
因此 s i kp
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