VaR模型中的分位点水平内生化－－基于分位点回归的新视角（可编辑）

VaR模型中的分位点水平内生化－－基于分位点回归的新视角（可编辑） VaR模型中的分位点水平内生化,,基于分位点回归的 新视角 华中科技大学 硕士学位论文 VaR模型中的分位点水平内生化--基于分位点回归的新视角 姓名:张格 申请学位级别:硕士 专业:数量经济学 指导教师:田新时 20041101摘 要 在现有的 VaR模型中,分位点水平的确定是基于 Basel委员会关于风险监管和 风险管理的要求而定的,是外生的。实际上,由于金融数据的分布特性,许多 VaR 模型参数的估计、模型的拟合优度和预测效果对分位点水平是非常敏感的,因此正 如很多研究所揭示的,模型在样本外和样本内的预测能力变化很大。Engle 与 Manganelli 1999提出的 CAViaR 模型是一个典型的例子。因此,本文建议依 VaR 据模型的内部因素考察分位点水平的选择,并提出两个统计量以选取昀优分位点水 平取值区间,从而将分位点水平内生化。 本文的主旨是衡量和改善模型预测能力的稳定性。当模型所考察的时间序列的 数据生成过程DGP不发生变化时,如果模型在样本外的预测结果落入给定假设范 围内,那么我们就认为模型的预测能力是稳定的。一方面,我们考虑违背序列的独 立同分布要求。基于后续检验的思想,本文拓展了 Engel和 Manganelli1999提出的 样本外 DQDynamic quantile统计量的应用,并通过一系列蒙特卡罗试验证实,很 多模型的 DQ统计量的取值对分位点水平的变化是非常敏感的。我们选出 DQ统计 量的显著的连续区域,称之为稳定域,并将稳定域视为 VaR模型的可行域。另一方 面,我们考察模型的预测精度, 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了衡量模型预测效果的间接拟合优度IAF统计 量,以及衡量预测能力变化的似然比统计量LR(基于昀小化的加权绝对离差平均 WAAE)。类似的,本文通过蒙特卡罗试验研究了这两个统计量的性质。利用这 三 个统计量可综合考察模型在所关心的置信区域上预测效果的变化规律,从而选取昀 优的分位点水平管理风险。 通过对上证指数和一些股票数据的 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 研究,本文证实了分位点水平内生化的 必要性和价值及本文提出的内生化方法的有效性,并为文献关于 VaR效果评价中的 常见悖论提供了有效的解释。 本文创新之处主要有二,第一,主张在 VaR模型中将分位点水平内生化,并从I 模型预测精度及预测能力稳定性的角度,模拟与经验分析并用,证实了该主张的价 值,初步建立一套分位点水平内生化的实现方法。研究的一个自然的推论是,由于 分位点所区间不同,不同的模型预测能力可能发生特定的变化。由此本文证实:利 用巴塞尔委员会在关于银行监管的文件1996建议使用的违背率指标比较模型的预 测效果可能会产生谬误(该谬误模式与模型和数据特性有关),且在 2%以下的显 著性水平取值区间,该指标一般是非常低效而有偏的。 第二,本文提出了间接拟合优度IAF指标,填补了分位点回归方法缺乏拟合 优 度指标的空白,但其合理性和有效性尚待进一步验证。 关键字:VaR 分位点水平内生化 分位点回归 间接拟合优度 似然比 动态 分位点 II Abstract In VaR modeling, the confidence level is set exogenously in requirement of Basel Committee’s regulation for risk monitoring and management. However, because of the non-normality distribution of the financial data, the coefficients estimate,the goodness of fit and the effectiveness of prediction of many VaR models are rather sensitive to the choice of confidence level per se. Thus, as many researches have shown, the out-of-sample prediction ability of the models varies dramatically from that of in-sampleThe CAViaR model, Conditional Autoregressive Value-at-Risk, introduced by Engle and Manganelli1999 is a typical example of the argument. Therefore, we propose to investigate the choice of confidence level basing on the inner factors of the models and consider setting the quantile level endogenously This paper aims