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2012考研数学讲义75.doc

2012考研数学讲义75

唐万勇
2019-05-17 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2012考研数学讲义75doc》,可适用于综合领域

考研数学讲()条件概率寻常事在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率。记为P(A∣B),且定义P(A∣B)=P(AB)∕P(B),P(B)>人们通常会用两种方式来表示整体与部分的关系。或者用实在数据或者把整体视为,用比例来表示部分。在可以用“文氏图”示意的情形,不太严格地说,样本空间及事件就是具体实在,相应概率就好比是“比例”描述。条件概率则是把概率P(B)作为新的总体,计算P(AB)相对所占的“比例”。在古典概率情形,这个比方尤其直观。若事件A含于B,即AB=A,P(A∣B)=P(AB)∕P(B)=P(A)∕P(B)若事件A与B互斥,即AB=Φ(空集),P(AB)=,P(A∣B)=若事件A与B相互独立,P(AB)=P(A)P(B),则P(B)>时P(A∣B)=P(AB)∕P(B)=P(A)P(B)∕P(B)=P(A),条件概率的定义在这时正好显示,从逻辑上看,事件A与B相互独立,本质上是发生与否,互不影响,彼此无关。而事件A与B互斥,却是一个特定关系。“两个事件能否既互斥又相互独立”由上述可知,从逻辑上看是不可能的。从概率上看,若两个事件的概率都不为,则也是不可能的。在建模实践中,为了简单起见,在不少场合选择了相互独立的最佳状态。比如,射击运动员连续射击多发子弹乒乓球运动员连续比赛若干局,……,等等都假设各次射击,各局比赛相互独立。构成n重贝努里概型。在实际问题中,有时能简便地直接按照实际状况算得条件概率。比如摸球模型。袋中有个红球个黑球,如果每次摸出一球,然后放回去再摸第二次,若以摸出红球为成功,p=,各次摸球相互独立,就构成n重贝努里概型。如果第一次摸得红球而不放回去,第二次摸得黑球的概率就是条件概率。这时由实际数据能直接算得P(第二次摸得黑球∣第一次摸得红球)=P(AB)=P(第一次摸得红球,第二次摸得黑球)=P(B)P(A∣B)=P(第一次摸得红球)·P(第二次摸得黑球∣第一次摸得红球)=用二维模型才能更好地理解这个交事件的概率。先后两次摸球(第一次不放回)的基本点有:(红,红),个(红,黑),个(黑,红),个(黑,黑),个共计个。所以P(红,黑)=有利点数∕基本点总数=“随机向量事件”概率定义的内核是“交事件的概率”。可以从这里开始体验。例A,B是两个随机事件,且B发生则A必定发生。则下列式子中正确的是(A)P(AB)=P(A)(B)P(AB)=P(A)(C)P(B∣A)=P(B)(D)P(BA)=P(B)P(A)分析事件B发生则A必定发生,说明A包含B,而AB就是A也表明BA是不可能事件AB=B故(B)(D)错。应选(A)。(C)错,是因为此时有P(B∣A)=P(B)∕P(A)例已知<P(B)<,且P(AA∣B)=P(A∣B)P(A∣B),则有(A)P(AA∣Bˉ)=P(A∣Bˉ)P(A∣Bˉ)(B)P(ABAB)=P(AB)P(AB)(C)P(AA)=P(A∣B)P(A∣B)(D)P(B)=P(A)P(B∣A)P(A)P(B∣A)分析老老实实按照条件概率的定义重写已知条件。得P((AA)B)∕P(B)=P(AB)∕P(B)P(AB)∕P(B)去分母后,刚好是(B)。即AB和AB互斥例A,B是两个随机事件,且<P(A)<,P(B)>,P(B∣A)=P(B∣Aˉ)则必有(A)P(A∣B)=P(Aˉ∣B)(B)P(A∣B)≠P(Aˉ∣B)(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)≠P(A)P(B)分析首先用条件概率定义转换已知的条件概率等式P(BA)∕P(A)=P(BAˉ)∕P(Aˉ)即P(Aˉ)P(BA)=P(A)P(BAˉ)即(P(A))P(BA)=P(A)P(BAˉ)移项化简,即P(BA)=P(A)(P(BA)P(BAˉ))=P(A)P(B)其中,事件B=BABAˉ是B的互斥分解。应选(C)(画外音:已知条件保证了事件A与B相互独立。有这样的习题:“若<P(A)<,试证明事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B∣A)=P(B∣Aˉ)”事实上,上例分析中的算式是可以逆反的。)例已知<P(A)<,<P(B)<,P(A∣B)P(Aˉ∣Bˉ)=,则(A)事件A和B互不相容。(B)事件A和B互相对立。(C)事件A和B互不独立。(D事件A和B相互独立。分析先用条件概率定义重写已知的条件概率等式,再两端同乘以P(B)P(Bˉ),得P(Bˉ)P(AB)P(B)P(AˉBˉ)=P(B)P(Bˉ)因为是关于A与B的选择,故需用公式P(Bˉ)=P(B)再注意到“或”的反面是“都不”,即AˉBˉ=(AB)ˉP(AˉBˉ)=P((AB)ˉ)=P((AB),概率等式进一步化为(P(B))P(AB)P(B)(P(AB))=P(B)(P(B))化减后即知P(AB)=P(A)P(B),应选(D)与导数定义的运用一样,条件概率这一类含有公式的概念。要勤动手写定义式,要训练自己有一定的抽象运算推演变形能力,才能应对相关考研题目。例甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为()分析记A=“甲射中”,B=“乙射中”,显然“目标被命中”应该是AB,所求概率为P(A∣(AB))=P(A(AB))∕P(AB)=P(A)∕P(AB)=∕=例某机要室有两种警报系统A与B,单独使用时,系统A有效的概率为系统B有效的概率为在系统A失灵的条件下系统B仍然有效的概率为求()在系统B失灵的条件下系统A仍然有效的概率。()两个警报系统至少有一个有效的概率。()在报警状态下,系统A工作的的概率。解就用A,B分别表示事件“系统A有效”与“系统B有效”。则,已知即P(B∣Aˉ)=,由条件概率定义得方程P(BAˉ)∕P(Aˉ)=注意P(BAˉ)=P(BA)=P(B)P(AB),而P(Aˉ)=,代入方程得P(B)P(AB)=P(Aˉ),算得P(AB)=从而()P(A∣Bˉ)=P(ABˉ)∕P(Bˉ)=(P(B)P(AB))∕P(Bˉ)=()即是求P(AB),P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=()即是求P(A∣(AB))P(A∣(AB))=P(A)∕P(AB)≈这个题目在算之外还告诉我们,如果题面没有交待,答题者通常不要自己假设“相互独立”条件。例m个人抽m支签,其中有s支幸运签(如球票,入场卷等等。),其余都是空白签。人们通常会排序抽签。试证明,每个人抽到幸运签的概率与其抽签顺序无关。分析第个人抽到幸运签的概率自然是p=sm第个人抽到幸运签的概率是两种情形(第个人抽到或没抽到)下概率之和(sm)((s)(m))((ms)m)(s(m))=(s(s)(ms)s)∕m(m)=sm换一个视角来计算第k个人抽到幸运签的概率:m个人抽m支签的全体结果就是m支签的全排列,既总体点数为m!如果设第k个位置是一支幸运签,有s个选法。其余m支签作全排列与之匹配,有利点总数为s(m)!故第k个人抽到幸运签的概率p=s(m)!∕m!=sm(潜台词:哇噻!事先排好序,谁也不吃亏。)继续阅读

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