判别下列各反常积分的收敛性

判别下列各反常积分的收敛性习题5,7 1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: ，,dx (1); ,41x 解因为，,1111，,dx,3,3lim() , ,,x,,x，,,411x,，,3333x dx1，,，,dx所以反常积分收敛, 且. ,,,44113xx dx，, (2); ,1x ，,，,dxdx，, 解因为, 所以反常积分发散. ,2x,lim2x,2,，,,,111x,，,xx ，,ax, (3)(a>0); edx,0 解因为，,，,1111,ax,ax,axedxee , ,...

习题5,7 1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: ，,dx (1); ,41x 解因为，,1111，,dx,3,3lim() , ,,x,,x，,,411x,，,3333x dx1，,，,dx所以反常积分收敛, 且. ,,,44113xx dx，, (2); ,1x ，,，,dxdx，, 解因为, 所以反常积分发散. ,2x,lim2x,2,，,,,111x,，,xx ，,ax, (3)(a>0); edx,0 解因为，,，,1111,ax,ax,axedxee , ,,,,，,lim(),00x,，,aaaa ，,，,1ax,ax,所以反常积分edx收敛, 且edx. ,,,00a ，,pt, (4)(p>1); echtdt,0 解因为 p1111，,，,，,(1)(1)(1)(1)ptptptptpt,,,，,,，echtdt,[e，e]dt,[e,e], , ,,2000221,p1，pp,1 p，,，,pt,pt,echtdt,echtdt所以反常积分收敛, 且. ,,200p,1 ，,pt, (5)esin,tdt(p,0, ,0); ,,0 ，,，,1ptpt,, 解 esin,tdt,,edcos,t,,00, ，,，,，,p111ptptpt,,, ,,ecos,t，cos,t,(,pe)dt,,edsin,t 2,,000,,,, 2，,，,，,ppp11ptptpt,,, ,,esin,t，sin,t,(,pe)dt,,,esin,tdt222,,000,,,,, ，,,pt,所以 . ,esintdt,22,0，pw dx，, (6); ,2,,x，2x，2 ，,dxdx,,，,，, 解 . ,,arctan(x，1),,(,),,,,22,,,,,,22x，2x，21，(x，1) x1 (7); dx,021,x 解这是无界函数的反常积分, x,1是被积函数的瑕点. 1x122 . dx,,1,x,lim(,1,x)，1,1,,00x,211,x dx2 (8); ,20(1,x) 解这是无界函数的反常积分, x,1是被积函数的瑕点. 因为 dxdxdx212,， , ,,,222001(1,x)(1,x)(1,x) 11dx11而 , ,,lim,1,，,,2,00x,1xx1,1,x(1,) dx2所以反常积分发散. ,20(1,x) 2xdx (9); ,1x,1 解这是无界函数的反常积分, x,1是被积函数的瑕点. 32xdx12222 ,(x,1，)dx,[(x,1)，2x,1],,1113x,1x,1 38222lim[(1)21]2 . ,,x,，x,,，x,1333 dxe (10). ,12x1,(lnx) 解这是无界函数的反常积分, x,e是被积函数的瑕点. eee1dx,lnarcsin(ln)limarcsin(ln) . ,dx,x,x,,,,11122x,e21(ln)1(ln)x,x,x dx，, 2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k ,k0x(lnx) 为何值时, 这反常积分取得最小值? ，,dx11，,，,1k,，解当k,1时, ; ,dlnx,(lnx),，,,,kk2221,kx(lnx)(lnx) ，,dx1，,，, 当k,1时, ; ,dlnx,ln(lnx),，,,,k222lnxx(lnx) ，,dx，,，,111,k，11,k,dx,x, 当k,1时, . ln(ln)(ln2),,kk222,kk,11xxx(ln)(ln) dxdx，,，, 因此当k,1时, 反常积分收敛; 当k ,1时, 反常积分发散. ,,kk00x(lnx)x(lnx) dx，,11,kfk,, 当k,1时, 令, 则 ()(ln2),k0k,1xx(ln) 1,k(ln2)lnln211111,k,k, . f(k),,(ln2),(ln2)lnln2,,(k,1，)22k,1lnln2(k,1)(k,1) 1 令f ,(k),0得唯一驻点k,1,. lnln2 1111,k,1,k,1,k,1, 因为当时f ,(k),0, 当时f ,(k),0, 所以为极小值lnln2lnln2lnln2 1k,1,点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值 lnln2 ，,n,xI,xedx 3. 利用递推公式计算反常积分. n,0 解因为，,，,，,，,n,xn,xn,xn,1,x , I,xedx,,xde,,xe，nxedx,nInn,1,,,0000 所以 I, n,(n,1),(n,2), , ,2,I. n1 ，,，,，,，,，,xxxxx,,,,,又因为 I,xedx,,xde,,xe，edx,,e,1, 1,,,00000所以 I, n,(n,1),(n,2), , ,2,I,n!. n1

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