to measure and improve VaR models’ stability of prediction. When modeling a time series whose data generating process DGP is coherent, we can say that the prediction ability of the model is stable if the out-of-sample prediction is within the given domain. On one hand, we consider the requirement that the hit series or departure-indicator series is i.i.d independent identical distribution. Basing on the idea of backtesting, we expanded the application of DQ dynamic quantile test proposed by Engle and Manganelli1999, and through a serial of Mont Carlo simulation we testified that many models’ DQ values are very flexible to confidence level. We pick out the stable regions where the values are consecutively significant. These regions are taken as DQ θ optimal for the model and the model can be regarded as effective if θ is chosen from them. One the other hand, to evaluate models’ prediction precision, we devise the indirect-adequacy-of-fit statistics IAF to measure their prediction efficiency and likelihood ratio test based on the minimized weighted-absolute-average-error WAAE to III evaluate the variation of prediction efficiency. Similarly, we used Mont Carlo simulation to test the properties of these two statistics. With above three statistics we can systematically survey the movement of the prediction efficiency in an interested domain of the confidence level so as to set an optimal one for risk management processEmpirical analysis on the returns of Shanghai Exchange Index and many stocks were also used to testify the effectiveness of the endogenous confidence level methods proposed in this paper and confirm its necessity in risk management practiceWhat’s new do we disclose in this paper? Firstly, exogenous confidence level in VaR model is proposed, and this proposal is supported by simulation and empirical analysis from the perspective of model’s prediction precision and stability of prediction ability, and a suit of endogenous confidence level method is preliminarily established. A natural inference of this research is, a corresponding variation is apt to occur to VaR model’s prediction ability in according to the domain of quantile selected. Accordingly, this paper testified that, to use the departure-indicator proposed by Basel