2015届高考
数学
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一轮复习典
题
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回顾:第5讲《不等式》
第5讲 不等式经典精讲
主讲教师:王春辉 北京数学高级教师
2题一:解不等式|x,2x,3|<|3x,1|(
题二:解关于x的不等式|2x,1|<2m,1(m?R)(
2题三:求函数的值域( yxx,,,1
22题四:设x,y为实数(若4x,y,xy,1,则2x,y的最大值是________
a,bc,d题五:若bc,ad?0,bd>0,求证:?( bd
mx题六:已知m?R,a>b>1,f(x),,试比较f(a)与f(b)的大小( x,1
172题七:函数f(x),,sinx,sinx,a,若1?f(x)?对任意的x?R恒成立,求实数a的取值4
范围(
ππ,,,,2x,0,asin,2a,b,当x?时,,5?f(x)?1( 题八:已知a>0,函数f(x),,262,,,,(1)求常数a,b的值;
π,,x,(2)设g(x),f 且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间( 2,,
211题九:设不等式2(logx)+9(logx)+9?0的解集为M,求当x?M时函数
22xx
f(x)=(log)(log)的最大、最小值( 2228
题十:设函数f(x),|x,1|,|x,a|(
(1) 若a,,1,解不等式f(x)?3;(2)如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范围(
1222题十一:证明:关于x的不等式(3k,2)x,2kx,k,1<0与(k,)x,kx,1>0,当k为任12意实数时,至少有一个恒成立(
2xx题十二:已知f(x),3,(k,1)?3,2,对任意的x?R,恒有f(x)>0,则k的取值范围是( )( A((,?, ,1) B((,?, 22,1)
C((,1, 22,1) D((,22,1, 22,1)
22题十三:解关于x的不等式x,2ax,3a>0(
22题十四:已知集合A,{x|2x,3x,2?0},B,{x|x,ax,3a?0,a?R},且B?A,求a的取值范围(
12题十五:若不等式ax,bx,c>0的解集是(,,2),则以下结论中: 2
?a>0;?b<0;?c>0;?a,b,c>0;?a,b,c>0,正确结论的序号是( )(
A(??? B(??? C(??? D(??
12题十六:函数f(x),ax,bx,c(a>0),方程f(x),x,0有两根x,x满足0
时,解集为:{x|1,m0,即m>( 2
则,(2m,1)<2x,1<2m,1,所以1,m2
题三: [,1,2](
,,2详解:函数的定义域为[,1,1],设, yxx,,,1xtt,,,,sin()
22
,2则原函数可化为= yxx,,,1ytt,,sincos2sin()t,
4
,,,,,3t? ? ,,,,,,,t22444
2,看图象(图2)可知 ,,,,sin()1t
24
,?? ,,,12y,,,,12sin()2t
4
即原函数的值域为[,1,]( 2
210题四: ( 5
2x,y335222详解:依题意有(2x,y),1,3xy,1,×2x×y?1, ? ()~得(2x,y)?1~ 2228
210即|2x,y|?( 5
10210当且仅当2x,y,时~2x,y达到最大值( 55
题五: 见详解(
1证明:?bc,ad?0~bd>0~?bc?ad~>0~ bd
c,da,ba,bc,dcaca??(?,1?,1~即?~即?( dbdbdbbd
题六: 当m>0时~f(a)f(b)(
mx111详解: f(x),,m(1,)~f(a),m(1,)~f(b),m(1,)( x,1x,1a,1b,1
11?a>b>1~?a,1>b,1>0~?1,<1,( a,1b,1
11?当m>0时~m(1,)m(1,)~即f(a)>f(b)( a,1b,1
综上所述,当m>0时~f(a)f(b)(
题七: 3?a?4(
111222详解:令t,sinx~t?[,1,1]~则f(x),,sinx,sinx,a,,t,t,a,,(t,),a,~当t,时,f(x)有最242
