均值不等式（
教案
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）
均值不等式(教案) 一、学习目标
知识目标:理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。 能力目标:培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力。 情感目标:通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 二、重点:理解均值不等式。
难点:均值不等式的应用。
三、学习过程:
前面两节课我们学习了不等式的性质及比较两个实数大小的方法，下面请看: 22.若a,b?R，比较a+b与2ab的大小 22(作差法)得出a+b?2ab当且仅当a=b时，等号成立
类比上式,你还能写出类似的关系及结论吗, 442222如a+b?2ab当且仅当a=b时，等号成立 663333A+b?2ab当且仅当a=b时，等号成立 2m2mmmmma+b?2ab当且仅当a=b时，等号成立
以上都是偶次方的关系，奇次方是否有这样的关系呢,
例如:a+b?,
+ab若a,b?R ,a+b?2当且仅当a=b时，等号成立
ab，+ab又可写成若a,b?R ，?当且仅当a=b时，等号成立 2
(以上是学生活动)
意图是培养学生联想、类比的数学思想方法。
问题1:能证明吗,(作差法)(引出新课)
ab，ab对任意两个正实数a,b,数叫做a,b的算术平均值，数叫做a,b的几何平均值。因此2
这一结论又可
表
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述为:两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值。 我们把这一结论称之为均值定理，它表达的是两均值之间的不等关系，因此又叫均值不等式
(板
书
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课题)
ab，+ab符号表示为:若a,b?R ,?当且仅当a=b时，等号成立。 2
问题2:能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢?
下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释:
ab，ab令正实数a、b为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为 和的两条线段,然2后比较这两条线段的长。
C
a+bab2
BAabDO(1)作线段AB=a+b,使AD=a,BD=b; (2)以AB为直径作半圆O (3)过D点作CD?AB于D,交半圆于C
ab，(4)连接AC，BC， CO，则 OC= CD=ab, 2
ab，当a?b时，OC>CD，即 ,ab2
ab，当=时，=，即 abOCCD,ab2
22均值不等式与不等式a+b?2ab的关系如何,
区别:a,b的范围不同。 22联系:均值不等式是a+b?2ab的特例
下面我们来看看均值定理的应用
典型例题:
ba例1:已知ab>0,求证，并推导出式中等号成立的条件。 ，,2ab
展示应用，
规范
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步骤。
,练习:已知0<<,求证tan+cot?2，并推导出式中等号成立的条件。 ,,,2
结论:应用均值不等式可以证明不等式,但应注意均值不等式成立的条件:a,b>0
2例2:(1)一个矩形的面积为100m。问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短?最短周长是多少,
(2)已知矩形的周长为36m。问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大,最大面积是多少,
学生回答。
+引申:(1)已知a,b?R，且a+b=p(p是常数)，则ab的最大值是_______
+(2) 已知a,b?R，且ab=p(p是常数)，则a+b的最小值是_______ 你能从中得到什么结论,
学生回答。
得到结论:和定积最大，积定和最小。
例3:判断以下几个均值不等式的应用是否正确,若不正确，
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由。
1
(1): ?x+?2,当且仅当x=1时等号成立 x
1
? x+的最小值是2. x
1
(2)求y=x+(x?2)的最小值。 x
1
解:?x>0,?x+?2,?函数的最小值是2. x
学生小组讨论
得出求最值的条件:一正二定三相等
42变式练习:求y=x+的最小值，以及此时x的值。 2x
四、小结:(1)均值定理
(2)应用:证明不等式
求最值(一正二定三相等) 五、当堂检测
1.下列命题正确的是( )
a，b142,(a+1>2a ,(?x+??2 ,(?2 ,(sinx+最小值为4( xsinxab2.若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________(
13.已知x>2,求函数y=x-2+的最小值，以及此时x的值。 x,2
六、布置作业
必做:课本72页A组3,4题
选做:习题3-2A组3题
浙公网安备 33021202002483