【doc】 利用点插值函数作为试函数的最小二乘配点法

【doc】 利用点插值 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 作为试函数的最小二乘配点法 利用点插值函数作为试函数的最小二乘配 点法 32卷第4期 2005年8月 湖南大学(自然科学版) JournalofHunanUniversity(NaturalSciences) Vlo1.32.No.4 Aug.2005 文章编号:1000—2472(2005)04—0029—05 利用点插值函数作为试函数的最小二乘配点法 龙述尧,陈胜铭 (湖南大学工程力学系,湖南长沙410082) 摘要:采用径向基函数与多项式基函数作为耦合的基函数,并利用点插值法构造加权 残值法中的近似试函数,试函数中的形函数具有狄拉克一函数性质,因此可以直接施加本 质边界条件.利用这种试函数和采用最小二乘配点法求解了一维二阶微分方程和薄板的弯 曲问题,并与理论结果进行对比;同时还检验了配点数以及节点支持 域半径对计算精度的影 响.数值结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明:这是一种与单元划分无关的无网格 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,具有模拟 简单,计算精度高,收 敛快的优点. 关键词:最小二乘近似;径向基函数;多项式基函数;点插值法 中图分类号:O343.1文献标识码:A LeastSquarePointCollocationMethodwithPoint InterpolationFunctionsasTrialFunction LONGShu—yao,CHENSheng—ruing (DepartmentofEngineeringMechanics.HunanUniv.Changsha.Hunan410082,China) Abstract:TheapproximatetrialfunctionusedintheWeightedResidualsMethodwasconstructedbythe PointInterpolationMethod,whichusedthecombinationofradialandpolynomialbasisfunctionsasitsbasis functions.TheshapefunctionsinthetrialfunctionpossessedtheDirac—delta properties,andtheessentialbound— aryconditionscouldbeimposeddirectly.TheLeastSquarePointCollocationMethodwasappliedtosolvetwo examples,i.e.asecond—orderdifferentialequationinonedimensionanddeflectionsofasquareplatewithall edgessimplysupportedundertheuniformlydistributedload.Resultsobtaine dwerecomparedwiththeanalytic ones.Theinfluenceonaccuracywasexaminedwithadifferentnumberofcollocationpointsanddiffererntradii ofthesupportdomainsofanode.Numericalresultsshowedthattheproposedtrialfunctionledtoatruemesh— lessmethodandhadmanyadvantages,suchaseasysimulation,highaccuracyandrapidconvergence. Keywords:leastsquareapproximations;radialbasisfunction;polynomialbasisfunction;pointinterpolation method 加权残值法是一种有效的数值计算方法,在许 多领域中得到了广泛的应用[1_21.用加权残值法求 解微分方程时的关键是选择试函数,以保证解的精 度和收敛速度,文献[3]给出了目前常用的2O多种 试函数.但对一些实际问题,选择收敛速度快而且精 度高的试函数不是一件容易的事情. 收稿日期:2004—10—19 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10372030) 作者简介:龙述尧(1945一),男,湖南湘潭人,湖南大学教授,博士生导 师 E-mail:sylong@hnu.CTI 湖南大学(自然科学版)2005芷 本文将径向基函数与多项式基函数相耦合,作 为加权残值法中的试函数,这种耦合试函数具有径 向基函数与多项式基函数的许多优良性质:如在一 定程度上消除了系统矩阵的奇异性;试函数和试函 数导数都相当简单,且试函数满足狄拉克一条件, 使得本质(位移)边界条件容易施加等;因此这种耦 合试函数可用于求解多种物理问题. 