Committee on banking supervision 1996 to compare VaR models’ prediction efficiency may incur fallacy whose mode is related to the property of given model and data, and that this departure-indicator is generally ineffective and biased when significance level is under 2% Secondly, we proposed the indirect-adequacy-of-fit statistics to fill the gap of goodness-of-fit in quantile regression, and its rationality and effectiveness is to be studied and testified further Keywords: VaR endogenous quantile level regression quantile indirect-adequacy-of-fitlikelihood ratiodynamic quantile IV 1 引 言 1.1 研究背景和目的 使用 VaR 模型管理风险时需要选取恰当的分位点水平 。一般而言,分位点水 平的选择依赖于 VaR验证的数据需要、内部风险资本需求、监管要求以及不同机构 间进行比较的需要。此外,模型采取的分布假设也制约着分位点水平的选择。不同 分位点水平适用于不同目的。许多文献建议:当考虑 VaR的有效性时,应选择较低 的分位点水平;而内部风险资本需求和外部监管要求则需要选择较高的分位点水 平;此外,出于统计和比较的目的需要选择中等或较高的分位点水平。总的来看, 常用的分位点水平的选择 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 常常是比较含糊的。实际应用过程中,风险管理机构 在比较模型的效果时通常只考虑少数几个显著性水平,如 0.1%、1%、5%、10% 和 25%,而不是系统的测量和评估模型在各种分位点水平下的管理效果。 直观上,这一做法并无不妥。由于 VaR被定义为组合损益分布的某个分位 点, 因此主流 VaR 模型的核心问题是尽可能准确地描述金融时间序列的波动性和组合 的价值变化,通过描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数,求得一定分位点 水平 1? θ 下的证券组合的价值改变不超过的某一临界值作为该组合的 VaR。假定某 事实上,我们昀初的用词是 显著性水平 θ 或置信水平1θ 。一些学者认为使用置信水平一词 明显具有主观色彩,容易引起误解,比如会联想到本文讨论的内生化可能指的是将个人对风险 的主观感受内生化。本文是想从 θ 对模型预测精度的影响的角度讨论 θ 的设定问题,因此文中 实际指的是分位点水平。在 VaR 模型中,虽然置信水平普遍被不加区别的用来指代主观的置信 水平选择和客观建模的分位点水平选择,但在建模时它通常被明确的作为技术参数使用,从而 很大程度上弱化了这种可根据语境区分的主观含义可能带来的误解。但为了明确起见,我们采 用分位点水平一词,尽管它远较置信水平一词生僻。本文在 3.2 节(分位点回归与间接拟合优 度)对分位点水平一词的含义作了更详细的解释。 1 组合的日回报分布的概率密度函数为 fR,则组合的 VaR 对应该分布的 θ 分位点, 即满足VaR θ f RdR 1 ? ?? 特别地,当组合回报服从正态分布时, VaR可表示为组合回报分布的标准差 σ 与分 p 位点水平 θ 对应的标准正态分位数 Ζ 及计算期限平方根 ?t 的乘积: 1θ VaR= Ζ σ ?t 2 1θ p 在这一体系下,不同分位点水平的 VaR满足比例关系,可方便转换;模型参数 的估计与 θ 无关。 θ 的选取只依赖上述模型外因素的考虑,从而是外生的。但本文 研究发现分位点水平的选择对模型的预测效果具有非常复杂的影响,因此必须系统 的考虑这样外生的给定 θ 是否恰当,以及对模型有何影响。很多文献间接的提及这 一思路,但目前尚无任何文献予以系统考察。本文结构如下:第一部分对 VaR 模型做了概述,简单介绍现有的风险度模型 (VaR)评估方法体系与分位点水平选取之间的关系,以及本文的研究思路。第 二 部分说明分位点水平选取内生化的必要性。第三部分讨论了分位点水平内生化的可 能途径,并提出动态分位点DQ统计量和基于分位点回归方法的间接拟合优度IAF 和似然比LR统计量,以及利用这些指标实现分位点水平内生化的一套方法。第四 部分具体描述了本文实证用到的八个 VaR模型的设定。第五部分对 DQ、LR 和 IAF 三个统计量做了蒙特卡罗模拟分析。第六部分基于利用 CAViaR 模型对上证指数做 了经验分析,实践了本文提出的分位点水平内生化的方法。第七部分结论。 1.2 文献综述 VaR是测量组合下尾风险的一项广受欢迎的技术。它是昀先被衍生品柜台交易广 泛接受的风险测量标准工具,人们用它来组合和测量各种相互分离的风险。