TJU计算流体力学 谐波分析法

TJU计算流体力学 谐波分析法 ------------------------------------------------------------------------------------------------ TJU计算流体力学 谐波分析法 2(3精度的谐波分析法 A函数的傅里叶(Fourier)级数展开 任何完整的函数形式多可以用展开的傅氏级数来表示，我们将完整的函数形式称为直观性，将展开的傅氏级数称为波动性。根据傅里叶级数f(x)有2L的周期，则 a0?m?xm?xf(x)???(a0cos?b0sin) 2n?1LL 1m?x1m?x其中:an??f(x)cosdx，bn??f(x)sindx，m?0,1,2,3? L?LLL?LL 利用欧拉恒等式 LL ei??cos??isin?，e?i??cos??isin?，i??1 傅里叶级数可以表示为复数形式 f(x)? m????cem?im?xL im?x L1其中:cm?f(x)e?2L?LLdx，m?0,1,2,3? 若f是二元函数f(x,t)的形式，则有 f(x,t)? m???n?????cenm??im?xin?tLen?0,1,2,3? ? 令k?? L，则有f(x,t)? m???n?????nimkxin?tc?mee 其中mk是2L周期中的谐波数。L? —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 令Am(t)??2为波长的二分之一。 n??? ??ce?nin?tm 则f(x,t)? m????A(t)emimkx 取任一波型简写为f?Aeimkx，通过分析任一波型在差分格式中的精度变化来分析差分格式精度的方法称为精度的谐波分析法。 B 两点间的谐波表示 通过两点间可以做任意条曲线，同样也可以做任意个谐波，但那些谐波的导数比较稳定是我们关系的问题。从u?sin?x(或u?cos?x)的导数特性看，ux??cos?x、 uxx???2sin?x，当??1时高阶导数振幅加大，没有较好的稳定性;当??1时高阶导数振幅减小或不变，稳定性较好。所以两点间适合选择??1的谐波。下面来看一看?与波数和波长之间的关系。 在离散坐标中任一波型的fj?Aeimkxj，fj?1?Aeimkxj?1，令两点间距离为xj?1?xj?h，则有fj?1?Aeimk(xj?h)，取相对坐标，并使xj处为波动的起点，在到达xj?1处完成0??的单值变化。则有mkh?1? Lh?2? ?h??，可得波长??2h，波数为 ??2? ??? h。此处m?1表示波型为最短波长、最多波数的谐波。根据稳定—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 性 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，这两点间波长均应大于??2h，波数均应小于??? h。(如图1) ??2h xjxj?1 在离散坐标中如有J个坐标点，通过[xj,xj?1]的谐波波长为??2mh， 波数为mh C 差分格式的精度分析 ???，m?1,2,?J?1。 设:Am(t)是第m个分量的振幅，um?Amei?x。对第m个分量微 分有 ?(Amei?x)?i?Amei?x?i?um ?x 对m项作中心差分格式，略去下标m，空间步长为h (um)x? i?hAei?(x?h)?Aei?(x?h)?e?i?h i?xe??Ae2h2h2h uiu?(cos?h?isin?h?cos?h?isin?h)?sin?h 2hh ?2h2?u?2h2?u?i?u(1????)??6?x6?xuj?1?uj?1 uj?1?uj?1?u?2h2?u???O(?2h2)，上式表明用代替中心差分的截断 误差是??x6?x2h 具有h的二阶精度。同时可以看出?越大截断误差越大，?u的振 幅也急剧增大。 ?x D 差分方程的稳定性分析 以迁移方程为例分析其差分方程的稳定性。设u为差分方程的解， w为实际计算结果， —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 舍入误差为?，在位置j处有 ?1wn?wn jj ??cnwn j?1?wj h?0 (2-33) 计算值与差分方程解相差舍入误差为 nnwn j?uj??j (2-34) 代入(2-33)差分方程为 ?1?1nun??n?un jjj??j ??cnnnun j?1??j?1?uj??j h?0 (2-35) 差分方程解应符合原差分方程(2-33)，则 ??n?n??1?n?1?c???j?c?j?1 (2-36) j?h?h 令r?c?，称为克朗条件。 h ?1n?n??1?r??n jj?r?j?1 (2-37) n从?j和?n无论r取?0,??间的任何值，在j点上均有大于1的放大j?1前系数可以—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 看出， 系数，使累积误差增加。但受j?1点?n j?1前系数的影响，不能明显看出累积误差的变化趋 势。 若取傅氏级数分析，则有 ??x,t???Am?t?e ???imkx??Am?t?ei?x (2-38) ??? 取一个谐波振幅分析 ?j?x??Aei?xj ?j?1?x??Ae An?1e 则有 i?xji?(xj?h)代入上式(2-37)得 ??1?r?Anei?xj?rAnei?xjei?h (2-39) An?1i?h?1?r1?e (2-40) nA?? 可以看出，后一时刻振幅恒大于前一时刻振幅，差分方程不稳定。 若对迁移方程中的空间差分采用向后差分格式，即 ?1nwn?wjj ??cnwn?wjj?1 h?0 (2-41) 式(2-37)的误差方程为 ?1n?n?(1?r)?njj?r?j?1 (2-42) —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 可以看出只要r在(0，1)区间上取值，在j点上均有使误差减 小的效果。 由傅立叶分析法可得后一时刻与前一时刻振幅比为 An?1?i?h?1?r(1?e) (2-43) nA 后一时刻振幅较前一时刻振幅恒小于1，迁移方程后差格式是稳 定的。 ——————————————————————————————————————