题目:指数函数与对数函数

题目:指数函数与对数函数题目:指数函数与对数函数高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞题目:指数函数与对数函数教学内容与教学目标: 1(教学内容: (1) 指数函数的概念、图象和性质( (2) 对数的定义及基本性质、对数的运算法则，对数的换底公式，利用常用对数进行计算( (3) 对数函数的概念、图象和性质( (4) 指数方程和对数方程的概念及简单指数方程和对数方程的解法( 2(教学目标: (1) 理解和掌握指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质( (2) 理解对数的概念，掌握对数式与指数...

题目:指数函数与对数函数高三复习教案 ----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞题目:指数函数与对数函数教学内容与教学目标: 1(教学内容: (1) 指数函数的概念、图象和性质( (2) 对数的定义及基本性质、对数的运算法则，对数的换底公式，利用常用对数进行计算( (3) 对数函数的概念、图象和性质( (4) 指数方程和对数方程的概念及简单指数方程和对数方程的解法( 2(教学目标: (1) 理解和掌握指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质( (2) 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化、对数的性质和运算法则( (3) 理解和掌握对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质( (4) 理解指数方程和对数方程的概念，掌握简单的特殊类型的指数方程和对数方程的解法，并了解解对数方程时验根的必要性( (5) 通过对数运算，解有关指数函数和对数函数的问题，解指数方程与对数方程，培养学生的运算能力( (6) 通过运用指数函数和对数函数的有关知识及指数方程和对数方程的知识去解决一些简单的应用问题，培养学生解决实际问题的能力，增强学生应用数学的意识( 教学工具:多媒体课件知识系统及其结构: 指数函数的概念, ,指数函数指数函数的图象和性质 , ,指数方程及简单指数方程的解法, 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 ,对数的定义, ,,对数的概念对数与指数的互化,,,,对数恒等式,,对数的基本性质,, 对数对数的运算法则, ,对数的换底公式,常用对数的定义与性质,,,,常用对数常用对数表 ,,,利用常用对数进行计算,,, 对数函数的概念, ,对数函数对数函数的图象和性质 , ,对数方程及简单对数方程的解法, 重难点分析: 1(指数函数的重点是在理解指数函数定义的基础上，掌握指数函数的图像和性质;难点是运用指数函数的图像特征和性质解决与指数函数有关的函数问题( 2(对数中重点是对数的定义;难点是对对数概念的真正理解( 3(对数的性质和运算法则的重点是对数的性质和对数的运算法则;难点是对数运算法则的推导和正确、灵活的运用( 4(对数函数的重点是在理解对数函数的基础上，掌握对数函数的图像和性质;难点是运用对数函数的图像特征和性质解决与对数函数有关的函数问题( 5(换底公式的重点是对数的换底公式;难点是换底公式的证明和灵活运用( 6(指数方程和对数方程重点是几种特殊类型的指数方程和对数方程的解法( 基本概念及相关知识点: 1、对数、对数的底数、真数:一般地，如果a(a>0，a?1)的b次幂等于N， b就是a,N，那么数b叫做以a为底N的对数，记为logN=b(a叫做对数的底数(Na 叫做真数(负数和零没有对数( 2、常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数( 3、自然对数:以e为底的对数叫自然对数，N的自然对数logN简记作lnN( a 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 4、对数的运算性质: 如果a,0，a?1，M>0，N>0，那么 (1)log(MN)=logM，logN; aaa M(2)=logM,logN; aalogaN n(3)logM=nlogM(n?R)( aa 5、对数换底公式: logNalogN,(a>0，a?1，b>0，b?1，N>0) blogba 6、指数函数: x一般地，函数y=a(a>0且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量;函数的定义域是R( 7、指数函数的图象与性质: a,1 0,a,1 图像 (1)定义域:R (2)值域:(0+?) (3)过点(0，1)，即x=0时，y=1 (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数 8、对数函数:函数y= logx(a>0，a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数a 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞的定义域是(0,+?)