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初二数学(下)知识点总结与拓展(分式).doc

初二数学(下)知识点总结与拓展(分式)

繁华的只有寂寞
2017-10-19 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《初二数学(下)知识点总结与拓展(分式)doc》,可适用于战略管理领域

初二数学(下)知识点总结与拓展(分式)初二数学(下)知识点总结与拓展(分式)第十六章分式一(知识框架二(知识概念分式:形如ABA、B是整式B中含有未知数且B不等于的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子B叫做分式的分母。分式有意义的条件:分母不等于约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为的数)约去这种变形称为约分。通分:异分母的分式可以化成同分母的分式这一过程叫做通分。最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式约分时,一般将一个分式化为最简分式分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为的整式分式的值不变。分式的四则运算:同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变把分子相加减用字母表示为:acbc=abc异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算用字母表示为:abcd=adcbbd分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母用字母表示为:ab*cd=acbd分式的除法法则:()两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘abcd=adbc()除以一个分式等于乘以这个分式的倒数:abcd=ab*dc分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程分式方程的解法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)按解整式方程的步骤求出未知数的值验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)三、拓展知识点(方法技巧):分式是分数的“代数化”其性质与运算是完全类似的类比分数学分式是学习分式的重要方法。分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础以整式的变形、因式分解为工具。分式的加减运算是分式运算中的重点与难点怎样合理地通分是化解这一难点的关键恰当通分的基本策略与技巧有:分步通分分组通分先约分再通分换元后通分等。当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数就可以将分式化为整式部分与分式部分的和这种变形叫拆分变形这在分式运算中有非常广泛的运用。分式的化简求值:先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值解这类问题既要瞄准目标又要抓住条件既要依据条件逼近目标又要能根据目标变换条件不但要经常用到整式化简求值的知识、方法而且还要常常用到如下技巧策略:()适当引入参数()拆项变形或拆分变形()整体带入()取倒数或利用倒数关系等。第十七章反比例函数一知识框架二(知识概念kk,kk,oy,y,定义:一般地形如(为常数)的函数称为反比例函数。还可以写成y,kxxx反比例函数解析式的特征:kky等号左边是函数等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)分x母中含有自变量且指数为k,比例系数x自变量的取值为一切非零实数。y函数的取值是一切非零实数。反比例函数的图像图像的画法:描点法列表(应以O为中心沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)描点(有小到大的顺序)连线(从左到右光滑的曲线)kkk,x,反比例函数的图像是双曲线(为常数)中自变量函数值所以双曲y,y,x线是不经过原点断开的两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或)。y,xy,,xkkk,kk,反比例函数()中比例系数的几何意义是:过双曲线()上任意引轴y,y,yxxx轴的垂线所得矩形面积为。k(反比例函数性质:如下表:k的取图像所在函数的增减性值象限值随的增大而在每个象限内yxk,o一、三象限减小值随的增大而在每个象限内yxk,o二、四象限增大反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求k出)ky,(“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x中的两个变量必成反比例关系。三、典型例题:kk,【例】如果函数的图像是双曲线且在第二四象限内那么的值是多少,y,kxk,k,k,y,【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数()即()又在第二y,kxxk,四象限内则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义得:,,kk,,,,k,,或k,解得,,k,,,k,,?k,,kk,?k,,y,,时函数为y,kxxy,,xyx,x,,xxyxy【例】在反比例函数的图像上有三点。若则下列x各式正确的是(A)y,y,yy,y,yy,y,yy,y,yA(B(C(D(【解析】可直接以数的角度比较大小也可用图像法还可取特殊值法。解法一:由题意得y,,y,,y,,xxx所以选A?x,x,,x?y,y,y解法二:用图像法在直角坐标系中作出的图像y,,x描出三个点满足观察图像直接得到选Ax,x,,xy,y,y解法三:用特殊值法?x,x,,x,?令x,,x,,x,,?y,,,y,,,y,,?y,y,yn,m【例】如果一次函数相交于点()那么该直线与双曲y,mxnm,与反比例函数y,的图像x线的另一个交点为(,)【解析】,m,,n,m,,,mn,?直线y,mxn与双曲线y,x相交于?解得,,,,n,x,,,,n,m,,y,x,,?直线为y,x,双曲线为y,解方程组,y,x,x,x,,,得,y,,,,,x,,,y,,?另一个点为,,mRt,AOBAy,xmy,【例】如图在中点是直线与双曲线在第一象限的交点且S,,AOBx则的值是mmAAy,xmy,解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为x,yAAxmy,xm,y,则有所以m,xyAAAAAxAAOB,x,x,AB,y,y又点在第一象限,所以AAAA,,,,SOBABxymS,所以而已知,AOBAA,AOBm,所以第十八章勾股定理一知识框架二知识概念勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为ab斜边长为c那么ab=c。勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足ab=c。那么这个三角形是直角三角形。定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)三应用勾股定理易犯的错误:()忽视题目中的隐含条件例在RtABC中,a、b、c分别为三条边,B=,如果a=cm,b=cm,求边c的长误解:ABC是直角三角形,ab=c,即=c,解得c=(cm)剖析:上面的解法,忽视了题目中B=,b是斜边的隐含条件正解:B=,ac=b,c=ba==(cm)()忽视定理成立的条件例在边长都是整数的ABC中,AB>AC,如果AC=cm,BC=cm,求AB的长误解:由“勾股弦”知AC=cm,BC=cm,AB>AC,AB=cm剖析:这种解法受“勾股弦”思维定势的影响,见题中有BC=,AC=,就认为AB=,而忘记了“勾股弦”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。勾股定理是直角三角形具备的重要性质。在学习本章时要在理解勾股定理的前提下学会利用这个定理解决实际问题。