2007级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案
一． 求下列极限（每小题5分，共20分）
1．
其中，
二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）
1．
，求
解：
2．设函数
由方程
确定，求
解：方程两边同时关于
求导，得：
------（1）
又当
时，代入原隐函数方程易得
，将
代入（1）:
3．设
求
解：两边取对数，得：
。
上式两边同时关于
求导，得：
故
把
代入上式得:
4．设
其中
具有二阶导数，且
求
解：（一）
（二）
三．求下列积分（每小题6分，共30分）
3.
4．
四．求解下列各题（每小题10分，共20分）
1。设
，讨论
在
出的连续性与可导性。
解： （一）连续性
因为
所以
在
处连续。
（二）可导性
因为
，所以，
在
处可导。
2．试求幂级数
的收敛区间（包括端点处的敛散性），并求它的和函数。
解： （一）记
因为
所以收敛半径为
又
当
时，级数即为
条件收敛；
当
时，级数即为
发散，故级数的收敛区间是
（二）设
，
（1）
则
（2）
其中
（3）
由于
所以，
，
故
注意：也可以这样求
直接利用展式
，得
五．应用与证明题 （每小题10分，共20分）
1。设抛物线
通过原点，且当
时，
。如果它与
轴，直线
所围成图形的面积为
，试确定
，使这个图形绕
轴旋转所生成的立体体积最小。
解：（一）因为抛物线
通过原点，故
（1）
又
，
所以
（2）
（二）设
令
得
故
因此，当
时，可使图形绕
轴旋转所生成的立体体积最小。
注意：还须验证当
时，抛物线
满足条件当
时，
。
2。证明：当
时，
证明：令
则
故当
时，
在
上单增，
故当
时，
因此
在
上单增，故当
时，
即
当
时，
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