( 9、对数函数的图象与性质: a>1 0,a,1 图像性 (1)定义域:(0，+?) (2)值域:R 质 (3)过点(1，0)，即x,1时，y,0 (4)在(0，+?)上是增函数 (4)在(0，+?)上是减函数 10、指数方程与对数方程:在指数里含有未知数的方程叫做指数方程(在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程(它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解( xlog11、最简单的指数方程:,b(a,0,a?1,b,0)，它的解是x,b aa blog12、最简单的对数方程:x,b(a,0,a?1)，它的解是x, aa 概念辨析: 1(指数函数 x(1) 指数函数的定义:函数y=a叫做指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常量(函数的定义域是实数集R( x，11,,x在定义中，必须注意:?指数函数的形状，例如y=,2，y都不能,,,2,, 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数;?指数函数的底在应用时的范围;?指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用( x(2) 在函数y=a中规定底数a>0且a?1的理由: xx如果a=0，则当x>0时，a恒等于0;当x?0时，a无意义( 11x如果a<0，比如y=(,4)，这时对于，，…等等，在实数范围内，x,x,42 函数值不存在( x如果a=1，y=1=1是一个常量，对它就没有研究的必要( 为了避免上述情况，所以规定底数a>0且a?1( x(3) 指数函数y=a在其底数a>1及01 01)y=ayxy(00时，y>1 x>0时，01 情况单调 ?在(,?，+?)上是增函数 ?在(,?，+?)上是减函数性高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞注:? 注意根据图象记忆和应用性质: xx? 性质?可表述为:若(a,1)x>0，则a>1;若(a,1)x<0，则00且a?1)的b次幂等于N，就是a=N，那么数b 就叫做以a为底N的对数，记作logN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，a logN也叫做对数式( a (2) 指数式与对数式的互化 ba=N b=logN (a>0且a?1，N>0) a logNa(3) 对数恒等式:a,N(a>0，a?1，N>0) (4) 对数的性质: ? 负数和零没有对数( ? 1的对数是零，即log1=0( a ? 底的对数等于1，即loga=1( a (5) 对数运算法则(a>0且a?1，M>0，N>0) ? log(MN)= logM+logN aaa M? log,logM,logNaaaN nlogM,nlogM? (n?R) aa 1n?logM,logM(n?R，n?0) aan (6) 对数换底公式: logNalogN,(a>0，a?1，b>0，b?1，N>0) blogba n1nlogb,推论: logb,logb maaalogamb (7) 常用对数与自然对数( 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 ? 常用对数既是以10为底的对数，简记为lgN (N>0)( ? 自然对数即是以无理数e=2.71828…为底的对数，简记为lnN (N>0)( f(x)g(x)(8)对可化为形如,(a,0,a?1)的指数方程，可转化为它的同解方aa 程f(x),g(x)求解;因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等( loglog而对可化为形如f(x), g(x)(a,0,a?1)的对数方程，在转化为方程aa f(x),g(x)求解时，必须把所得的解代回原方程检验;因为从前者变为后者时，x的取值范围可能扩大，有可能产生增根( xlog某些指数方程与对数方程可以分别化为关于与x的可解方程，这时可aa x2xxlog用换元法先求出与x的值，再求x的值;特别对形如，b?，c,0，aaaa xlog可用换元法化为二次方程，先求出或x，再求x(但解对数方程时，始终aa 要注意变形的同解性( 范例分析: 例1(比较下列各组数的大小 572133852,,,,324453(1) ，，( (2) ，( ,,,,45,,,, nn,1nn，1(3) ，(a>0且a?1，n?N，n>1) ( aa 分析: (1) 化成指数相同而底数不同，用幂函数的性质比较( (2) 底数相同，指数不同时，用指数函数的性质比较(本题既不能转化成同底 0数，也不能转化成同指数，此时可以设想以a=1为中间量，再进行比较(也可以 57 3852,,,,通过画出y=与y=的图象进行比较( ,,,,45,,,, (3) 利用指数函数的性质进行比较，注意对底数a进行分类讨论( 223x,x，53x,2x，7例2(已知函数，，当f (x) >g (x)成立时，求，，，，fx,agx,a 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 x的取值范围( 分析:运用指数函数的单调性，分a >1和0 < a < 1两种情形求解( 4x,1例3(函数y=+1(a>0且a?1)a 3 的图象必须过点________________( x,1y,2x2分析:根据指数函数y=a的图象经 1过定点(0，1)，并作图象变换作出回答( (1,1) 经过点(1，2)( -2-11234o x,1例4(作出函数的图y,2-1 象( 如右图 -2 例5(求下列函数的定义域和值域( 1xxx+1x,4y,2(1) ; (2) (3) y=4+2+1( y,3,1 分析:正确运用指数函数的定义域、值域解决复合函数的定义域、值域( 答案:(1) x?