[doc格式] 冲击振动落砂机在1∶4强共振点附近的动力学特性

[doc格式] 冲击振动落砂机在1∶4强共振点附近的动力学特性 冲击振动落砂机在1?4强共振点附近的动 力学特性 第25卷第8期Vo1.25No.8 2008年8月Aug.2008 工程力学 ENGINEERINGMECHANICS194 文章编号:1000—4750(2008)08—0194—06 冲击振动落砂机在1:4强共振点附近的 动力学特性 张艳龙,徐慧东2 f1.兰州交通大学机电工程学院,甘肃,兰州730070;2.西南交通大学应用力学与工程系,四川,成都610031) 摘要:应用映射的中心流形和范式方法,研究了冲击振动落砂机高维映射在其Jacobian矩阵的一对复共轭特征 值+i穿越复平面单位圆周情况下的分岔:应用中心流形理论将Poincar6映射化为二维映射,并得到了1:4强共 振下的范式映射,从而讨论了映射在1:4强共振点附近的分岔图重组过程,定性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 了冲击振动落砂机在1:4 强共振点及其附近的动力学特性.数值仿真结果也表明:冲击振动落砂机在1:4强共振点附近存在周期运动的 Neimark.Sacker分岔和一些复杂分岔,如周期4轨道的To.型和型相 切分岔. 关键词:冲击振动:强共振;中心流形;范式;分岔;混沌 中图分类号:0322;THl13.1文献标识码:A DYNAMICALBEHAoRoFTHEINERTIALSHAKERNEAR1:4 STRoNGRESoNANCEPoINT ZHANGYan.1ong,XUHui.dong f1.SchoolofMechatronicEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou,Gansu730070,China; 2.DepartmentofAppliedMechanicsandEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu,Sichuan610031,Omaa) Abstract:Thelocalbifurcationofaninertialshaker.concerningonecomplexconjugatepairofeigenvalues?i oftheJacobianmatrixofthemappingescapingtheunitcirclesimultaneously,isinvestigatedbyusingthecenter manifoldtheoremtechniqueandnormalformmethodofthemapping.Acentermanifoldtheoremtechniqueis appliedtoreducethePoincar6mappingtoatwo-dimensionalone,andthenormalformmappingassociatedwith 1:4strongresonanceisobtained.Thusly,thechangingprocessofthebifurcationdiagramsofthemappingnear 1:4strongresonancepointiSdiscussed.The1oca1dynamicalbehaviorofani nertia1shakernear1:4strong resonancepointisinvestigatedbyusingqualitativeanalysis.Theresultsfromnumericalsimulationalsoillustrate thatNeimark.Sackerbifurcationofperiodic.impactmotionsandsomecomplicatedbifurcations,e.g.,ToandTof typesoftangentbifurcationsofperiod.4orbits.arefoundtoexistintheinertia1shakernear1:4strongresonance point. Keywords:vibro-impact;strongresonance;centermanifold;normalform;bifurcation;chaos 冲击振动系统在机械,车辆和核反应堆工程等 应用领域中经常遇到,如高速列车的蛇行,汽车的 前轮摇摆,机翼和大跨度桥梁的颤振,装于滑动轴 承上的大型高速转子的油膜振荡,利用冲击振动落 