完全平方公式知识点分解

乘法公式知识点分解              李锦扬整理 一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a－b）2=（a＋b）2  ，（－a＋b）2=（a－b）2 1、（1）（a－b）2；                （2）（2x－3y）2              （3）       （4）（2a＋3b）2                     （5）[ x +（-y）] 2                （6）  2．(1) =____________．(2) ______________． (3) ____________．(4) __________．(5) =__________． 二、 知识点2：重复套用公式 （1）                 （2）   （3）       （4）．某同学在计算 时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： ． 请借鉴该同学的经验，计算： ． 三、 知识点3：三项 1．若 ，则 =          ． 2.                         3. 4.（a+2b﹣3）（a﹣2b+3）；              5.  四、知识点4：完全四公式 1．已知实数a、b满足ab=1，a+b=3．            （1）求代数式a2+b2的值；                        （2）求a﹣b的值．                            （3）求代数式a2-b2的值；                        （4）求a4﹣b4的值．  （5）求a4+b4的值．                              （6）|x﹣y| 2.已知 求 和 的值 3．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（  ）A．4    B．3  C．12  D．1 4．若 成立，则A=              5．已知 ， ，求 ， 和 的值。 6．已知：（a﹣b）2=4，ab= ，则（a+b）2=______． 7.已知a﹣b=1，a2+b2=25，则a+b的值为______． 8.已知x+y=7且xy=12，则当x＜y时， 的值等于______． 9. 若 ， ，则 ________． 五、知识点5：m+ 1．已知： ，那么 =    2．若m为正实数，且m﹣ =3，则m2﹣ =______． 3．若m2﹣5m+1=0，则 =______．  4．已知2n+2﹣n=k（n为正整数）， 则4n+4﹣n=______．（用含k的代数式表示） 六、知识点6：简便运算 1.  1022                              2． 20112﹣2010×2012      3.                             4． 5.              6、 7、                     8、  （2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1 七、知识点7：配方与最值 1．已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（  ） A．2                B．±2            C．﹣6                    D．±6 2.代数式 是关于 的一个完全平方式，则 =        3.若 是完全平方式，则m=                4.将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程． 5.将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式： ______，______，______． 6．已知 ，求 的值．7．求代数式 的最小值． 8．无论 取何值时， 的值是（  ） A．正数          B．负数      C．零          D．非负数 9.若△ABC的三条边 、 、 满足等式 ，判断△ABC的形状 10.已知a﹣b=b﹣c= ，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于______． 11．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（ x﹣2）2+ x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值． 12.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列四个问题： 例题：求代数式 的最小值． 解：∵ = =                                         ∵         ∴           ∴ 的最小值是4． (1) （  ）=（      ）2        (2)求代数式 的最小值；(2分) (3)试证明：代数式 的值总是正数．(2分) (4)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB= （m），请问：当 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？(2分) 解： 八、知识点8：数形结合 1.如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（    ） A．a2－b2＝a（a－b）＋b（a－b） B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 C．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝a（a＋b）－b（a＋b） 2.如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（  ） A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）    B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2    D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 3．（2002?泉州）如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：__________________． _______________    _________________ 4.图中阴影部分面积等于（） A.           B. C.               D. 5.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为______． 6..如图,在边长为 的正方形中剪去一个边长为b的小正方形( >b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了一个什么公式？为什么？ 九、知识点9：混合运算 1. 2． 化简求值  ，其中 ． 3．解不等式 ． 4．（2a－3b）（2a＋3b）－（2a－3b） 十、知识点10：压轴提高 1.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22﹣12，16=52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是______． 2.请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则（a+b）6=______． 3.若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数， 若m1+m2+…+m2015=1525，    （m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510， 则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为______． 4．观察下列等式： 1×32×5+4=72=(12+4×1+2)2            2×42×6+4=142=(22+4×2+2)2 3×52×7+4=232=(32+4×3+2)2          4×62×8+4=342=(42+4×4+2)2        …… (1)根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方； (2)请把n(n+2)2(n+4)+4写成一个整数的平方的形式． 5．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3， （1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 6.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 7．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积： 方法1：______； 方法2：______； （2）根据（1）的结果，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是______； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：a+b= ，a﹣b= ，求ab的值． 8.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行于AB、BC，交两组对边于点M、N、E. F，则四边形PFDN、PEBM都是正方形，四边形PEAN、PMCF都是长方形，设正方形PEBM的边长为a，正方形PFDN的边长为b． (1)用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及长方形PEAN与长方形PMCF的面积之和，并判定两个面积之和的大小． (2)当点P在什么位置时，它们的面积之和相等? (3)用含a、b的代数式表示