2-1切线斜率

2-1切线斜率 ※※微分上課講義 ※※2-1切線斜率※※ 姓名, 學號, y 如右圖,若我們在之曲線上任取二點,及 y,f(x)(x,f(x))f(x+h) f(x) P 所連結割線之斜率為, (x，h,f(x，h)) f(x，h),f(x)f(x，h),f(x)x m,,若時,割線與 h,0x x+h (x，h),xh 之圖形將只交於一點P,這點即為切點。因此在給定 y,f(x) fx,fc()(),上之一點,其切線斜率為fc,。 y,f(x)(c,f(c))()limx,cx,c 2例一,在上任取一點,求過之切線斜率為何,並利用此結果求過之切線(2,4)(2,4)(2,4)y,x 方程式, 11例二,求過上一點之切線方程式, y,(2,)2x ※ ※2-2導函數的定義※※ fxhfx(，),(),,f 函數之導函數記做,定義為,若極限值存在,則稱為fff(x),limh,0h fx,fa()(),fa,可微分。如果將定義稍做改變,即可得到另一個等值之結果,。 ()limx,ax,a d, 函數f(x)之導函數符號 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法有及Dy等三種。 f(x),yxdx 2-1 ※※微分上課講義 d1d2例一,用導函數之定義求右列各題, xdxdxx d3隨堂練習,用導函數之定義求 xdx ※ ※2-3基本微分公式※※ 定理,,微分之四則公式, ,,, 1. (f(x),g(x)),f(x),g(x) ,, 2. (cf(x)，b),cf(x) ,,, 3. (f(x),g(x)),f(x),g(x)，f(x),g(x) ,,f(x)f(x)g(x),f(x)g(x), 4. (),,g(x),02g(x)g(x) 證明, 2-2 ※※微分上課講義 d,,,推論, [f(x)，f(x)，,,,,,，f(x)],f(x)，f(x)，,,,,,，f(x)12n12ndx d,,, [f(x)f(x),,,f(x)],f(x)f(x),,f(x)，f(x)f(x),,f(x)，,,,，f(x)f(x),,f(x)12n12n12n12ndx dnn,1 定理,為實數。,若函數為常數函數,則其導函數為0, x,nx,ndx d112nn,n,n,推論, (ax，ax，,,,，ax，a),nax，(n,1)ax，,,,，a11011nn,nn,dx 例一,求下列各函數的導函數, 133 y,xy,y,x3x 32,例二,若,求, y,y,5x,3x，2x,41 2xx，1,,y,y,例三,若,求,,求, y,y,3x，1x 2-3 ※※微分上課講義 23,例四,若,求, y,y,(3x，1)(5x,1) 232(x1)(x1)，，1x，x，1隨堂練習,求右列各函數的導函數, y y,,y,25x(x，1)x ※ ※2-4鏈鎖律※※ 22 如果我們要求之導函數,或許可將它展開,利用上節之定理求解,但若y,(x，3x，1) 250是,這樣做就不勝其擾,因此我們必需尋找一些簡便方法,鏈鎖律,Chain y,(x，3x，1) Rule,即為我們提供了好方法。 d,, 定理,,1,為可微分函數,。 f,gf(g(x)),f(g(x))g(x)dx ddpp,1 ,2,為一可微分函數,為任一實數則 f(x)p(f(x)),p(f(x))f(x)dxdx 25,例一,若,求 y,?y,(x，1) 2-4 ※※微分上課講義 1,例二,若,求 y,y,?32x，1 2x,y,例三,若,求 y,?3x，1 223,例四,若,求 y,(x，x，1)y,? ,例五,若,求 y,?y,x，x 隨堂練習,試微分下列各題, 24x,23723035f(x), f(x),(1，x)f(x),1，xf(x),1，x3x，4 2-5 ※※微分上課講義 ※ ※2-5三角函數微分法※※ 2-5-1 三角函數之極限與夾擠定理 要導出三角函數之導函數公式,必須用到三個極限定理, 定理,1. 2. limsin,,sin,limcos,,cos,00,,,,,,00 例一,求 limsin,,?limcos2,,?limtan4,,?,,,,,,,,,646 茲將一些特別角之正弦、餘弦值列於下表以供參考 角度 000000 30 45 60 90 三角函數 110324 sin, ,0,,1222222 2-6 ※※微分上課講義 113042 cos, ,,1,0222222 定理,3.在某個區間中,若,且則,If(x),g(x),h(x)limf(x),limh(x),llimg(x),lx,ax,ax,a其中。