此后, VaR变成了其他交易业务、金融机构、保险公司和企业现金流管理业务种的标准方法,2 成为测量、调整、控制市场风险中用的昀广的工具。 关于VaR的价值,Stambaugh1996归纳有四:1)提供了一个衡量风险的通用工 具;2)有助于实行有效而一致的内部风险管理、风险限额和评估;3)提供一个企 业范围的风险监管机制;4)使投资者易于进行风险评估。总之,作为风险的一个实 际度量,VaR使用一定量的货币简单的比较各种投资选择。企业的经理层可用它来度 量整体的和部门的内部风险,投资者则可将它视为总体风险的一个直观展示。 VaR在给定统计分位点水平将特定目标区的昀大损失数量化。当存在对极端的 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 RiskMetrics Hybrid Normal Distribution : OUT-OF-SAMPLE图 1:本模拟表明 RiskMetrics HND模型在 2%的显著水平上具有非常好的预测效果 低回报或负现金流的担心时,VaR 能在一定程度上精确地反映企业和个人的 风险容 忍度。VaR定义为期末组合回报损益分布的第 p个分位点。对某个较小的 p 值(比 如 1、5 或 10),可以认为 VaR 是组合的期望昀低回报。直观上, VaR 预测是历史 回报序列下尾某处的一条包络线,如图 1所示。 3 -VaR and Logarithm Return1.2.1 VaR 模型及方法一般分类 虽然VaR的基本概念非常简单,但实际应用有很大的复杂性。其中很重要的一点 是组合收益结构的非线性性引起的。由此涌现出大量各式各样的VaR模型。关于VaR 模型的区别及分类,Engle & Manganelli 1999及Manganelli & Engle2001 给出了一 个新的归纳: 尽管不同的 VaR 模型采用的建模方法不同,但大体上都遵循一个共同的一般 模式,归纳有三:a 将组合盯市;b 估计组合回报的分布;c 计算组合的 VaR 值。 各种VaR计算方法的主要差别在于第二点,也就是他们估计组合价值的潜在变 化的方法 (CAViaR 模型由于能够直接计算分布的分位点, 从而彻底的跳出 了分布问 题的樊笼)。由此可将VaR 模型分三大类: ? 参数模型 ? 非参数模型 ? 半参数模型 计算 VaR模型主要使用三种方法:均值方差方法、历史模拟合蒙特卡罗模拟。 对于包含高度非线性收益资产(比如期权头寸)的投资组合,VaR不能直接从风 险因子的分布中求出来,而应先将风险因子的分布转换为组合的损益分布,然后由 此损益分布计算VaR值。 诸如 ?-正态的参数模型将风险因子分布的均值和标准差等统计量作为模型的 参数。利用这些参数和头寸的 ?值,VaR可由风险因子的分布直接计算出来。换句话 说,在将风险因子的分布转换为损益分布的过程中,利用了头寸的 ?值来做近似。 非参数模型包括模拟方法和历史方法模型。模拟方法又分全值模拟合局部模拟。全 值模拟方法先产生风险因子的一些情景(scenario),然后在每个情景下对组合进行 完全的重新估值,以此求得组合的损益分布。局部估值方法也利用模拟产生 风险因 子的分布,但并不对组合进行完全重估,而是利用 ?近似或?Γ近似来计算组 合价 值。 4 半参数模型包括如极值理论模型、CAViaR模型和拟极大似然GARCH模型 QML-GARCH,它对损益的分布不作假定。这类模型属于简约化模型reduced model,目前多数尚处于研究阶段。很多新兴模型都是简约化的半参数模型。 图2是对各种传统VaR方法的一个概览。 计算 VaR 的方法 参数方法 非参数方 半参数方 法 法 资产正态 模拟的近似 ?正态 Γ Va 模拟和完 参数估计 VaR 线性 方法部分 头寸 VaR R 全定价 蒙特卡洛模 拟 蒙特卡洛 历史数据 压力试验 ?近似 Γ近 VaR 模拟 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 似 图 2:VaR模型及方法 1.2.2 VaR 模型评估及分位点内生化问题 据统计,1998年以来,关于VaR的文献汗牛充栋,无有出其右者;模型效果的评 估新方法也层出不穷,渐成体系。这些评估方法大体分为两大类,其一为后续检验, 其二为压力测试。 Kupiec 1995, Lopez 1996,1998,1999, Christoffersen 1998 等人的 研究是这个体系奠基之作。Christoffersen, Hahn & Inoue2001以及Marcus Haas2001 则对传统方法的做了有效改进。 一般而言,评估VaR模型及相关的密度估计准确度的研究都是对一个确定的大样 本作后续检验backtesting,要么检验VaR的预测,要么检验整个分布的估计,前者 称为纯性检验purity test,后者称为功效检验power test。纯性检验将每一个观测损 益转换为一个二值变量,它仅仅标注损益是否为VaR预测所覆盖。若覆盖恰当,则将 观测损益转换为一个已知分布的随机变量,然后检验整个分布(即功效检验)将更 为有效;但这也会探测到与VaR或其他与风险测量无关的偏误。由于功效检验针对系5 统因素导致的偏误,而纯性检验针对与VaR估计无关的非系统因素导致的偏误,因此 J. H. Sullivan, R. Brooks与Z. G. Stoumbos建议在功效检验和纯性检验间折衷,并提出 一套实时评估工具,其中的时间窗还可随数据作适应性变化。