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函数项级数与幂级数.doc

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上传者: 水水的天空78 2017-10-15 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《函数项级数与幂级数doc》,可适用于综合领域,主题内容包含函数项级数与幂级数第四讲函数项级数与幂级数【教学内容】函数项级数的概念幂级数的收敛性及其运算。【教学目的与要求】理解函数项级数的收敛域、和函数的概念符等。

函数项级数与幂级数第四讲函数项级数与幂级数【教学内容】函数项级数的概念幂级数的收敛性及其运算。【教学目的与要求】理解函数项级数的收敛域、和函数的概念熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会应用这些性质求和函数。【教学重点与难点】重点:幂级数收敛半径和收敛区间的求法难点:求和函数。【教学过程】一、函数项级数与幂级数的概念,nnaaxax?ax?,ax定义形如,nnn,a,a,a,?,a,?x的级数称为关于的幂级数其中都是常数称为幂级数的系数(nnaa(x,x)a(x,x)?a(x,x)?形如nx,x的级数称为关于的幂级数(,naxx,xx将换成这个级数就变为(,n,n,nax下面将主要研究形如的幂级数(,n,n,,nnaxaxxx幂级数当取某个数值后就变成一个相应的数项级数可利用,,nn,nn,数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛(,,nnaxaxxxx定义若在点处收敛称为它的一个收敛点若在点处发散,,nn,,nn,naxx称为它的一个发散点的全体收敛点的集合称为它的收敛域全体发散点的,n,n集合称为它的发散域(n例判断幂级数xx?x?的敛散性(解:由第一节例可知当时该级数收敛于和当时该级数发散(因x,x,,x此其收敛域是开区间发散域是,及,(,,,,,,(,,)二、幂级数的收敛性,annax定理设幂级数若则幂级数的收敛半径为lim,r,nn,,an,n,,r,,r,(Rr,,,,,,,r,,,,例试求下列幂级数的收敛区间:nxxx??()nnxxxxn,x,,?(,)?()nn,xn(,)(),nn,n,(x,)()(,nn,,nn,,,解:()因为lim所以收敛半径(当时R,x,,n,,nnn,,,(,),,,?,发散当时发散因此其收敛区间是x,,,,nnn,n,n,(,,)(n,annn()因为(所以收敛半径r,,,,limlimlimnnn,,,,,,nann,nn,,(),,(当时发散当时由莱布尼兹判别法知条件收R,x,,x,,,nn,,nn,,,敛因此其收敛区间为(annnr,,,,limlimlim()因为所以收敛半径(当R,nnn,,,,,,annnnn,,,(,)(,),时发散当时条件收敛因而其(p,)x,,x,,,,nnn,,,nnn,收敛区间为,,(nan,n()n所以收敛半径()因为r,,,,limlimlim,nnn,,,,,,annnn,n,,(,),(当时收敛当发散因此收敛区间为,,(R,x,,,x,,,,nn,n,n三、幂级数的运算设有两个幂级数,nnax,aaxax?ax?,nnn,,nnbx,bbxbx?bx?与,nnn,(,R,R)(,R,R)s(x)s(x),分别在区间及内收敛且其和函数为与设,,R,minR,R(,R,R)则在内有如下运算法则:(加法,,,nnnax,bx,(a,b)x,s(x),s(x)(,,,nnnnnnn,,,(数乘幂级数,naxs(,R,R)设在区间内收敛于则对非零常数有k,nn,,,nnkax,(ka)x,ks(x)(,,nnnn,,(乘法运算,,nnnnax,bx,(aax?ax?),(bbx?bx?),,nnnnn,n,,n,ab(abab)x(ababab)x?(ab)x?,,knk,k,s(x),s(x)在内收敛且和函数为(s(x),s(x)(,R,R)(逐项微分,nax,s(x)设收敛半径为则对一切都有x,(,R,R)R,nn,,,nn,,,s(x),(ax),nax(,,nnn,n,(逐项积分,nax,s(x)设收敛半径为则对一切都有x,(,R,R)R,nn,,,,xxxannnns(x),(ax)dx,axdx,x(,,,nn,,,nn,n,n,性质、表明:收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数其收敛半径不变(nn,xx(,)例求的收敛区间(,n,nnn,naxn解:因为(所以幂级数的收敛limlimlim,,,,nnn,,n,,n,,a,nnnnn,,,xxn,xR,R,半径类似地可求得幂级数的收敛半径为(又在,,,,nnn,,nn,xx(,)(,,)处都发散因此的收敛区间为(x,,,n,nn,x例求幂级数在区间(,,)内的和函数(,n,nn,xs(x),s(x)s(),解:设和函数为则显然(于是,nn,n,xxs(x),,nn,,,xnn,xs(x),x,xx,,,x,逐项求导,得,,,xnn,,xtx对上式从到积分,得xs(x),dt,,ln(,x),x,,tln(,x)于是,有从而s(x),,,x,,,ln(,x),,,x,,s(x),,x,,x,,四、小结函数项级数的收敛域、和函数的概念幂级数的收敛半径、收敛区间求法幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。五、作业练习:p习题,单号作业:p习题:双号预习:第八章

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