第4讲 指数与指数
函数
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1．考查指数函数的图象与性质及其应用．
2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用．
3．以指数或指数型函数为命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
背景，重点考查参数的计算或比较大小．
【
复习
预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理
指导】
1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．
2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.
基础梳理
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号
表
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示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)．
③n＝a.
④当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝ |a|＝.
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝a·a·…· (n∈N*)；
②零指数幂：a0＝1(a≠0)；
③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；
⑤负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)
②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
x＜0时，0＜y＜1
x＜0时，y＞1.
在(－∞，＋∞)上是减函数
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＞0时，y＞1；
在(－∞，＋∞)上是增函数
一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(2)换元时注意换元后“新元”的范围．
三个关键点
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
双基自测
1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )．
A．0 B.
C．1 D.
解析 由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan ＝tan ＝.
答案 D
2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )．
解析 f(x)＝故选B.
答案 B
3．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析 设y＝f(x)，t＝2x＋1，
则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)
t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．
因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
答案 A
4．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则( )．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析 c＝log30.3＝5－log30.3＝5log3，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，log3＞log33＝1，
又log23.4＞log2＞log3 ，∴log2 3.4＞log3 ＞log4 3.6
又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b.
答案 C
5．(2012·天津一中月考)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.
解析 由已知条件(a＋a－)2＝9.整理得：a＋a－1＝7
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.
答案 7 47
考向一 指数幂的化简与求值
【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．
解 (1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷
＝－a－·b－
＝－·＝－.
化简结果要求
(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．
【训练1】 计算：
(1)0.027－－－2＋－0；
(2)－·.
解 (1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1
＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝.
考向二 指数函数的性质
【例2】?已知函数f(x)＝·x3(a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．
解 (1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3＝(－x)3
浙公网安备 33021202002483