这一方法对本文的问 题而言有重要的参考价值。 如上所述,金融组合风险测控的多数现代方法都是直接或间接的基于概率密度 预测,因此评估密度预测质量的工具就显得至关重要。通过蒙特卡罗模拟合实证的 例子, Gabriela de Raaij & Burkhard Raunig2002讨论了风险管理中似然比方法在探测 错误密度预测时失效的三种情形。当然,由于本文第3部分所提出的似然比方法是基 于半参数模型而不是概率密度预测,因此无法直接利用他们的现成结论予以修正。 Jeremy Berkowitz & James O’Brien2001通过检验VaR预测的统计精度评估了一 些大型的银行控股公司交易风险模型的表现。据他们称,这是文献中第一篇详细分 析实际应用中的模型表现的文章。 但是,所有的文献都无一例外的一贯将 θ 作为常数处理,从而忽视了分位点水 [1] 平的选取可能带来的系统性影响。常常有文献 报告说,模型在 1%和 10%的显著 [2] 性水平的预测效果比 5%时要好,而这明显与常理 相悖。对此一般的解释是样本 太少或评价指标(如违背率)不精确所致,但没有文献专门讨论这一问题,而它的 普遍性带给我的却是长期的困惑。 直到我看到 Engel 和 Manganelli1999提出 CAViaR 模型后,我发现了这一问 题的潜在严重性以及一个解决该问题的视角。非常明显的,他们提出的第一个 CAViaR模型(adaptive model,请参看本文第 4部分)中含有 θ ,从而有可能将其 作为变量处理,即分位点水平内生化。然而,虽然他们的模拟合实证检验也出现上 述悖论,但是他们自始至终遵循惯例作解释,没有怀疑 θ 的选取带来这种问题的可 能性。他们没有将 θ 变量化的原因可能大致有两点。第一,在风险管理的实际操作 中, θ 是外生给定的,应当是模型适应所要求的分位点水平而不是分位点 水平适应 模型,这个原因是共同的。第二,视 θ 为变量则模型太过复杂,带来统计推断的困 难以及计算量的急剧增加。而且由于原始的 CAViaR 模型的一组参数只能用来估计6 一个分位点水平下的 VaR 值,当估计另外一个分位点水平下的 VaR 值时就需要重 新估计参数,这显然是非常不方便的,必将极大的限制该模型的应用。为此, Manganelli和 Engle2001将极值理论引入 CAViaR模型以避开参数重估问题。他们 的方法是,首先,拟合 CAViaR 模型以得到 q 分位点的估计。显著水平 θ 应足够大 t, θ (比如,在 5%和 10%之间取值)以使估计结果有意义。然后,基于极值理论估计 该分位点的左尾分布。昀后,用 + 1z p 作为分位点水平 p时的 VaR估计, tp,,t θ q tp , 其中 z?1为标准化残差的 1p分位点。假定 z 为标准化参差的 1p分位 p p q t, θ 点的极值理论估计量EVT(注意若 p θ,那么 z 0)。由此看来,文中所提到的 p “足够大的 θ”是非常关键的。但仅仅 θ 足够大就可以保证模型具有良好的预测效果 吗?显然未必,如果 5%不够大的话,有什么理由认为 10%就足够大了呢。事实上, 这一方法使得 θ 的选取显得更为关键了。如果 θ 落入上述“悖论区间”,那么问题就 会变得更为严重,因为极值 CAViaR 模型在 θ 以外区域的估计精度非常依赖于 θ 的 选取。 幸运的是,Engel 和 Manganelli1999应用的基本方法之一??分位点回归方法 为此问题的研究提供了一个全新的视角。从分位点回归的角度看,任何一个 VaR模 型都是对损益分布在分位点之间的一种分划,不同模型的分划不同。而后续检验则 [3] 是验证该分划是否满足一些基本的及特定的要求,比如准确性和完备性 (是否能 [4] 准确给出该分位点的值,或任一给定值在哪一分位点水平)、一致性或保序性 (不 同分位点值不相同,同一值不在不同分位点上)、稳定性(在时间上满足结构不变 [5] 性 )。有了分位点回归的视角,前人的许多检验方法都有了新的用武之地,但同 时又必须作相当大的修改,以适应这一新的框架。从这一视角出发,我认为,在一 定标准下,对任意一组观测数据的分位点结构,理论上可存在多种合理的分划。因 此这一理论支持了 VaR模型的多样性。 自 Koenker 和 Bassett 1978提出的分位点回归模型以后,该方法受到了广泛 的关注。Powell1986将基本的线性模型扩展为截取回归分位点模型censored 7 regression quantile model。之后 Newey & Powell1990对分位点回归模型的目标函 数予以修改(通过加权使误差项的相应分位点为 0),从而取得有效估计。非线性 情形中,对该方法在时序分析上做出昀重要贡献的当数 White1991,1994 p.75。在 独立同分布情形i.i.d及平稳混合或遍历情形两种情形下,White 都对非线性分位点 回归的一致性给出了证明。而 Weiss1991则证明了非线性动态模型参数估计的一致 性、渐进正态性、以及非线性动态 LAD估计量的 LM检验与 Wald检验等价。 其后十余年中,分位点回归方法被广泛用于应用经济学中,如工资结构调查 Buchinsky & Leslie 1997,收入转移Eide & Showalter 1999; Buchinsky & Hunt 1996, 教育层次Eide & Showalter 1998问题。