韶关市2012高三一模(理数)含答案

广东省韶关市2012届高三下学期第一次调研考试 数学试题（理） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合 是函数 的定义域， 是函数 的定义域，则 等于(  ) A．           B．       C．         D． 2．在复平面内，复数 对应的点位于    （  ） A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限  D．第四象限 3．下列命题正确的是（  ） A．             B． C． 是 的充分不必要条件    D．若 ,则 4．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 （如图），要测算 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 ，测得 ， ，就可以计算出 两点的距离为(  ) A．       B．           C．       D. 5．已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 等于（ ） A．         B.       C.       D. 6．执行如图的程序框图，那么输出 的值是（    ） A．       B．       C．1      D．2 7．平面向量 与 的夹角为 ， ， ， 则 （  ） A．       B．       C．       D． 8.设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 满足 ，均有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时， ，且 为 上的 高调函数，那么实数 的取值范围是（    ） A．       B．       C．         D． 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9. 展开式中含 项的系数为          . 10. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒 之间，将测试结果分成五组：每一组 ；第二组 ，…， 第五组 ．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百 米测试中成绩良好的人数是__________. 11. 已知 的椭圆 的两个焦点，若椭圆上一点 满足 ，则椭圆的离心率         12.如图 是边长为 的 为正方形的对角线，将 绕 直线 旋转一周后形成的几何体的体积等于              13．在平面中 的角 的内角平分线 分 面积所成的比 , 将这个结论类比到空间：在三棱锥 中，平面 平分二面角 且与 交于 ,　则类比的结论为______________． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，圆 ： ，则圆心 到直线 的距离是              ． 15．（几何证明选讲选做题） 已知圆 的半径为 ，从圆 外一点 引切线 和割线 ， 圆心 到 的距离为 ， ，则切线 的长为  ____________. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知函数 的最小正周期为 . （1）求 的值； （2）求函数 的单调递增区间及其图象的对称轴方程。 17．(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：   喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生   5   女生 10     合计     50         已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ． （1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； （2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 ，求 的分布列与期望. 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828                 (参考公式： ，其中 ) 18．(本小题满分14分)三棱柱 的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求二面角 的正切值. 19．（本小题满分14分） 已知函数 （ 为常数， ），且数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. (1) 若 ，当 时，求数列 的前 项和 ； （2）设 ，如果 中的每一项恒小于它后面的项，求 的取值范围. 20．(本小题满分14分)设抛物线 的方程为 ， 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ，切点分别为 , . （1）当 的坐标为 时，求过 三点的圆的方程，并判断直线 与此圆的位置关系； （2）求证：直线 恒过定点； （3）当 变化时，试探究直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由. 21．(本小题满分14分)已知函数 （ ， 是不同时为零的常数），其导函数为 . （1）当 时，若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围； （2）求证：函数 在 内至少存在一个零点； （3）若函数 为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 ，关于 的方程 在 上有且只有一个实数根，求实数 的取值范围. 数学（理科）参考答案和评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一、选择题：   二、填空题： 9．1，  10. ，  11. ， 12. ， 13. ， 14. ，    　15. 三、解答题： 16．(本小题满分12分) 解：（1）       ……………………2分 = , ……………………3分 因为 最小正周期为 ,所以 ，解得 ,          ………………4分 所以 ,                                  ……………… 5分 所以 .                                  ……………6分 （2）由 ， 可得 ，  ……………8分 所以,函数 的单调递增区间为   …………9分 由 得 . 所以， 图象的对称轴方程为 .    …………………12分 17．(本小题满分12分) 解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分   喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50         （2）∵ ------------------------5分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------6分 （3）喜爱打篮球的女生人数 的可能取值为 .-------------------------7分 其概率分别为 , , --------------------------10分 故 的分布列为:         --------------------------11分 的期望值为: ---------------------12分 18．