砂机落砂,利用冲击减振器减振等,这些现象中系 统的参数变化常会引起系统响应的本质变化,如产 收稿日期:2006—12-29;修改日期:2007—06—01 基金项目:国家自然科学基金项目(10572055,50475109);甘肃省自然 科学基金项目(3ZS062-B25—007,3ZS042-B25—044) 作者简介:张艳龙(1981一),男(满族),河北围场人,讲师,硕士,从事非 线性动力学及车辆工程研究(E_man:zhangyl@mail.tzjtu?cn) 徐慧东(1978一),男,山西忻州人,博士生,从事分岔理论及周期解的稳 定性研究(E—mail:xhd0931@sina.com). 工程力学l95 生分岔现象,甚至导致混沌运动,从而使系统的动 态失稳,这种失稳若得不到及时控制将会造成动力 学结构的重大破坏,可见研究冲击振动系统的动力 学特性具有重要意义. 自20世纪80年代以来,国内外许多学者开始 用现代动力系统观点研究碰撞振子的动力学,而且 研究内容也广泛地集中于冲击与碰撞振动系统的 分岔与混沌问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,如研究系统的稳定性与分 岔一,奇异性一们,概周期碰撞运动[7],倍周期分 岔[8],强共振分岔[9-10],混沌控制?,工程应用一] 等问题,其中文献[4]研究了冲击振动落砂机的周期 运动稳定性,分岔及混沌形成过程,文献[10]研究 了一类冲击振动系统在强共振(44=1)条件下的亚 谐分叉与Hopf分叉.本文在文献[4]和文献[10]的基 础上应用Poincar6映射方法,中心流形和范式方法 ]揭示了冲击振动落砂机在1:4强共振条件下及 其附近的动力学行为,并通过数值仿真验证了部分 结果. 1力学模型与Poincar6映射4] 图1是冲击振动落砂机的力学模型,振动机体 由阿?度为的线性弹簧和阻尼系数为C的线性 阻尼器联接于支承,和】,分别表示振动机体和铸 件m的位移.振动机体在简谐激振力F= Fosin(~2T+)作用下与铸件发生碰撞,碰撞后 振动机体与铸件分离,在铸件自由下落或上抛过程 中铸件与振动机体再次发生碰撞,如此往复. 图1冲击振动落砂机的力学模型 Fig.ISchematicoftheinertialshaker 相邻两次碰撞间振动机体与铸件的运动方 程为: MY(+CX+KX=Fosin(~2T+),Y:一g(1) 令Q:4K|M,8=Fo/Mg,QoT, gl=lift,X=KX/Fo,Y=KY/Fo,CO=/Q0, 2=c/4KM,可将方程(1)无量纲化为: 戈+2+X=sin(cot+),=一gl(2) 令=m/M,t和为振动机体和铸件 m碰撞前的无量纲瞬时速度,五和+为振动机体 和铸件碰撞后的无量纲瞬时速度,由碰撞动量守恒 定律及碰撞恢复系数的定义得: 文一 +m_;,一=文+m, 五,+=一(t一)(3) 用,z/P表示系统的周期运动,n和P分别表示 力周期数,质块m与质块M的碰撞次数.在适当 的系统参数下图1所示系统能够呈现稳定的周期 g=1/1运动.令0=cot,选择截面={(,,Y, , 0)?R×S,X=Y,:五,夕:)建立g:1/1 周期运动的Poincar6映射: X=f(v,)(4) 其中,X?R,v?R,=+AX,X= +AX,X=(五,X0,夕+,To)T为映射不动点, AX=(,,,?)和:(,,Ap+, at)T是周期1/1运动不动点的扰动量. 将映射(4)变换为: Def AX=()一:()(5) 映射(5)在周期=1/1不动点处的线性化矩阵 为: Df(v,0)=of(V,AX)/lfv_01(6) 通过计算矩阵Df(v,O)的特征值可以分析图1 所示系统周期q=l/1运动的稳定性与局部分岔. 在临界值v=的某个邻域内,假设:1)Df(v,0) 有一对复共轭特征值=(),:(),且 I,2()I=1,其余特征值()满足Izi(v~)I<1, f-3,4;2)每lv=>0.若映射(5)在分岔点 处满足条件1),条件2)和襁()?1,m=1,2,3,4, 此映射可能发生非共振或弱共振情况下的内依马 克一沙克分岔;若映射(5)在分岔点满足条件1),条 件2)和镌()=1(m:1或2,3,4),映射可能发生 强共振情况下的内依马克一沙克分岔.下面用中心流 形一范式方法分析映射(5)在心()=1强共振条件 下的动力学特性. 2中心流形与范式映射 在的某个邻域内,令表示Df(v,X)的特 工程力学 a=ReA,b=ImA.在这条曲线以上平衡点稳 定,而在这条曲线以下为不退化的Hopf分岔.