金融领域的应用包括本文视为研究起点的 Engle & Manganelli1999 的CAViaR模型以及 Morillo 2000的期权定价研究。此外, Michelle L. Barnes & Anthony W. Hughes2002用该方法对股市回报的横截面数据做 了精彩的研究,解释了CAPM模型应用中很多一直困扰人们的问题,其研究方法给我 以很大的启发。 1.3 研究思路和方法 本文基于后续检验的思想,利用分位点回归方法构造了几种统计(' 、DQ θ θ 和 IAF),通过对八个 VaR 模型进行蒙特卡罗模拟合经验分析,证实了本文 所提出 了分位点水平内生化的必要性,并给出了一套实现方案。 本文利用 Matlab6.5对所有的模型进行编程实现,并引入遗传算法程序 GAOT5 对其中的参数估计进行优化。间接拟合优度的估计是在 Eview4.0实现的。分位点回 归分析的平台是 BLOSSOM。8 2 分位点水平内生化的必要性 本文认为,至少从模型预测效果的角度看,将 θ 内生化是非常必要的,这是因 为: 第一,一类新兴的模型如 CAViaR 的参数估计则与 θ 的取值密切相关。我们的 经验研究表明,这些模型的参数估计值通常不是 θ 的单调函数,且对 θ 的变化非常 敏感。当模型参数较多时,常用的单参数检验如 t 检验又有很大的局限,且在 θ 的 很多取值区间参数估计值甚至不显著。模型参数估计对 θ 的敏感性直接导致了我们 对模型拟合效果及模型预测能力稳定性的怀疑。因此有必要研究相应的检验方法, 并利用这些方法选取适当的 θ 值,以使模型具有更稳定的预测能力,从而提高风险 管理的系统确定性。 一个常识是,较低的显著性水平下模型的预测能力一般较差,且可能极不稳定。 但这个非稳定区的界限一般而言是不明确的。 Manganelli 和 Engle2001研究了 CAViaR 模型在给定的某个较好的分位点水平 下如何计算邻域内 VaR 的计算,而本文研究了如何确定 VaR 分位点水平的昀优区 间的问题,因此本文的研究也是对他们的成果一个自然的支持和补充。 第二,对任何VaR模型而言,人为的选取少数几个固定分位点时,建模和评估都 可能产生系统性风险。许多的研究都表明,对同一资产组合,在前述几个分位点水 平下,不同的VaR模型不仅预测效果差别很大,而且VaR的估计也常常是天渊之别。 Tanya Styblo Beder女士1995年在投资管理协会的公开出版物《金融分析师杂志》 上发表了一篇后来被广为引用的文章:VaR: Seductive but Dangerous。其基本结论可 归纳如下:1)对VaR的计算,所选的方法不同,结果可能存在极大的差异。2)风险 管理的结果可能带给管理层以错误的安全性认识。3)很多风险是VaR分析所 无法捕 捉到的,如政治风险、流动性风险、部门风险Personnel risk、规制风险Regulatory risk 等。4)VaR模型必须配以检查和平衡、程序、政策、控制、限定以及随机审核方可9 使用。5)标准化的VaR方法得到的结果可能更容易理解,但也容易压抑更好的风险 管理技术的发展。 [6] 文中还报告了用八种常用的 VaR 模型 对三种假想的投资组合的计算,结果显 示,这些模型之间的差别非常大,对同一组合的回报,不同模型的 VaR的估计值的 差别高达 14 倍之多。这一研究引起了学界的广泛关注。这也说明,对不同的 VaR 模型甚至同一 VaR模型用于不同性质的组合时,都应充分考察其适用的分位点水平 的取值区间,否则模型间效果的比较可能是“不公平”的,而预测效果也可能是非常 不令人满意的。如果只在常用的分位点水平下比较模型,则极有可能导致有偏误的 或自相矛盾的结论。事实上,许多文献都报告了这一现象。本文通过蒙特卡罗模拟 及实证,对这一现象的普遍性进一步予以证实,并试图将其深层原因归结为模型描 述的分布的分位点结构非稳定性。 第三,实际应用中,当待估参数与 θ 相关时,由于重估参数可能是非常繁复的, 因而风险管理的分位点水平不宜经常变化,谨慎选取 θ 也是非常必要的。 总之,我们建议对不同的具体组合和不同模型都应当系统考察其在一个较大置 信区间内的效果,并依据模型的目的选取适当的应用范围。10 3 分位点水平内生化的途径 为了准确理解 VaR 估计结果的有效性并改进 VaR 模型,我们需要对 VaR 模型 进行准确性和测量精度进行检验和评估,考察 VaR模型的预测结果对实际损失的覆 盖能力。准确性检验也称为后验测试backtesting。常用的 VaR 模型的准确性检验 方法包括失败检验法、区间预测法、分布预测法、超额损失大小检验法、方差检验 法、概率预测法和风险轨迹检验法等。这些方法基于 θ 不变的情形考察预测结果和 实际损益情况间的关系。稍作修改,部分方法可以方便的用来比较同一个模型在不 同分位点水平下预测能力的稳定性,如失败检验法、方差检验法、超额损失大小检 验法等。但它们多数需要对分布做出假定或不够灵敏,因而不具备普适性。 我们发现 Engle与 Manganelli1999提出的样本外out-of-sampleDQ统计量不仅 适用于给定分位点水平下模型效果的后续检验,而且广泛适用于各种模型方法的计 算结果之检验,并能灵敏的捕捉不同分位点水平下模型预测效果的优劣变化。