“n次独立重复试验”教学案例

“n次独立重复试验”教学案例 “n次独立重复试验”教学案例 20数学教学研究2006年第7期 设A:YI—Y2,B=2一1,C:IY2一x2yI,则直线方 程可写为:+By+C:0.我们来验证前述几种直线 方程是否都可化为上述形式.(下略) 教学反思 以往的课程观把教学看作是知识的"灌输"或 "复制"的过程,而新的课程观认为课程本质上是一 种教学事件,教学是一种课程开发.教学过程是教师 和学生之间互相作用的过程,课程是由诸多学生主 动参与的,尊重学生个性的教学事件组成的教学活 动.通过师生,生生之间与教材内容与现有教学环境 相互作用和相互影响,使课程的内容和课程结构得 到新的发展. 高中数学新课标十分强调课程资源的开发和利 用,课程资源开发和利用的途径之一是"学生主动学 习".当人们说确定"学生是重要的课程资源"时,除 了认定学生已有的知识结构和人格品质是课程资源 外,还意味着老师需要引导,促进,激励和唤醒学生 的"主动性".学生的"主动性"是一块等待开发的富 矿;学生的"主动性"是学生学习乃至整个教学活动 的"发动机". 唤醒学生的"主动性"需要营造民主的课堂气 氛,只有师生之间具有民主平等的关系,形成宽松和 谐的环境,学生才能敢想敢说,自由地,轻松地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现 自己,这样鲜活的教学资源就会呈现在教师面前. 学生是一个动态的,生长性和变化的主体因素, 他们带着自己的知识,经验,思考,灵感,兴致参与课 堂活动,使课堂教学呈现丰富性,多变性和复杂性. 课堂教学不应是一个封闭的系统,也不应拘泥于预 先设定的固定不变的程式,预设的目标在实施过程 中需要开放地接纳直接经验,弹性灵活的成分以及 始料未及的体验,要鼓励师生互动中的即兴创造,超 越目标预定的要求.教师应有这样的思想准备,随时 根据课堂中出现的情况,改进和调整自己的教学设 计,充分利用学生在课堂上呈现出来的反映他们自 身经验和知识结构的生动的问题,这类问题由于出 自学生,承载着学生更多的情感与思想,更容易引起 学生的共鸣与思考.充分应用好这类教学资源是提 高课堂教学效率的重要途径. " n次独立重复试验"教学案例 陈庆山 (浙江省宁波市鄞州r--x古林职业高级中学315177) 数学新课程以转变学生的学习方式为着眼点, 以学生的发展创新能力为本,要求在教学中渗透"探 究性学习".如何让他们主动参与,展开探究呢?这 是新课程实施过程中急需解决的问题.n次独立重复 试验这个教学案例的设计,是以学生的自主学习为 前提,以合作交流为形式,以探究建构为目的,通过 教师与学生,学生与学生的互动,实现学生对"n次 独立重复试验"概念的理解和深化.本节课的教学设 计过程如下: 1教学目标 (1)从生产活动中产生问题,在遭遇过程中自主 发现问题,产生渴望建立新概念的要求,借此培养学 生发现问题的习惯,和质疑事件的敏锐性; (2)引导学生建立新概念,在交流讨论中领悟数 学模型,通过探究来建构数学知识,培养学生的交流 表达能力; (3)回归生产实践,解决实际问题,把知识内化 成一种能力; (4)营造数学课堂教学中平等对话,和谐互动的 氛围,激发学生学习兴趣. 2教材内容地位 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和重难点解读 n次独立重复试验又称贝努力试验,讨论这个问 题前学生已经学习了相互独立事件,同时发生的概 率,学生对何为相互独立事件,独立事件同时发生的 概率计算有了较深的理解.本节课的重点在于n次 独立重复试验恰好发生k次公式的导出.难点是应 用这个公式,解决生产实践中的问题.数学源于生活 又反作用于生活,为了不让学生误解这些模型是"天 上掉下的馅饼",根据学生的认识特点,我们从生产 实践中引出n次独立重复试验的模型,这样给学生 2006年第7期数学教学研究2l 一 种亲切感.接着,又深入剖析这个模型,去解决生 产实践中的问题,加深对这个模型的理解. 3教学活动设计 我们追求一种有意义的活动式学习,主动建构 除了重视结果外,更重视结果的获得过程.课堂教学 应以学生为本,以促进学生的自助发现,自助研究, 自助发展而实施的探究活动.教师组织教学是为了 有利于学生有意义的活动式学习,积极主动建构而 实施合作学习,从而提高学生的学习质量. 3.1造设问题情境.