在 (,)空间,还可能同时存在稳定和不稳定的相互 磕碰的大极限环,或存在平方异宿轨道,或存在立 方异宿轨道(在.平面中这三种情况的相应的边界 分别用e,ci,和d标出).具体有以下分岔线: 一 平衡点的Hopf分岔:当=-rt/2时产生一 个稳定的极限环;当=冗/2时极限环消失. 一 平衡点的相切分岔:8个平衡点和 (k=l,2,3,4)存在(或消失),若存在,则可能在大 极限环的内部,环上,外部,用,To,To 表示. 一 平衡点(k=l,2,3,4)的Hopf分岔:从平 衡点分岔出4个小极限环. _/J,的同宿环分岔:小的同宿环经Hopf分岔 产生,经主要鞍点的同宿轨道消失. C.平方异宿环:产生稳定的极限环分岔. e.立方异宿环:形成一个稳定的或者不稳定 的大极限环,分别用C和C表示. F.大极限环的开折分岔:两个大极限环,在 环外经历稳定,磕碰和消失. 图3给出了最简单区域I中相位变化序列. 图4描述了最复杂区域VIII中相图转化过程. A一平面各区域系统分岔图重组过程如下f数字 与图3和图4中相图下面的数字相对应): I:l—2—3(3,1—2,—1,: II:4—5—l0—5—4,: III:4—5—l0—1l—5 — 4: 1l—l2 III(a):4—5—l0— 4: ?:4—5—11—lO—11 — 5—4,: ?(a):4—5—1l—.l0—兰11 — l24,: V:4—5—8—马l0—11 — 5—4: V(a,b):4—5—8—l0—11 — 124: vI:4—58—箜9l011 — l24,: VII:4—5—互6—且7810 — 1l—l24,: VIII:4—5—!6一旦7—兰89 与l0—兰1l—l24,. /’ ,卜 /一 l 0 l ,一 _ I, l H0 图3区域I的分岔过程 Fig.3BifurcationprocessinregionI 儿l4 图4区域VIII的分岔过程 Fig.4ThebifurcationprocessinregionVIII 比较约化系统式(11)和范式映射(10)可知约化 系统的平衡点对应了映射的一般不动点;系统4 个耦合平衡点对应了初始映射的周期4环;平衡点 的相切分岔和Hopf分岔对应映射主要不动点的 相切分岔和Neimark—Sacker分岔.一对复共轭特征 值从1:4强共振点直接穿越单位圆可能发生亚谐 分岔u.根据中心流形理论在1:4强共振分岔点 附近映射的局部行为等价于s接近=(0,0)时范 式映射的局部行为.故分析范式映射的局部分岔可 揭示强共振下系统的动力学行为. 3数值分析 本节通过数值仿:真分析冲击振动落砂机在 1:4强共振点及其附近的动力学行为.选取落砂机 198工程力学 的一组参数:=1.5,=0.1和R=0.6.取激励 频率go和质量比作为分岔参数,即=(co, ).当=(0.9,0.45),Df(v,X)的所有特征值 都位于复平面的单位圆内,逐渐减小CO和,当l’ 递减穿越=(0.8882571,0.4311895)时,19f(v,X) 有一对复共轭特征值,()从?i处穿越单位圆 周,其余特征值仍在单位圆周内.l,是1:4强共 振的分岔值,且,()=一0.00000011~1.00000092i, (.):1;.4(.)=0.02534424-0.29467783i. 首先选质量比=.=0.4311895,改变激励 频率go,数值仿真结果表明当go?[0.8882571,0.9] 时冲击振动落砂机具有稳定的周期=1/1运动.当 go递减穿越=0.8882571后,系统周期g:1/1运 动发生1:4强共振条件下的亚谐分岔,产生周期 = 4/4不动点,如图5(a)所示.随go的减小,周 期=4/4点发生倍化分岔,产生稳定的周期 = 8/8运动,如图5(b)所示.go继续减小,周期 = 8/8不动点变成8个焦点,如图5(c)所示.go继 续减小,不稳定的周期=8/8点发生内依马克.沙 克分岔,形成周期=8/8概周期冲击运动,在投 熹 岛 熹 蚓 岛 蛊 的无量纲位移 (a)go=0.887 M的无量纲位移x (c)go0.8845 一 熹 删硎 岛 骚 岛 M的无量纲位移x (b)=0.8848 M的无量纲位移x (d)=0.88398 的无量纲位移zM的无量纲位移 (e)一0.8839(D=0.8823 图5Pomc~6映射投影图(:=0.4311895) Fig.5ProjectedPomc~6sections(=.=0.4311895) 影Poincar6截面上8个吸引不变圈表示了概周期吸 引子(,环),如图5(d)所示.进一步减小,吸 引不变圈环面倍化形成2,环,如图5(e)所示.