117,a,?1144~大值a,~当t,,1时,f(x)有最小值a,2(故函数f(x)(x?R)的值域为[a,2~a,]~从而,44 ,a,2?1
解得3?a?4(
πkπ~kπ,题八: (1)a,2~b,,5,(2) g(x)的单调增区间为~k?Z,g(x)的单调减区间为(]6
ππkπ,~kπ,~k?Z( ()63
π7πππ1π0~~2x,,~1详解: (1)?x?~?2x,?(?sin?~ [][]()[]266626
π2x,?,2asin?[,2a~a](?f(x)?[b,3a,b]~又?,5?f(x)?1~ ()6
?b,,5,3a,b,1~因此a,2~b,,5(
π2x,(2)由(1)得a,2~b,,5~?f(x),,4sin,1~ ()6
π7ππx,2x,2x,g(x),f ,,4sin,1,4sin,1~ ()()()266
ππ12x,2x,又由lg g(x)>0得g(x)>1~?4sin,1>1~?sin>~ ()()662
ππ5π?2kπ,<2x,<2kπ,~k?Z~ 666
ππππ其中当2kπ,<2x,?2kπ,~k?Z时~g(x)单调递增,即kπ1时,不等式化为x,1,x,1?3~即2x?3(
x>1~,3~,?,不等式组的解集为( [)2 f(x)?3,
33,?~,~,?综上得~f(x)?3的解集为?( (][)22
(2)若a,1~f(x),2|x,1|~不满足题设条件(
,2x,a,1~x?a~,,1,a~a1~f(x), , ,2x,(a,1)~x?a.,
f(x)的最小值为a,1(
所以?x?R~f(x)?2的充要条件是|a,1|?2~
从而a的取值范围为(,?,,1]?[3,,?)(
2题十一: 证明:由(3k,2)x,2kx,k,1<0恒成立(
2412?当k,时,不等式变为x,<0~不恒成立,?k?( 3333
3k,2<0~,21,?当k?时,对应抛物线恒在x轴下方,??k<( 232 4k,4,3k,2,,k,1,<0,
11222由(k,)x,kx,1>0恒成立,并有k?(?对应抛物线恒在x轴上方, 1212
12,k,>0~,1211??k<,或k>( ,33122 k,4,k,,<0,,12
1222由不等式(3k,2)x,2kx,k,1<0恒成立或(k,)x,kx,1>0恒成立, 12
111?k的范围是{k|k<}?{k|k>或k<,},R( 233
?k为任意实数时,上述两个不等式至少有一个恒成立,命题得证(
题十二: B( 2xxxx2详解:函数f(x),3,(k,1)?3,2是关于3的二次函数,记t,3>0~函数转化成f(t),t,(k,1)t,2对任
意的t>0~恒有f(t)>0( 22当Δ,[,(k,1)],4×1×2<0~即(k,1),8<0时,条件成立~ 所以,22,10~则x>3a或x<,a,若a,0~则x?0~x?R,若a<0~则x<3a或x>,a( 详解:原不等式可以化为:(x,3a)(x,a)>0~
若a>0即3a>,a~则x>3a或x<,a, 2若a,0即3a,,a~则x>0~x?0~x?R,
若a<0即3a<,a~则x<3a或x>,a(
1题十四: a?[,~12)( 14
12详解:A,{x|,?x?2}~设f(x),x,ax,3a~ 22(1)当Δ,a,4?3a<0~即00的解集是(,~2)~ 2
12?方程ax,bx,c,0的根是,~2~且a<0( 2
b3c,>0~,,1<0( 由韦达定理,得a2a
?a<0~?b<0~c>0(又当x,1时,不等式成立,即得a,b,c>0(
题十六: 证明:?x、x是方程f(x),x,0的两根, 12
?f(x),x,a(x,x)(x,x)(?x?(0~x)~ 121?x,x<0~x,x<0~ 12
?a>0~?f(x),x>0~即f(x)>x( f(x),x,f(x),x,x,x,a(x,x)(x,x),(x,x),(x,x)(ax,ax,1)( 11121121?00~ax>0~?ax,ax,1>0~x,x<0~ 22221a
?(x,x)(ax,ax,1)<0~f(x),x<0~f(x)
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