1利用径向一多项式函数作为基函数的点插 值法 所谓点插值法就是用支持域内每个离散点的 函数进行插值而得到近似函数的方法.其基本步骤 如下:考虑定义在域n上的函数”(),在域n内及 边界上随机地布置若干个点Q,利用点的支持域内 “个节点的函数值”(z)进行插值而得到XQ点的近 似值,即 “(,XQ)=?R()口(xo)+i=1 ?ej(x)bj(XQ)=RT()n+pT()6J=1 (1) 式中R()是径向基函数;P,()是多项式基函数; ai(Q),6J(Q)分别是待定系数;rt是点XQ的支持 域内的节点数;是多项式基函数的项数,它根据 函数可重复性要求选择,为保证插值函数的稳定性, 通常选取<7/.R(X)有多种形式,对于平面问 题,常用的R,(X)列于表1中[. 表1常用的径向基函数 Tab.1Radi~basisfunctionsincoillmonuse 常用的多项式基函数为: 线性基 P(,)=[1],?:3(2a) 二次基 PT(,)=[1z],=6(2b) 三次基 PT(,)=[12xyy2.373.37223], =10(2c) 四次基 PT(,)=[1.37.372z23.372z23.374 .37.37224],,72=15(2d) 对于一维问题,只需将表1和(2)式中所有含.y的项 去掉即可,相应地有=2,3,4,5. 参数C,q对问题的计算结果有很大的影响,文 [5]和[6]对此进行了详细的讨论,并且给出了MQ 和EXP的最优参数.据此本文在以下的计算中分别 取,C=1.42,q=1.03,C=0.03. 式(1)中系数a(i=1,2,…,”),6,(J=1,2, … ,)可由支持域内个节点的函数值确定,即 = (,)=?口R(,)+i=I ?bTj(x,),(志=1,2,…,),写成矩J=1 阵形式,有 =ROn+Pb(3) 上述方程组有+个未知量,却只有个方程,是 一 个未定方程组,要求解上述方程组需增加个约 束方程?口,(,Yi)=0,(=1,2,…,?),将其 i=I 写成矩阵形式,有 Pn:0 这样就可以解出+ 写为矩阵形式,有 A b0 A= 【JlJ (4) 个未知量.将式(3)和(4)合 (5) 其中A:{{,当存在日寸,由)可求1LP0’J 得待定系数 : }(6)lbJl0J, 将式(6)代人式(3)中,可得 口=R~?1U5一R云『Pb(7) 第4期龙述尧等:利用点插值函数作为试函数的最小二乘配点法31 再把上式代人式(4)中,得? b=Sx)s称作第是 个节点的形函数;s,s分别表示矩阵S.,S6中的 第(i,k)项和第(,k)项,它们都是由支持域内个 节点坐标值形成的常数. 形函数的导数可由下式得到 = 骞+L…= 孑+薯等J 对于表1中的MQ径向基函数,其偏导数可由下式 得到 -2q()[((z川 -2q()[()2+(Y-Yi)2+czJ 2耦合近似函数的性质 设某一问题的控制微分方程及边界条件分别 为: L”一厂=0,在内(13a) Gu—g=0,在r上(13b) 式中:U代表场函数;L,G代表微分算子;f,g为不 含U的项. 为求解式(13a)和(13b)所定义的问题,把(10) 式的U(X,o)作为试函数代人(13a)及(13b)中, 得到内部残值R=Lu一f?0和边界残值R= fR] G”一g?0?令R1R:}为残值方程,则可选择适 当的权函数使残值为最小.本文采用最/1~--乘配点 法使残值为最小,即 R’rOR = 0(14) 由这个方程即可求出节点未知函数值U,再把节点 函数值代人式(10)可得出近似函数U. 4实例 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 4.1一维二阶常微分方程 下面以二维二阶常微分方程为例,用以上所讨 论的试函数和加权余量法求解,考察耦合不同多项 式基函数时(=2,3,4,5)和采用不同配点数(S) 时对计算结果的影响. 设微分方程为 J2.. +”+St7=0,(0?St7?1)(15) (12)边界条件为 “l:0=0,”}:1=0(16) 其精确解为[]:”=车一.32.Sln1 耦合近似函数具有下面一些性质: (1)形函数N()满足狄拉克一条件 Ni()=妨={.1,,i?=j,这样在使用Galerkin方法 或其他方法建立系统方程时,可以更简单而精确地 施加本质边界条件 (2)形函数具有坐标再生性,即?N()墨=X= l (3)形函数满足单位分解性,即?N()=1 用11个节点均匀分布于问题域,取试函数为 “()=?N()五i=l (17) 式中为插值点支持域内的节点数,根据支持域半 径的大小确定.