[doc格式] 由通项公式求一类幂级数的和函数

[doc格式] 由通项公式求一类幂级数的和函数[doc格式] 由通项公式求一类幂级数的和函数由通项公式求一类幂级数的和函数中幂级数的和函数的求法对于学生来说又是一个难点.因此进一步探讨幂级数和函数的求法是很必要的.幂级数的和函数常用逐项积分和逐项微分的方法,当然有时还需要一些特殊的技巧,如拆项,解微分方程等.但如果一幂级数可以表示为形如?口b(),其中{n)是一等差数列,{(z))是一等比函数列,本文利用和函数的定:= 义推导出求该类幂级数和函数的一个通项公式. 定理设{n)是一等差数列,公差为d,{b())是一等比函数列,公比为q(I...

[doc 格式 ] 由通项公式求一类幂级数的和函数由通项公式求一类幂级数的和函数中幂级数的和函数的求法对于学生来说又是一个难点.因此进一步探讨幂级数和函数的求法是很必要的.幂级数的和函数常用逐项积分和逐项微分的方法,当然有时还需要一些特殊的技巧,如拆项,解微分方程等.但如果一幂级数可以表示为形如?口b(),其中{n)是一等差数列,{(z))是一等比函数列,本文利用和函数的定:= 义推导出求该类幂级数和函数的一个通项公式. 定理设{n)是一等差数列,公差为d,{b())是一等比函数列,公比为q(Iql<1),则 sc,=z一.? 证明设级数?a,b(z)的前项部分和为s(z),即: s(z)一?口Ib女(z)=alb1()+口2b2(z)+…+a.b(z)一 alb1(z)+口2bl(z)q+n3b1()q+…+a.b1(x)q”--,(2) 所以 aS()一口lbi(z)口+a2b1(z)+砚bl()口.+…+口6l()矿.(3) 将以上两式相减得 (1一g)S()一口lbl(z)+b1(z)q(?2一n1)+…+bl(z)q(n一n1)一a.bl(z)q’l 一口1b1(z)+b1(z)(q+q.+…+q)一口61()q= alb1()+bl()q—--一q~一口6 1(z)q一. 因此 s,=一[+]. sc=s={一[q+一一o.ILl一口.LLl一厂l一口JJJ ,jgJ<1.1(一口)0’, ?收稿日期t2008—09一O2. 基金项目t国家自然科学基金资助项目(40501058) (下转第59页) 第l2卷第3期陈映瞳:Bellman等式的证明,应用及推广59 [dR一)]…p(一)?xp(一), [xp(一?d)]?)g(xp(一). 上式两边从a到t积分,得 )?exp(,?d)??)exp(一()) R()exp(g()dsftk(s)g()exp(一g()d”)一志(s)g(s)exp(g(s)ds)?exp(一g(“)d”)ds—(s)g(s)exp(g()d”). 又厂()?忌(,)+R(,),故,(f)一点()?(s)g(s)exp(-r(s)dsds,亦即 )?)+kg(5)exp(f=g(s)ds)ds.,(,)?五()+I(5)g(5)(1).J口,J 参考文献 [1]王高雄,周之铭,朱思铭等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006:65—78. [2]庄万.常微分方程习题解[M].山东:山东科学技术出版社,2004:175—178. o?<>?o?’’》?’0..o??0..o’々?o0?<>-o.o.().o.().(>?0?o?0.().0?o?o?o.(). (上接第49页)o??c?oo?o.’). 例1求幂级数?聊”的和函数. 解记a一,b(z)一z.这里的数列()是一等差数列,公差d一1;函数列(n}是一等比数列,公比q=z,因此当Izl<1时,利用上述定理的结论可得, sc===z一一 1一2,<1.( 一-z)0(1一z)’..,’ 例2求级数z一2z.+3一4一十…的和函数. 解记a=一一b()一(一)”,d一一1,g一,z,利用上述定理可知当I—zj<1时, sz一薹,一杀一 (一1)?(一)(1+z)+(一z)?(一z)?(一1)z ———————可————一干’zJ<1. 例3求级数?(2n+1)x”的和函数. 解设n=2n+1,b(z)一z”,d一2,q—z.利用定理可得当IXI<1时, scz一====笋一. 利用本文公式,可以非常容易地给出幂级数?n6(z)的和函数.n1 参考文献 [1]赵树螈,微积分[M].北京:中国人民大学出版社.1999:95—296,

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