解:由三视图可知，几何体为直三棱柱 — ，侧面 为边长为2的正方形，底面 是等腰直角三角形， ………２分（1）连BC交 于O，连接OD，在 中，O，D分别是 ， AC的中点， 而 平面 ， 平面 ， 平面 ………………..４分 （2）直三棱柱 — 中， 平面 ， 平面 ， ， ，D为AC的中点， ， 平面 ， ①………………..６分 又 ， 在正方形 ②………………..８分 由①②，又 ， ……………………………………………………………9 （3）解法一；提示：所求二面角与二面角C- -D互余……………………………………..12 取BC中点H，有DH⊥平面 ，过H作 垂线，垂足为E， 所以二面角C- -D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分 ，因为二面角A- -D与二面角C- -D互余，所以二面角A- -D的正切值为 ；……………..14 B 解法二（补形）如图补成正方体，易得∠O1OS为二面角的平面角， ……………..14 解法三（空间向量法）以 为原点建系，易得 设平面 D的法向量 由 得 令 得 …………..12 又平面 A的法向量 设二面角A- -D的平面角为 所以 …………..14 19. (本小题满分1４分) (1) 证：由题意 ，即 ， ……1分 .  ……2分 ， 当 时， .        …………3分 ∴ ，      ① ②  ……4分 ①－②，得 ……6分 ∴.   ……7分 (2) 解：由(Ⅰ)知， ，要使 对一切 成立， 即 对一切 成立.          ……8分 ，对一切 恒成立， 只需 ，……10分 单调递增，∴当 时， .  ……12分 ∴ ，且 ， ∴ .    ……13分 综上所述，存在实数 满足条件.  ……14分 20．(本小题满分1４分) 解：(1)当 的坐标为 时，设过 点的切线方程为 ，代入 ，整理得 ， 令 ，解得 ， 代入方程得 ，故得 ，      ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为 到 的中点 的距离为 ， 从而过 三点的圆的方程为 ． 易知此圆与直线 相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证法一：设切点分别为 , ,过抛物线上点 的切线方程为 ，代入 ，整理得     ，又因为 ，所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 从而过抛物线上点 的切线方程为 即 又切线过点 ，所以得     ①  即 同理可得过点 的切线为 ， 又切线过点 ，所以得     ②  即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点 ， 均满足 即 ，故直线 的方程为                                   ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又 为直线 上任意一点，故 对任意 成立，所以 ，从而直线 恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 证法二：设过 的抛物线的切线方程为 ，代入 ，消去 ，得     即： ．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 从而 ， 此时 ， 所以切点 的坐标分别为 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为 ， ， ， 所以 的中点坐标为 故直线 的方程为 ，即 .．．．．．．．．．．．．．．7分 又 为直线 上任意一点，故 对任意 成立，所以 ，从而直线 恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 证法三：由已知得 ，求导得 ，切点分别为 , ，故过点 的切线斜率为 ，从而切线方程为 即 又切线过点 ，所以得     ①  即 同理可得过点 的切线为 ， 又切线过点 ，所以得     ②  即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点 ， 均满足 即 ，故直线 的方程为                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又 为直线 上任意一点，故 对任意 成立，所以 ，从而直线 恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）解法一：由（2）中①②两式知 是方程 的两实根，故有 （*） 将 ， ，代入上（*）式得 ∴ ，    ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ①当 时， ，直线 上任意一点 均有 ， 为直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②当 时， ， ， 不可能为直角三角形； ．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ③当 时， ， . 因为 ， ， 所以 若 ，则 ，整理得 ， 又因为 ，所以 ， 因为方程 有解的充要条件是 . 所以当 时，有 或 ， 为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分 综上所述，当 时，直线 上任意一点 ，使 为直角三角形，当 时，直线 上存在两点 ，使 为直角三角形；当 或 时， 不是直角三角形. ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 解法二：由（2）知 ， 且 是方程 的两实根，即 ，从而 ， 所以 当 时，即 时，直线 上任意一点 均有 ， 为直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当 时，即 时， 与 不垂直。 因为 ， ， 所以 若 ，则 ，整理得 ， 又因为 ，所以 ， 因为方程 有解的充要条件是 . 所以当 时，有 或 ， 为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分 综上所述，当 时，直线 上任意一点 ，使 为直角三角形，当 时，直线 上存在两点 ，使 为直角三角形；当 或 时， 不是直角三角形. ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 21．(本小题满分1４分) 解析：（1） 解：解：（1）当 时， ，………１分 依题意　 　即 恒成立 ，解得　   所以b的取值范围是 …………４分 （2）证明：因为 ， 解法一：当 时， 符合题意. ……………………………５分 当 时， ，令 ，则 ， 令 ， ， 当 时， ， 在 内有零点；……………………………７分 当 时， ， 在 内有零点. 当 时， 在 内至少有一个零点. 综上可知，函数 在 内至少有一个零点. ……………………………９分 解法二： ， ， . 因为a，b不同时为零，所以 ，故结论成立. （3）因为 为奇函数，所以 ，所以 ， . 又 在 处的切线垂直于直线 ，所以 ，即 .１０分 1 在 ， 上是单调递增函数，在 上是单调递减函数，由 解得 ， ， 法一:如图所示，作 与 的图像，若只有一个交点，则 ①当 时， ， x y 即 ，解得 ； -1 x y O O ① -1 t ②当 时， ， 解得 ； ② ③当 时，显示不成立； -1 t x ④ y ④当 时， ， t x O y 即 ，解得 ； ⑤当 时， ， y O 解得 ； t x ⑥当 时， . ………………………………………………………………１３分 综上t的取值范围是 或 或 .………………１４分 法二：由 , . 作 与 的图知交点横坐标为 ， 当 时，过 图象上任意一点向左作平行于 轴的直线与 都只有唯一交点，当 取其它任何值时都有两个或没有交点。 所以当 时，方程 在 上有且只有一个实数根.