揭示数学模型的来源 看生产活动中一个实际问题: 某金工车间有十台同类型机床,每台机床配备 的电动机功率为l0千瓦,已知每台机床工作时间为 平均每小时开动l2分钟,且每台机床由不同工人独 立操作.正值气候炎热季节,供电部门为了解决生活 用电与生产用电的电力紧张局面,采取了限电措施, 只供应该车间50千瓦的电力,问: (1)这l0台机床能够正常工作吗?若能,正常 工作的概率有多大? (2)假如一个工作日为8小时,机床不能正常工 作的时间是多少? 3.2问题探讨 为了保护和鼓励学生学习的个人能动性,我让 学生小组讨论后再发表自己的见解,学生通过辩论 也逐渐接近了我们今天所要讨论课题的本质,以下 是辩论的片段: 老师:在供电部门做了限电决策后,这些机床还 能正常工作吗?请同学们发表一下自己的见解. 学生l:我认为金工车间的机床要同时正常工 作,是不可能的,道理很简单,每台机床电动机的功 率为l0千瓦,l0台机床不就需供电100千瓦吗?所 以不能正常工作,根据电力部门的供电情况最多只 能开5台机床. 学生2:同时开确实不能超过5台,但实际工作 时机床不是始终开着的,真正每小时开的时间只有 l2分钟,因此实际工作中,完全可以错开,这样就有 可能多开几台. 学生3:在实际工作中,每台机床是由不同工人 独立操作,因此,各台机床的工作,也是相互独立的, 没这么凑巧吧,l0台机床刚好同时开.(全班同学笑 了,也觉得他说得有道理) 学生4:l0台机床同时开,是凑巧了点,但不是 没有可能,只是凭感觉,这种可能性很小.因此我认 为有必要考虑一下,lO台机床同时开1台,2台,…, l0台的可能性有多大,即我们以前讨论的概率到底 有多大? (该学生的分析立即博得了大多数人的赞成,认 为有研究的必要) 老师:同学们分析得很有道理,我们有必要考虑 一 下,这l0台机床同时开k台(k=0,1,2,…,l0)的 概率. 学生5:老师,这好像是在研究独立事件同时发 生的概率. (这时一些同学也不禁点头表示赞同) 老师:我们不妨从简单的开始算起.我们给每台 机床编号i,用A表示第i台机床开,用A表示i台 机床关.如我们同时开2台机床,请同学们考虑一下 有几种情况? (同学们开始思考或讨论,接着请一个同学回答 例举几种情形) 学生6:AlA:五A,4….,.A一2A,A一4….,. A4…Al"… 老师:看看有什么规律? 学生6:上述每种情况都可看成在l0个位置中 选2个位置写上A,其余的位置写上,这些情况的 种数等于从l0个元素中取出2个元素的组合数,共 有c20种. 老师:由于l0台机床在工作过程中,由不同工 人单独操作,相互之间没有影响,那么如何求出它们 的概率? 学生7:把每台机床是否开动看作一次试验,则 P(A)==?,P()=l一?=?.根据相互独 立事件的概率乘法公式,l0台机床中,恰有A.,A:工 作的概率为P(A.A:A,A.…A..)=P(A.)P(A:) 尸()…P(A—lo)=(?)×(1一?).,同理恰有A., A3;l,A4...?;"Alo工作的概率也都为(?)×(1 一 ?)..而10台机床中恰有2台同时工作总共有 种,这c20种情况又彼此互斥,根据互斥事件概率 加法法则,若设B={l0台机床中恰有2台同时工 作I,则曰事件的概率为P(曰)=P(AtA:五A一4…A—l.) 22数学教学研究2006年第7期 +P(A.A一2A,A一4…)+..一C2 ..×(?)×(1一 ? 老师:由上面的推导过程,你能试着给出10台 机床中,恰有台同时工作的情况有几种,每一种发 生的概率为多少?f/.台机床中,恰有台同时工作的 情况有几种,每一种发生的概率为多少? 学生:10台机床中,恰有台同时工作情况有 c种,每一种发生的概率为(?)×(1一?),. 如果我们作进一步抽象推广,n台机床中,恰有台 同时工作情况有C:种,每一种发生的概率为?,不 发生的概率是1一?,那么n台机床中,恰有台同 时工作的概率为c:×(?)×(1一?),. 老师:这f/.台机床完全相同,并且每台机床独立 工作,把机床开动与否看作一次试验,则可看成f/.次 独立重复试验.我们把上述这样的试验称f/.次独立 重复试验,又称贝努力试验. 3.3理性归纳 根据上述讨论过程,引导学生对f/.次独立重复 试验应用模型作归纳: (1)每次试验只有两种结果A,,并且P(A)= p,P(A)=1一t7; (2)因为独立重复试验,每次A与的发生概 率保持不变; (3)恰好发生k次的概率为C:×t7×(1一 p)a-k. 3.4解决问题 老师:通过同学的共同努力,我们导出了f/.