(,?，4)?(4，+?);y?(0，1)?(1，+?) ，，,,x,0，，,y,0，，,(2) ;( (3) x?R，y?(1，+?)( 2x,3x，21,,例6(求函数y的单调区间( ,,,2,, 分析:运用换元法，根据指数函数的单调性和二次函数的增、减区间解决复合函数的单调区间( 33，,,，，，,,,，答案:减区间为，增区间为( ,,,,22，,,，高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 2x,3x，21,,y,,,12,, 3，,3,，，，,,,，,,,,22，,,， -1123o -1 11fx,，，，例7(判断函数的奇偶性( x2a,1 分析:定义域为{x|x?0，x?R}(利用奇(偶)函数的定义进行判断，并注意变形( x,xa,a，，fx,例8(已知函数(求函数f (x)的定义域、值域，并讨论它的x,xa，a 奇偶性和单调性( 4 1 2 -11o-4-224ox,xa,aa = 0.13 ，，fx,x,xx,xa,aa，aa = 3.39 ，，fx,-2x,xa，a -1 -4 分析:本题是含指数函数的复合函数的综合题(f (x)的定义域为R，值域为(,1，1)，是奇函数，当a>1时，在R上为增函数，当0log2; 0.80.8 (2) 利用对数函数y=logx，y=logx图象特征知，当x>1时，底数越大27 图象越靠近x轴(log5>log5; 27 (3) 借助中间量1，log9>log8=1=log9>log8; 8899 (4) 借助中间量log4，log5>log4>log4( 3336例14(比较下列各数组中各数的大小: 3log24(1) 1.5，log0.6，，log5，log4( 3452 22(2) 1log4=1=log5>log4， 4455 1.5,log8log5,log5，， 242 3log24,1.5,log5? 24 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 3log24,1.5,log5故>log4>log0.6( 5324 22(2) 注意到，(logx)>0，logx>0，而1(logx)> log(logx)( aaaa 5例15(求函数 2的单调区间( y,log，，x，4x,51 2 -10-5510o分析:先求函数的定义域，再根据二次函数的增减区间及对数函数的单调性确2-5，，y,logx，4x,512定复合函数的增减区间(增函数区间为(, 4?，,5)，减函数区间为(1，+?)( 例16(求函数 22的值域 y,log，，,x，4x,21 2 2-224分析:利用换元法，令u=,x+4x,o2>0，根据u的取值范围和对数函数2y,log，，,x，4x,21-22的图象和性质求得函数的值y,logu1 2 ，,,1，，,域为( 1，xfx,log，，例17(已知 (a>0且a?1) a1,x (1) 求f (x)的定义域; (2) 判断f (x)的奇偶性并予以证明; (3) 求使f (x)>0的x的取值范围( 分析:(1) 定义域为(,1，1);(2) f (x)为奇函数;(3) 由f (x)>0求x的范围时，要分两种情形，当01时，x?(0，1)( 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 3 2 2 1 1 -2-112o-2-112 o 1，x-1，，fx,loga = 0.39 a 1，x-11,x，，fx,logaa = 2.46 1,x -2 -2 2例18(利用奇偶性，求函数，(x?R)的反函数( ，，，，fx,lgx，x，1分析:? f (x)+ f (,x)=0 ? f (x)是奇函数( 22由，求得( ，，，，y,lgx，x，1,y,lg,x，x，1 2y2,y即， x，x，1,10,x，x，1,10 x,x1010,1y,y,，，fx,两式相减得2x=10,10，即得( 2例19(画出下列函数的图象( (1) (2)( y,log1,xy,log(x，1)22 4 2 3 y,log1,x21y,log(x，1)22-2-112341o -1-2-11234o -1-2 -2-3 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞例20(解下列方程: 1112x,1x,1xxx8,2(1) ; (2) ; 4,9,5,6,9,4 22x，3x，1x，2x5，3,2,5，8,3 (3) ( 分析:(1) 化成同底数，解得x=1或x=2; 