此即有名的夾擠定理,又稱為三明治定理。 a,I 22例二,在[-2,2]中,滿足,求 f(x)1，x,f(x),1,xlimf(x),?x,0 11例三,求【提示,】 xlimsin,?,x,xsin,xx,0xx 2-5-2 三角函數微分公式 ,sin預備定理, lim,1,,0, 證明,以為圓心作一單位圓,為圓上之一弧,為半徑,,, OBCOCOC,1則有之面積= ,ABC 扇形之面積= OBC 之面積= ,OCD ,11但之面積,扇形之面積,之面積即 tan,,,cos,sin,,OCDOBC,ABC222 ,,1sin11,,,？,,cos,cos,,,又,由夾擠定理知limcos,lim,1,,0,,0cos,sin,,cos,,cos 2-7 ※※微分上課講義 ,sin lim,1,,0, ,1,cos預備定理, lim,0,,0, 22,,,,,,1cos1cos1cossin1sin,,，limlimlimlim證明, ,,,,,,,2,,,,,,,,0000,,1cos,,1cos,1cos,，，,， 有了上述預備定理,我們可導出下列有關三角函數之微分公式。 ddd2 定理,1. 2. 3. sinx,cosxcosx,,sinxtanx,secxdxdxdx ddd2 4. 5. 6. cotx,,cscxsecx,secxtanxcscx,,cscxcotxdxdxdx dxhxxxx，,，,sin()sinsincoshcossinhsinx證明,1. ,,,sinlimlimh,0h,0dxhh 註,和角公式, sin(,，,),sin,cos,，cos,sin, 推論,,為之可微分函數, ux dddddd21. 2. 3. sinu,cosu,ucosu,,sinu,utanu,secu,udxdxdxdxdxdx ddd2222例一,求,1, ,2, ,3, cosxcosx(cosx)dxdxdx d2例二,求 tan(x，1),?dx 2-8 ※※微分上課講義 d3例三,求 xsinx,?dx dd32隨堂練習,求,1, ,2, cos(x，3x,1),?sec3x，1,?dxdx ※ ※2-6指數、對數函數微分法※※ 2-6-1 是什麼 e 為了探討對數函數的導函數,我們先求它在處的導數來看看,由定義f(x),logxx,1a 1log(1，h),log1f(1，h),f(1)1aah,知, f(1),lim,lim,lim[,log(1，h)],lim[log(1，h)]aa,,,,h0h0h0h0hhh 1 h 欲知上式的極限值,需先討論極限是否存在。 lim(1，h),h0 1 h讓我們列出某些值所對應的值來觀察, (1，h)h ,1, 當且時,如下表, h,0h,0 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 ….. h 12.7048138 2.7169239 2.7181459 2.7182682 2.7182804 ….. h (1，h) 2-9 ※※微分上課講義 1 h 由上表可看出,當從0的右側趨近於0時,的值愈來愈大且趨近於2.7182….,(1，h)h 1 h即。 lim(1，h),2.71828....，h,0 , 當且時,如下表, ,2h,0h,0 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 ….. h 12.7319990 2.7196422 2.7184177 2.7182954 2.7182831 ….. h (1，h) 1 h 由上表可看出,當從0的左側趨近於0時,的值愈來愈小且趨近於2.7182….,(1，h)h 1h即。 lim(1，h),2.71828....,h,0 1 h 由,1,,,2,兩點結論可知,當趨近於0時,趨近於近似值2.71828….。 (1，h)h 1h定義,,且稱 為尤拉數,Euler number, ee,lim(1，h),2.71828.....h,0 1 h例一,已知,求下列極限值, e,lim(1，h),h0 11ntlim(1，) lim(1，2t),,,nt0n 0a，baba,bab的性質,由之定義我們可得 指數eee,1e,e,ee,e/e mnmn (e),e 2-6-2 自然對數函數 自然對數函數,是以為底的對數函數,通常以表之,其中,亦即,,logx,lnxelnxx,0e由對數函數的性質,可得 只當時有意義, , , lnxx,0ln1,0lne,1 2-10 ※※微分上課講義 xrlnx, , , lnx，lny,lnxy,x,0,y,0lnx,lny,lnlnx,rlnxe,xy2x3例二,若,試求 3,ex,? 