次独 立重复试验模型及其计算公式,我想同学们非常渴 望用这个新知识解决我们前面提出的问题,下面大 家来解决尝试这个问题. (有了前面的铺垫,大部分同学可以独立完成, 老师要注意巡视,及时答疑解难) (1)设B={10台机床正常工作}={10台机床 同时开不能超过5台},所以 P()=P譬'+P'+P'+P譬'+P譬'+P' = . ×(?).×(1一?)l0 +c:.×(?)×(1一?)' 11 +c20×(?)×(1一?).' 11 +c.×(?)'×(1一?)'=0.994. 此时同学们不禁发出感叹,这说明10台机床在 限电措施下能正常工作概率很高. (2)在电力供应为50千瓦的条件下,机床不能 正常工作的概率约为0.006,从而在一个工作班8小 时内,不能正常工作的时间大约为8×60×0.006= 2.88(分钟),这说明10台机床正常工作基本不受限 电影响. 老师:通过以上学习探究,我们对f/.次独立重复 试验模型有了一定了解,其实该模型在生产生活中 有非常广泛应用.下面请同学们再看一个生产中例 子巩固今天所学知识. 某台机器生产的次品率为0.01,求生产100件 新产品中, (1)各种次品数的可能情况及其对应概率; (2)恰有2件次品的概率; (3)至少有两件次品的概率; (4)根据各种次品概率分布情况,在100件产品 中,有多少件次品的可能性最大? (5)为了使产品与下道工序产品配套,把产品装 箱后,要求以95%概率保证每箱至少有100件正品, 问:每箱至少要多放几件产品? 解答过程略. 4新教学理念在本节课中的体现 (1)寓教学于情境之中,体现数学与现实的联 系.针对时下全国各地用电紧张局势,创设了一个学 生熟悉的感兴趣的问题情境,激发了学生学习兴趣, 使课堂气氛始终处于热烈挑战之中. (2)使不同学生在数学上得到不同发展.在课堂 教学中,每一个学生的学习速度不同,尤其在问题情 境中,学生必然有一个摸索过程,难免会遇到许多困 难,教师的态度非常重要,含蓄的话语,赞许的目光 都能促使课堂形成一种和谐的学习气氛,给学生以 参与热情,激活探究过程. (3)合作学习卓有成效,使发现成为可能.合作 学习是现在积极倡导的学习形式,它活跃了课堂气 氛,并且提高了课堂效率,培养了学生的合作意识. 2006年第7期数学教学研究 (4)通过讨论,辩论,把学习探究活动逐渐引向 深入.通过学生探究学习,在学生原有知识基础上构 建知识,不仅有利于知识内化,理解,也有利于把知 识转化成能力. (5)数学源于生活,又为生活服务.本案例从生 产实践中引入问题,学习数学知识,又用习得的数学 知识去解决生产生活中的问题. 函数)=警的性质及其应用 于先金 (湖南省会同县第一中学418300) 本文就函数)=(>0)的性质和图像及 其应用进行探讨,以供参考. 1性质和图像 定理已知函数,():(>0),则 (1),()在区间(0,e)上为增函数,在区间(e, +)上为减函数; (2)当=e时,函数,()取得最大值? 证明(1)因厂():L,当(0,.)时,0 <lnx<1()>0,所以,()在区间(0,e)上为增函 数;当?(e,+m)时,lnx>1,厂()<0,所以f() 在区间(e,+)上为减函数. (2)由(1)及厂(e)=0,可知结论显然成立. 又lim:一m, lim:0. 一+? 由此可知函数,()的图 像如右图所示. 一 一 |' 由定理,显然有如F的推论? 推论(1)当0c.c6ce时,有c,即.? <6?或ab<6.; (2)当.<.<6时,有>,即.}>6}或. DD >b.. 2应用 例1(2005全国高考题)若.:丁ln2,6:,c= 丁 ln5 ,则(). (A)D<b<c(B)c<b<D (C)c<D<b(D)b<D<c' 解因丁in2: ,e<3<4<5,则由推论(2),可 得ln4了ln5丁ln2__ln5故选C. 例2已知n?N,且n?3,求证n".>(n+ 1). 证明因e<3?n<n+1,则由推论(2',有 n.>(n+1). 例3(2003年全国高考题)已知,m,n是正整 数,且1<?m<n. (I)证明n'J4<m'A; (II)证明(1+m)>(1+n). 证明(I)略. (II)因e<3?1+m<1+n,则由推论(2),有 (1+m).>(1+n)', . . .(1+>.(1+n)(1+, 故(1+m)>(1+n). 例4求数列{}的最大项. 解因1<8<9,所以1<8<9, 即1<?<缸 又因e<3<4<5<…,则由推论(2),有 … . 故数列{}的最大项为 例5已知D>0,且D?1,讨论方程D:解的 个数.