1 x31,,u,(2) 先变形，后换元令(解得; x,,,22,, 2x，1x,15,3(3) 先变形为，底数不同两边取对数(解得x=,1或x=1+log5( 3 例21(解下列方程 1,,xx,1x+1，，log3,1,log3,,2(1) lg(8+2)=2x(1,lg5); (2) ; ,,333,, 4xxlogxa,x(3) (a>0且a?1) 2a 分析:(1) 先变形，是同底数的对数方程，利用真数相等，解得x=2( 4x(2) 先变形，再换元令t=log(3,1) (整体代换)，最后解得log或x,333 x=log10( 3 (3) 是指数与对数的混合形式的方程，通过两边取对数转化成对数形式的方程 4x,a求解，解得x=a或( 点评:解对数方程，在去掉对数符号化成普通方程方程时，可能出现增根，因此在解对数方程时最后要注意验根( 例22(解关于x的方程lgx+lg(4,x)=lg(2x+a)( x,0, ,4,x,0,解:原方程等价于 ,2x，a,0, ,，，x4,x,2x，a, 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 2在区间(0，4)上解方程x,2x+a=0( , 2令 f (x)=x,2x+a 求抛物线y=f (x)与x轴上以0，4为端点(不含0，4)的线段的交点( , 注意到抛物线的对称轴为x=1( (1) 无交点的充要条件是: f (1)>0或f (4)?0a>1或a?,8 , 原方程无解( (2) 有一个交点的充要条件是: f (1)=0或f (0)?f (4)?0且f (4)?0a=1或,8 0}，B,{x|y,，y,2}，那么 ,,a2,,AB等于( )( : (A) { x | x ?,1} (B) { x | x ?,1} (D) ,(C) { x | x > 0} 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 2(2)函数y = log(1,2x + x)的图象是( )( 4 15(3)若函数 (a?0)是奇函数，则满足的x的取f(x),，af(x),x63,1 值集合为( )( (A) { log2 } (B) { 1 } 3 (D) ,(C) {2 log2 } 3 (4)已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x < 0时， x11,,,,f(x),，那么f的值等于( )( ,,,,32,,,, 3(A) (B) ,3 3 3 (D) ,3(C) 3 111,,,232665,,,,,,m,n,p,(5)若，，，则( )( ,,,,,,455,,,,,, (A) m < p < n (B) n < m < p (C) p < m < n (D) n < p < m (6)函数y = logx与y,log(4x)的图象( )( 21 2 (A)关于直线x = 1对称 (B)关于直线y = x对称 (C)关于直线y=,1对称 (D)关于直线y = 1对称高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 ,,x1x (7)方程 9,2?3= 27的解集为_____________________________( (8)方程 log(3x+4)=2的解集为__________________________( x x(9)已知函数 f ( x ) = log (1,a)(a > 0，a?1)( a (1)求函数f ( x )的定义域和值域; (2)证明函数f ( x )的图象关于直线y = x对称( ，,(10)已知函数f ( x ) = log (1 + x)，当x?1,，,时，恒有| f ( x ) | > 2，求a 实数a的取值范围( 9,,a2b(11)已知，且a > b > 1(试比较a与b的大小，logb，2loga,ab2 并说明理由( 习题的答案与提示: (1) B( A = R， x1,,,2由得x?,1，故B = {x | x?,1}( ,,2,, (2) D( 2y = log(x,1)(其定义域为{x | x?R，x?1}，且(1，+?)上是增函数( 4 (3) C( 11,,aa，,,，由 f ( x )是奇函数，故f(,1)=,f ( 1 )，即，解得 ,,,13,1,31,, 111(),，(于是fx( a,x223,1 1155x，,，即，化简得 3 = 4 ( f(x),x2663,1 因此 x =2 log2 ( 3 (4) B( f ( x )为奇函数( 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 1,2111,,,,,,f,,f,,,,,3( ,,,,,,223,,,,,, (5) A( x6,,y,由函数在R上是增函数，可得 n > p，从而否定(B)、(D)( ,,5,, 1,2y,x又函数在(0，+?)上是减函数，可得m < p ( (6) C( 在函数y = logx图象上取一点P(1，0)( 2 可求得P点关于直线x = 1的对称点为Q(1，0)， 1 P点关于直线y = x的对称点为Q(0，1)， 2 P点关于直线y =,1的对称点为Q(1，,2)， 3 P点关于直线y = 1的对称点为Q(1，2)( 4 经验证，其中只有Q点在函数的图象上( y,log(4x)31 2 (7){ ,2 }( ,,x2x 方程可化为 (3),6 (3),27 = 0 ( (8){ 4 } ( 2 解:x= 3x + 4，并注意 x > 0，x ? 