此外, 基于分位点回归方法,本文也提出了加权昀小离差和的似然比统计量。计算时密集 I 地等分所关心的分位点水平的取值区间 ?,得到 θ 序列,然后求出该序列对应 i i 1 的统计量序列,绘制成分位图。利用 DQ统计量可选取昀优的分位点水平取值区域, 而利用我们提出的似然比方法在这些区域中选取分位点水平的昀优值 。 3.1 模型预测过程的有效性:动态分位点DQ 检验法 T T 后续检验考察回报序列 y 与 VaR 模型拟合和预测的 VaR 序列之间的 t t t 1 t 1 某种关系。对任一分位点水平,若参数估计准确,则正确设定的 VaR 模型必满足 T Pry ?VaR θ 。这相当于要求示性函数序列Iy ?VaR 独立同分布。Engle 与 t t t t t 1 Manganelli1999提出如下检验方法: 定义 Hit Iy ?VaR - θ ,及向量 Ηit [Hit ,„,Hit ]’。又定义 t t t p+1 T11 X [1,Hit ,„,Hit ,VaR ]为一个T?p?1行p+2列矩阵 X的第 t 行,p为某整数, t+p t t+p+1 t 且 1 ? tT?p。1 ? tT?p。这样示性函数独立同分布就等价于如下零假设:H : X ' Hit0 3 0 即要求 Hit 序列无自相关,且与当前信息集此处用 VaR 序列表示无关(注意正交 性并不能穷尽独立性的全部含义)。从技术上说,它是关于 X和 Ηit的 Grange 因果 检验,即 X 是否构成 Ηit 的 Grange 原因(要看清这一点,只需将3式写成 Hit b +b Hit ++b Hit +b VaR +„+b VaR ,并检验系数是否都为零即可; t 0 1 t-1 p t-p p+1 t p+n t+n-1 系数为零即相当于3式的正交性)。若 E X'X 非奇异,则可得到如下样本外动态 分位点统计量: -1asy HitXX'X X'Hit 2 DQ ?χ 4 θ p +2 θθ 1 该统计量的设计原理是利用了 VaR模型所应满足的一个重要特征,即将一个可能严 重序列相关的异方差的时间序列转化为一个序列无关的违背示性函数序列。否则, 如果违背事件呈现聚类性clustering and aggregation(例如图 3情形),则采取该模 型管理风险的机构可能因遭受接踵而来的打击风暴而破产。DQ 值越大,则显示该 θ 示性函数序列的相关性越强。 因此 DQ 值可用来衡量模型在不同分位点水平下预 θ 测的有效性。很自然的,我们应将模型建立在使 DQ 值较小的 θ 取值区域上。相应 θ 地,如果求 DQ 的概率值P 值,则我们应找出那些 DQ 的 P 值较大的区域。若将 θ θ DQ 的 P值连续超过 0.8这个取值只是经验性的的区域称为稳定域,则可以认为, θ θ 在这些区域内取值时,模型较为有效,即模型所适用的分位点水平的取值区域。 由于该方法能处理回报序列的异方差性和自相关性,并且不需要假定回报的分布, 因此该方法具有一定的普适性。但它只考虑违背示性函数序列的自相关性,不关心 模型的预测精度,因此应当结合其他方法使用。此外该方法对滞后期数的选取极为 敏感,而滞后期数的选取本身就存在相当大的争议,因此应用此方法需相当谨慎才12 是!为此,本文提出了衡量模型预测精度的间接拟合优度指标和衡量预测能力稳定 性的似然比方法。 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 发生时点图 3:用历史模拟法处理一个 GARCH-td模拟的回报序列,得到欧洲某银行的 1%的 VaR 违背序列,显示出强烈的聚类性。损失额用回报的标准离差表示。 3.2 分位点回归与间接拟合优度 由Koenker 和 Bassett 1978提出的分位点回归模型将求条件均值的普通昀小二 乘估计扩展到求一组不同的条件分位点函数模型。如在中位点(或均值)回归估计 中,是使对称加权绝对离差和WSAE昀小化(权重设为 0.5)来估计条件中位点(或 均值)函数。在其它分位点处做回归与此类似,即通过对绝对离差的非对称加权和 求昀小化可估计条件分位点函数,其中的权重是模型所关注的分位点的函数(如图 5 所示)。换句话说,回归模型研究因变量的均值如何随着解释变量的变化而变化;13 超额 损失而分位点回归模型研究的是因变量的某个分位点如何随着解释变量的变化而变化 (如图 4所示),因此它是一个层次更为丰富的数据回归方法。 Koenker和 Bassett1978a,b的这一开创性的工作使得分位点回归成为实证经济分析的一个标准 工具,特别是在劳动经济学和公共经济学中广为使用。 Quantile Regression 8 7 6 5 4 y 3 2 1 0 -1 -2 -1 0 1 2 3 4 x图4:均值回归与 θ 0.80的分位点回归曲线 除了有条件分位点约束的情形之外,分位点回归并不要求设定误差项的分布形 式,因此它被认为是一种半参数模型。由于它对误差项分布的错误设定具有稳健性, 因此对估计外层数据 outliers的影响更为稳健。OLS等估计方法只能得到一条位于 因变量的均值部位的拟合曲线,而分位点回归方法可获得任意分位点处的拟合曲线, 由此得到的多条分位点拟合曲线一起构成了对变量的条件分布的一种更为完整的描 述。 