最 后系统经环面倍化嵌入混沌,如图5(0所示. 取=-tm.一?:0.43,在1:4强共振分岔 点附近,数值仿真表明当?[0.88781507,0.9]时冲 击振动落砂机具有稳定的周期=1/1运动.当国递 减穿越1=0.88781507后,系统周期g=1/1运动 发生内依马克.沙克分岔,在投影Poincar6截面上一 个吸引不变圈表示了周期=1/1点的概周期吸引 子,如图6(a1所示.随?的减小,这个吸引不变圈 逐渐变得不光滑,如图6fb1所示.?继续减小,周 期g=1/1不动点发生型相切分岔,概周期吸引 子转变成周期=4/4不动点,如图6(c)所示.国继 续减小,周期=4/4不动点的值发生变化,如 图6(d)所示.继续减小,周期=4/4点发生倍 化分岔,产生稳定的周期=8/8运动,如图6(e) 所示.继续减小,周期=8/8不动点变成8个 焦点,如图6(0所示.?继续减小,不稳定的周期 = 8/8点发生内依马克.沙克分岔,在投影Poincar6 截面上8个吸引不变圈表示了概周期吸引子(, 环 + 黑 皿皤】 蛊 证( 熹 岛 {赵 黑 皿唧 岛 M的无量纲位移x (a)=0.88776 M的无量纲位移x (c)国=0.8874932 M的无量纲位移x (e)=0.8844 熹 1 蛊 {趟 熹 岛 M的无量纲位移z (b)=0.8875 0315035503950435 M的无量纲位移z (d)=0.8874 M的无量纲位移x (D=0.884 工程力学 暴 捌 岛 一 脚咄] 岛 M的无量纲位移M的无量纲位移 (?:0.88390D?=0.8834 图6投影Poincar6映射图(=一Ap=0.43) Fig.6ProjectedPoincar6sections(pm=mc一m=0.43) 倍化形成2环,如图6(h)所示.最终系统嵌入混 沌,过程类似图5(0. 取Pm=.+?=0.432379,在1:4强共振 分岔点附近,数值仿真表明当??[O.88870001,0.9] 时冲击振动落砂机具有稳定的周期q=1/l运动.当 ?递减穿越,=0.88870001后,系统周期q=1/1 运动失稳发生内依马克一沙克分岔,在投影Poincar6 截面上一个吸引不变圈表示了周期q=1/1点的概 周期吸引子,如图7fa1所示.随?的减小,周期 q=1/1不动点发生型相切分岔,形成周期 q=4/4不动点,如图7(b)所示.?继续减小,周 期q=4/4不动点的值发生变化,如图7(c)和图7fd) 所示.?继续减小,周期q=4/4点发生倍化分岔, 产生稳定的周期q=8/8运动,如图7(e1所示.?继 续减小,周期q=8/8不动点变成8个焦点,如 图7(0所示.?继续减小,不稳定的周期q=8/8点 发生内依马克一沙克分岔,在投影Poincar6截面上8 个吸引不变圈表示概周期吸引子,如图7(g)所示 (图70)是图7(的局部放大图).?继续减小,吸 引不变圈经锁相(如图7(i)所示)嵌入混沌(如图7(i) 所示). 蚓 暴 删 g 暴 g M的无量纲位移 (a)?=0.88854 M的无量纲位移 (c)?=0.88851 删 g M的无量纲位移 (b)?=0.8885253 M的无量纲位移 (d)?=0.8884 皿耐 累 删 岛 M的无量纲位移 (e)?=0.8854 M的无量纲位移 (?=0.88462 捌 g . 蚓 岛 向母《 g M的无量纲位移 (f)?=0.885 M的无量纲位移 (h)?=0.88462 M的无量纲位移M的无量纲位移 (i)?=0.88443(j)?=0.8828 图7投影Poincar6~[](/2:+A/.t=0.432379) Fig.7ProjectedPoincar6sections(==0.432379) 数值仿真结果表明冲击振动落砂机在l:4强 共振点附近存在周期运动的Neimark—Sacker分岔和 一 些复杂分岔,如周期4轨道的型和,型相 切分岔,验证了部分理论结果. 4结论 本文应用中心流形理论将冲击振动落砂机周 期运动的Poincar6映射化为二维映射,得到了1:4 强共振下的范式映射,定性地得出了冲击振动落砂 机在1:4强共振点及其附近的动力学特性:r1)在 1:4强共振点可以发生亚谐分岔;(2)在1:4强共 振点附近可能存在12个区域共11种分岔相图转化 过程,其中通常存在周期运动的Neimark—Sacker分 岔和,些复杂分岔,如周期4轨道的型和 型相切分岔.此外本文还通过数值仿真给出了系统 经这些复杂分岔通向混沌的演化过程,验证了部分 理论结果. 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