1( xx (9)(1)由1,a > 0，得a< 1 可得 f ( x )的定义域当a > 1时为(,?，0);当0 < a < 1时为(0，+ ?)( x x 当a > 1时，由x < 0，故0< a< 1，于是0<1,a< 1，y < 0(此时f ( x ) 的值域为 (,?，0); 同样可得，当0 < a < 1时，f ( x )的值域为(0，+?)( x(2)求f ( x )的反函数(过程略)，得当a > 1时 y = log (1,a)(x < 0)的a反函数为高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 xy = log (1,a)(x < 0); a xx当0 < a < 1时，y = log (1,a)(x > 0)的反函数为y = log (1,a)(x > 0)( aa , 1又函数 y = f ( x )与y = f( x )的图象关于直线y = x对称( (注意求反函数时，要对a > 1，0 < a < 1作出讨论(原因不在解析式方面，而在定义域方面() ,，(10)x?时，恒有| f ( x ) | > 2，即 1,，, | log (1 + x) | > 2对任意 x?1都成立，即 a log (1 + x) > 2 或 log (1 + x) <,2 对任意x?1成立， aa 即 log (1 + x)(x?1)最小值 > 2 或 log (1 + x)(x?1)最大值<,2， aa a，a，,10,,1,,即或 ,,log2,2log2,,2.aa,, 2解得或 ( 1,a,2,a,12 9(11)由已知 logb，2loga, 可得 ab2 22(logb),9(log)，4,0 ab 1解得或 logb = 4 ( logb,aa2 又 a > b > 1，故 logb < 1，因此应舍去logb = 4( aa 1122从而得，，a = b( logb,a,ba2 ,,,2b 2 bb? b = (b) = a ( ,,,,a2bab比较a与b的大小，即比较a与a的大小( ? a > 1，a > b，故,a<,b， ,,a b? a< a， ,,a 2b即 a< b( 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞测试题: 一、选择题(每小题7分) 1(设00，在下列四个不等式中，正确的是( ) αα (B) log(1+a)>0 ,(A) (1,a)>(1+a)(1a) 1a,1+(C) (1,a)>1 a(1,a),1(D) 22(设a?(0，1)，函数y=log(2+2 (x)的单调递增区间是( ) a (D) (,,,1]，,1，，, (B) ，,,，1,3，11，1，3(A) (C) 2,,，，fx,lg,13(函数的图象关于( ) ,,1，x,, (A) x轴对称 (B) y轴对称 (C) 原点对称 (D) 直线y=x对称 2,,,,y,logx，logx，54(函数在区间[2，4]上的最大值是( ) 12,,4,, 123 (D) (C) (B) 7 (A) 4 44 x5(已知C是函数f (x)=2的图象，C是g (x)=log2(x+1),1的图象，则( ) 12 (A) 把C1右移1个单位、下移1个单位，再绕直线y=x翻转180º，得C2 (B) 把C1左移1个单位、上移1个单位，再绕直线y=x翻转180º，得C2 (C) 把C1右移1个单位、上移1个单位，再绕直线y=x翻转180º，得C2 (D) 把C1左移1个单位、下移1个单位，再绕直线y=x翻转180º，得C2 二、填空题(每小题7分) x,,y,log,16(函数的反函数是________( ,,22,, 7(已知函数f (x)=log(2,ax)在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围a 是____________( 高三复习教案----指数函数、对数函数新疆奎屯市一中王新敞 x8(方程log(9,2)=3,x的解集是__________( 2 三、解答题(共44分) 11,,3f(x),，x9(已知函数 ,,x22,1,, (1) 求函数f (x)的定义域;(2) 讨论f (x)的奇偶性;(3) 求证:f (x)>0( x10(已知函数f (x)=log(a,1) (a>0且a?1)( a ,1(1) 求f (x)的定义域;(2) 讨论f (x)的单调性;(3) 解方程f (2x)=f(x)( 11(已知:x=loga，y=log2a( 2a3a 1,xyy,xy求证:( 2,3 测试题答案: 一、1(D 2(C 3(C 4(B 5(D x+1二、6(y=2+2 ; 7((1，2); 8({0，3}( 三、9((1) (,?，0)?(0，+?); (2) f (x)是偶函数; (3) 略( 10((1) a>1，(0，+?);01，增函数;当0

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