3.2.1 线性分位点回归模型及参数检验 根据 Buchinsky1998描述,线性分位点回归模型的一般表示如下 14 yx β +u ,5 ′ ii θ θi 或者是 x ′ β i θθ f sx ds,6 yi ? ?? th k ×1 k ×1 其中 β 是与 θ 分位点有关的未知的 回归参数向量,x 为 自变量向量,y 为 θ i i 模型关注的因变量, u 为未知的误差项。给定 x时 y的条件分位点为 θi quant yx x β7 ′ θ ii i θ 其估计值为 x ′ β 。当 θ 连续递增时,给定 x时 y的条件分布就会被 遍历到。尽管 i θ 许多实证研究常假定误差项独立同分布i.i.d.,但u 的必要假定只需下式 就够了: θi quant ux 0, θ ?0,1 8 θθii th 也就是说,只需误差项的 θ 分位点等于零。这样,分位点回归估计值可通过求解下述昀优化问题得到:? ′′ β?θβ yx+ 1?θ yx?β , 9 argminθ ?? ii i i iy:: x′′ ββ i y x β ii i i 也就是通过昀小化加权离差和 WSAE 求解参数。其中的权重在中位数回归情形下 θ ( θ 0.5)是对称的,其它地方则是非对称的。图 5给出了一个直观的说明。 昀小化过程可转化为线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 问题或 GMM问题实现。前者直接做计算,后者 则暗示: d TN ββ?? 0, , 10 θθ θ 其中T 为样本总数。由此我们可设立经正态调整的临界值做检验。 β 对 θ 的曲线 θ x 图称为分位图。如果图形显示出显著的变异,则说明 对 y影响随 θ 的变化发生了 条件性改变。注意,分位点估计量的构造利用了全部观测数据。由于不存在因变量15 的数据分割问题,因此避免了数据选择偏误。对的估计有几种方法,实践中昀 θ 通用的一种由 Buchinsky1995提出的,它基于所谓的引导矩阵捆靴抽样法the design matrix bootstrap。由于在小样本情况下该方法更为有效且在回归子和回归误 差相关时依然稳健,因此昀受欢迎: B BS BS BS ′ T ? β ?ββ ?β 11 θ ? θθ θθ B j 1 BS 其中 β 是基于第 j个自助样本的分位点回归估计量, j 1, , B。自助样本 θ 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 x图 5:对所关注的分位点两侧的观测值赋予不同的权重以瑞利分布为例作 图 BS BS ′ ′ yx , 是通过从原始样本 yx , 中抽样得来的。这个过程可通过 Stata软件 很 ii ii 方便的实现。 为了构造联合检验,包括 m个分位点间, θ , θ 的跨分位点约束检验 tests of 1 m interquantile restrictions。我们将所关心的假设定义为 16 fxHR:* β r 0 vs 12 HR:* β ?r 1 其中 β* ββ ,, ,,β ,,β ′, R为qk × m矩阵, r是一个 q ×1向 量, 1,θθkk , 1,θ ,θ 11 mm 它刻画了所关心的约束。 q是零假设中所施约束的个数。 Buchinsky1998 阐述的 F统 计量为 ′′ *RrββR ?RRr* F , 13 q在假设 H 下渐进服从Fq ,Tk 1。此时, 是 β *的方差-协方差矩阵的估 ? 0 计值,再次说明,它可以用引导矩阵捆靴抽样法得到。 3.2.2 加权绝对离差平均WAAE 分析 θ 一个半参数的分位点回归模型可写成如下一般形式: VaR g, y θ,x, β, θtt ?1 14 yV ?aR + εttθθt 其中 y 为回报序列, θ 为分位数, x为其他对 var 有解释能力的因素向量(注意, t ?1 θt 这里VaR 并不是只能单纯的指代风险度,事实上,它的一般含义就是我们要通过回 θt 归得到的 y 的 θ 分位点,由于10式并未具体设定gy, θ,x, β的形式,比如线性和 t t ?1 非线性等,因此它的确是分位点回归模型的一个更为一般的形式), β为待估参数。 为了方便分析加权绝对离差平均WAAE 的性质,我们假定误差项服从正态分 θ 布,这样就将10式由一个半参数模型变为了一个参数模型了(显然,在应用中这是 完全不必要的,因为分位点回归方法最根本的优势之一在于其稳健性不依赖于误差 项的分布假定。该假定只是为了方便我们展示WAAE 分析的直觉)。在正态情形下, θ17 若fs, x β是 ε 的条件分布密度函数,前已述及, ε 须满足 ε θt θt 0 2 θ fs, x βds,εσ ~Nu, 15 εθt ? ?? θ 如图6所示,密度函数在0左边的所围部分的面积为 。或者 quant, ε x β 0, θ ?0,1 16 θθt th 即 ε 的 θ 分位点为零。若不如此,我们可通过调整其位置使得此条件得 以满足。此 θt ?1 ?1 时容易求得u ?Φ θ σ ,其中 Φ 为正态分布概率分布函数的反函数。 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -2 -1 0 1 2 3 4图6:将残差序列