1
2.2.1 条件概率
教学目标:
知识与技能:通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。 过程与方法:掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。
教学重点:条件概率定义的理解
教学难点:概率计算公式的应用
教学过程:
一、情境引入:
探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
如果三张奖券分别用12,,X X Y 表示,其中Y 表示那张中奖奖券,那么三 名同学的抽奖结果共有六种可能:121221211221,,,,,X X Y X Y X X X Y X Y X Y X X Y X X .
用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”,则B 仅包含两个基本事件:
12,X X Y 21X X Y
.由古典概型计算概率的公式可知,P(B)=
216
3
.
二、构建新知:
思考:在上述问题中,如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少?
因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有
12122121,,,,X X Y X Y X X X Y X Y X 而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件
仍是12,X X Y 21X X Y .由古典概型计算公式可知.最后一名同学抽到中奖奖券的概
率为2
4,即
12
.若用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.则将“已经知
道第一名同学没有抽到中奖奖券,最后一名同学抽到奖券”的概率记为P (B|A ) .
思考:已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢?
在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件 A 一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中,从而影响事件 B 发生的概率,使得 P ( B|A )≠P ( B ) .
2
思考:对于上面的事件A 和事件B ,P ( B|A )与它们的概率有什么关系呢? 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由六个基本事件组成,即Ω={121221211221,,,,,X X Y X Y X X X Y X Y X Y X X Y X X }.既然已知事件A 必然发生,那么只需在A={12122121,,,X X Y X Y X X X Y X Y X }的范围内考虑问题,即只有四个基本事件12122121,,,,X X Y X Y X X X Y X Y X 在事件 A 发生的情况下事件B 发生,等价于事件 A 和事件 B 同时发生,即 AB 发生.而事件 AB 中仅含二个基本事件
12,X X Y 21X X Y
,因此
(|)P B A =24
=
()()
n A B n A .
其中n ( A )和 n ( AB )分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数.另一方面,根据古典概型的计算公式,
()()(),()()
()
n A B n A P A B P A n n =
=
ΩΩ
其中 n (Ω)表示Ω中包含的基本事件个数.所以,
(|)P B A =
()
()()()()()
()()
n A B n A B P A B n n A n P A n Ω=
=
ΩΩ.
因此,可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P (B| A ) .
条件概率定义
设A 和B 为两个事件,P(A )>0,称
()(|)()
P A B P B A P A =
为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率。(|)P B A 读作
A 发生的
条件下 B 发生的概率.
由这个定义可知,对任意两个事件A 、B ,有
()(|)()
P A B P B A P A =?.
并称上式为概率的乘法公式. 1.概率)|(A B
p 和)(AB P 的区别与联系
(1) 联系:事件A 和B 都发生了 (2) 区别:a 、)|(A B
p 中,事件A 和B 发生有时间差异,A 先B 后;
3
在)(AB P 中,事件A 、B 同时发生。
b 、样本空间不同,在)|(A B
p 中,样本空间为A,事件)(AB P 中,
样本空间仍为Ω
2.P (A|B )的性质: (1)非负性: 0(|)1P B A ≤
≤;
(2)可列可加性:如果是两个互斥事件,则
(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .
三、
例题
求函数的导数例题eva经济增加值例题计算双重否定句的例题20道及答案立体几何例题及答案解析切平面方程例题
分析
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题,
求:
(l )第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解:设第1次抽到理科题为事件A ,第2次抽到理科题为事件B ,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n (Ω)=25A =20.
根据分步乘法计数原理,n (A )=11
34A A ?=12 .于是
()123()()
20
5
n A P A n =
==Ω.
(2)因为 n (AB)=23A =6 ,所以
()63()()
20
10
n A B P A B n =
==Ω.
(3)解法 1 由( 1 ) ( 2 )可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率为
3
()
1
10(|)3()2
5
P A B P B A P A =
==.
解法2 因为 n (AB )=6 , n (A )=12 ,所以
4
()61(|)()
12
2
P A B P B A P A =
=
=
.
例2.一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率.
解:设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ,则112()
A A A A = 表示不超过2
次就按对密码.
(1)因为事件1A 与事件12A A 互斥,由概率的加法公式得
1121911()()()10
109
5
P A P A P A A ?=+=
+=?.
(2)用B 表示最后一位按偶数的事件,则
112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+
1412554
5
?=+=?.
四、课堂练习:
课本55页练习1、2
五、课堂小结:
1. 通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。
2. 掌握一些简单的条件概率的计算。
3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。
六、课外作业:
第59页 习题 2. 2 1 ,2 ,3
浙公网安备 33021202002483