四拓展勾股定理的一些证明方法(了解拓展思维):【证法】(课本的证明)abbaaacaacbcabbccbbbcaaabb做个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、b斜边长为c再做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是ab所以面积相等即abab,cabab,c整理得【证法】(邹元治证明)ab以a、b为直角边以c为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上B、F、C三点在一条直线上C、G、D三点在一条直线上RtΔHAERtΔEBF,CGDabAHE=BEFabccHAEHAHE=º,FcAEHBEF=ºcabHEF=º―º=ºaBbAE四边形EFGH是一个边长为c的正方形它的面积等于cRtΔGDHRtΔHAE,HGD=EHAHGDGHD=º,EHAGHD=º又GHE=º,DHA=ºº=ºabABCD是一个边长为ab的正方形它的面积等于ab,abcab,c【证法】(赵爽证明)以a、b为直角边(b>a)以c为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角Dbabc三角形的面积等于把这四个直角三FGCa角形拼成如图所示形状AHERtΔDAHRtΔABE,HDA=EABBHADHAD=ºEABHAD=ºABCD是一个边长为c的正方形它的面积等于cEF=FG=GH=HE=b―a,HEF=ºb,aEFGH是一个边长为b―a的正方形它的面积等于abb,a,cab,c【证法】(年美国总统Garfield证明)ab以a、b为直角边以c为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于C把这两个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上DRtΔEADRtΔCBE,cbcaADE=BECabABEAEDADE=º,AEDBEC=ºDEC=º―º=ºΔDEC是一个等腰直角三角形c它的面积等于又DAE=º,EBC=º,ADBCabABCD是一个直角梯形它的面积等于ab,abcab,c【证法】(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使H、C、B三点在一条直线上连结BF、CD过C作CLDE交AB于点M交DE于点LGAF=ACAB=ADHFAB=GADKaCΔFABΔGADFbbaaMBΔFAB的面积等于AΔGAD的面积等于矩形ADLMc的面积的一半caE矩形ADLM的面积=DLb同理可证矩形MLEB的面积=正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积矩形MLEB的面积c,abab,c即【证法】(利用相似三角形性质证明)如图在RtΔABC中设直角边AC、BC的长度分别为a、b斜边AB的长为c过点C作CDAB垂足是D在ΔADC和ΔACB中CADC=ACB=ºbaCAD=BACcADBΔADCΔACBADAC=ACABAC,AD,AB即BC,BD,AB同理可证ΔCDBΔACB从而有ACBC,ADDB,AB,ABab,c即第十九章四边形一(知识框架二(知识概念平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质:平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定()两组对边分别相等的四边形是平行四边形()对角线互相平分的四边形是平行四边形()两组对角分别相等的四边形是平行四边形()一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。ADCB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。矩形的性质:矩形的四个角都是直角矩形的对角线平分且相等。AC=BD矩形判定定理:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。菱形的定义:邻边相等的平行四边形。菱形的性质:菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定定理:一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边相等的四边形是菱形。S菱形=×ab(a、b为两条对角线)正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。正方形的性质:四条边都相等四个角都是直角。正方形既是矩形又是菱形。正方形判定定理:()邻边相等的矩形是正方形。()有一个角是直角的菱形是正方形。梯形的定义:一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形。直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。三、拓展四边形常见辅助线做法(考试重点):平行四边形中常用辅助线的做法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质所以在添辅助线方法上也有共同之处目的都是造就线段的平行、垂直构成三角形的全等、相似把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理其常用方法有下列几种举例简解如下:()连对角线或平移对角线:()过顶点作对边的垂线构造直角三角形()连接对角线交点与一边中点或过对角线交点作一边的平行线构造线段平行或中位线()连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段构造三角形相似或等积三角形。()过顶点作对角线的垂线构成线段平行或三角形全等梯形中常用辅助线的做法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁梯形中常用到的辅助线有:()在梯形内部平移一腰。()梯形外平移一腰()梯形内平移两腰()延长两腰()过梯形上底的两端点向下底作高()平移对角线()连接梯形一顶点及一腰的中点。()过一腰的中点作另一腰的平行线。()作中位线当然在梯形的有关证明和计算中添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决这是解决问题的关键。第二十章数据的分析一(知识框架二(知识概念加权平均数:加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。方差:用“先平均再求差然后平方最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况这个结果叫方差计算公式是s=(x)(x)„(x)n方差越大数据的波动越大方差越小数据的波动越小就越稳定。三拓展:加权平均数关键在于理解“权”的含义权重是一组非负数权重之和为当各数据的重要程度不同时一般采用加权平均数作为数据的代表值。平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系:平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势其中以平均数的应用最为广泛。区别:()平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系任一数据的变动都会引起平均数的变动。()中位数仅与数据的排列位置有关某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时可用它来描述其集中趋势。()众数主要研究个数据出现的频数其大小只与这组数据中的某些数据有关当一组数据中有不少数据多次重复出现时我们往往关心众数。方差是重难点它是描述一组数据的离散程度即稳定性的非常重要的量离散程度小就越稳定离散程度大就不稳定也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特征但是对两组数据来说极差大的那一组方差不一定大反过来方差大的极差也不一定大。内部资料仅供参考内部资料请勿外传~

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