取S=11个配点,其中边界2个,域 内9个.把式(17)代人式(15)和(16),得11个残值 方程,由式(14)计算出各个节点值五,再代回式 (17)可得近似函数U(St7). 为检验不同支持域半径对计算结果的影响,本 文分别采用MQ基函数耦合含不同幂次的多项式基 32湖南大学(自然科学版)2005正 函数(m=2,3,4,5)及r=(0.4,0.5,0.6,0.7, 0.8,0.9)进行计算,图1给出了.27:0.5处拟合函 数的数值解与精确解的相对误差.从图中看出,对于 各种多项式基函数,支持域半径r的选取应保证有 >m,否则计算结果不稳定.当支持域半径r较 大,即插值域内包括足够的节点时,耦合不同的多项 式基函数其计算结果趋于稳定. 图1采用不同支持域半径(r)时拟合函数 在点(=0.5)的相对误差 Fig.1Relativeerrorsofthefittingfunctionatpoint (:0.5)withdifferentradiiofsupportdomains 图2采用不同配点数时拟合函数 在点(:0.5)的相对误差 Fig.2Relativeerrorsofthefittingfunctionatpoint (=0.5)withdifferentnumberofmll~tionpoints 为检验不同配点数S对计算结果的影响,本文 采用MQ基函数耦合2次幂(m=3)的多项式基函 数,分别取配点数为S=(11,15),节点支持域半 径r=0.7进行计算,图2给出了:0.5处计算值 与精确解的相对误差.从图中看出,随着配点数的增 加,计算误差减少,但由于试函数收敛较快,其影响 不大. 4.2四边简支的矩形薄板受均布荷载作用 如图3所示,考虑一四边简支的矩形薄板(边长 口×b),其板面受铅垂均布荷载作用.根据Kirchhoff 理论,薄板的控制方程及边界条件如下: D叫(,):q(,Y),(.27,Y)?n,(18) 叫n—o,一o . 叫 },,_0(19) 其中w(x,Y)是板中面的垂直挠度,q(.27,Y)是垂 直于板中面的单位面积的荷载,.27,Y分别是板中面 的坐标系,是四阶微分算子,:+ 2+,D=是板的弯度. 该问题的理论解为_8J: : … 榭 ( s 十 m?).,咒7c.7cV w(x,)=?Ni(x,y)w(20)l:1 支持域半径r取为0.9,配点数S=121,其中边界40个点, 内部81个点,采用MQ基函数耦合不同阶次的多项式基函 数进行计算,把式(20)代入(18)和(19),再由方程(15)求得 各个系数而,代N(20)式则得到挠度试函数w(x,).表2 给出了=b/2线上挠度的计算值与理论解的比较. 图3四边简支的矩形薄板受竖向均布荷载作用 Fig.3Arectangularplatewithalledgessimplysupported 利用点插值函数作为试函数的最小二乘配点法33 表2四边简支方形薄板在竖向均布荷载作用下板挠度的计算值与理论值比较(qoa/DX10) Tab.2Thecomparisonbetweennumericalandanalyticdeflectionsofasquare platesubjected toauniformlydistributedloadwithalledgessimplysupported 表3采用不同配点数S时的相对误差(r=0.9,m=15) Tab.3Relativeerrorswithdifferentnumber5结论 ofcollocationpoints 配点数相对误差/% 同样地,为了检验不同支持域半径及不同多项 式基函数(m)对计算结果的影响,取7×7个均匀分 布节点,r=(0.5,0.6,0.7,0.8,0.9),m=(3,6, 10,15)进行计算,图4给出了最大挠度(z=a/2,Y =b/2)的相对误差.由图中可知,当耦合多项式基 函数所含幂次大于或等于控制微分方程中导数最高 阶数时,计算精度明显二阶微分方程和薄板弯曲问题进行了分析计 算.由计算结果可以看出,这种方法具有以下的优点: 1)试函数的构造简便,对任何边值问题,其形式 是一样的,故而其适用性强. 2)一般情况下,其计算精度随配点数的增加,以 及基函数阶数增大而提高.本文的算例表明,采用与 控制微分方程中导数最高次数相同的多项式基函数 计算时,有很高的精度. 3)该方法只需要节点坐标信息而不像有限元法 一 样需划分单元或网格,因此对具有不规则边界的 边值问题,具有简单快捷的优点,在实际工作中能广 泛应用. 参考文献 [1]龙述尧.用无网格局部Petrov.Oalerkin法分析弹性地基上的 梁[J].湖南大学,2001,28(5):11—15. 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