2-6-3 自然對數函數之微分公式 首先我們可以導出對數函數的導函數,由定義 f(x),logxa xh，log()axhxlog(，),logfxhfxh(，),()1xaa, fx(),lim,lim,lim,lim,log(1，)a,0,0,0,0hhhhhhhhx x1xh1hhlimlog(1)limlog(1) ,,,，,,，aa,0,0hhxhxxx 1ht 在上式中,令t,,則當時,就有,而前面已導出,所以 h,0t,0lim(1，t),e,0tx x1d11h11ht,即 f(x),limlog(1，),limlog(1，t),logelogx,logeaaaaa,,ht00xxxxdxx dd111xelnx, 推論,,, ？log,log,eedxxdxxx d1,lnf(x),,f(x)又由鏈鎖律可得 dxf(x) ddlnx3例三,求 (lnx),?,?dxxdx 2,例四,若,求y,? y,ln(x，1) 2-11 ※※微分上課講義 2,例五,若,求 y,log(1，x)y,?3 2,隨堂練習,若,求 y,?y,xln(x，1) x2-6-4 之微分公式 e dxx 定理, e,edx x證明,,兩邊同時取自然對數,則,再將等號兩邊同時對微分,lny,xy,ex dyddxxdx ,即 ,1,？y,ye,edxydx du(x)u(x), 推論,,利用鏈鎖律, e,e,u(x)dx dx例六,求 ln(1，e),?dx 2-12 ※※微分上課講義 2-6-5 自然對數函數之應用 應用一,連乘除式之導函數 23(x，1)(x,x，1),例七,若,求 y,y,?422(x，x，1) 23(x，1)(x,x，1)解, lny,ln422(x，x，1) dx例八,求 ,?2dxx，1 應用二,指數部分為之函數的導函數 x 2dx例九,求 10,?dx dx例十,求 x,?dx ※ ※2-7高階導函數※※ ,, 為一可微分函數,則我們可求出其導函數,若亦為一可微分函數,我們可再求出fff ,,,其導函數,我們用表所求出之結果,並稱為f之二階導函數,而稱f為一階導函數。以f 2-13 ※※微分上課講義 ,,,,,,此類推,之三階導函數為,除了用,……表示各階導函數外,還有一些常用之表ffff 示法,為了讓同學適應這些不同之常用高階導函數表示法,故表列如下, 階 次 表 示 法 dy,, fDyy 一 階 xdx 2dy2,,,, yf Dy 二 階 x2dx 3dy3,,,,,, fy Dy 三 階 x3dx 4dy4(4)(4) Dy fy 四 階 x4dx …… …… …… …… …… ndyn(n)(n) Dy fy 階 nxndx 32(4),,,,,,例一,若,求 y,x,4x，3x,5y,y,y,y,? 2x(12),,,,,,例二,若,求以此所得結果試歸納出一個規則,找出 y,y,y,?y,ey,? ,2x(n)例三,求之 y,ey,? 2-14 ※※微分上課講義 1(n)例四,,求 y,,x,0y,?x (32)例五,若,求 f(x),ln(1，x)f(0),? ※ ※2-8隱函數微分法※※ x2y,x，1,y, 前幾節所討論之函數均為之形式,如,我們稱這種函數形式y,f(x)2x，1為顯函數,另一種函數是稱為隱函數,隱函數中有的可化成顯函數,如f(x,y),0 234,有的無法或不易化成顯函數,如。 2x，3y,4x，xy，y,9,0 2-8-1隱函數之一階導函數求法 dy 本節討論隱函數之的求法。在隱函數微分中,往往假設是之可微分函f(x,y),0yxdx dy數,透過鏈鎖律而解出。 dx 22,例一,,求 y,?x，y,25 2-15 ※※微分上課講義 例二,求過上一點之切線方程式, xy,2(1,2) 3隨堂練習,求過上一點之切線方程式, xy,8(1,2) 2-8-2高階隱函數微分法 ,,,,,, 隨函數之高階導函數之解法,在技巧上一如顯函數,先求出再由導出,在解y....yyy ,,法過程中之部分,用剛求出之代入即可。 yy 2dy222例一,,求 ,?x，y,r2dx 2-16 ※※微分上課講義 3,,例二,,求 y,?xy,8 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 心得欄, 2-17 ※※微分上課講義 2-18