都安高中数列的求和专题复习
数列的求和专题复习 分组法求和 题型二
? 知 识 梳 理 ? n【例3】求通项为的数列的前n项和 a,2，2n,1n1、基本数列的前项和 n
()aan，,1n ,,2(1)等差数列的前项和: s,,,an ,nn1,变式训练: nannd，,(1)1,,211111.求数列1，1,，4,，7,，10,？？,，(3n,2),？？的前n项和 23n,1aaaa(2)等比数列的前项和: ,,aSnnn
? 当时，; S,naq,1n1
n21n,a,aqa(1,q)2.数列的前n项和等于( ) 1,12,122,,122,，，，，，，？？？，，，，，，1n1? 当时，; S,,q,1n1,q1,q
n，1n，1nn A(2,n B(2,n,2 C(2,n,1 D(2,n,2
2、数列求和的常用方法:公式法;分组求和法;裂项相消法;倒序相加法;错位相减法。
课前热身 ? ?
问题1:
【方法提炼】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分(1)已知为等比数列,,的前项和，公比， Saq,2,S,7n99nn别求和，最终达到求和目的.
则 ; a，a，a，？，a,题型三 裂项相消法求和 36999
11111d,,,(2)等差数列a中，公差，且a，a，a，？，a,60， 13599n，，，？，【例4】求和:. 21，22，33，4n(n，1)
则a，a，a，？，a, . 123100
111a,,,【解题思路】观察通项公式的特点，发现. 题型一 公式法、性质法求和 nn(n，1)nn，1n222a【例1】数列{}的前n项和( ) S,2,1,则a，a，？，a,nnn12
111,,【解析】 ？11nnnn2(2,1)(4,1)4,1 A( B( C( D( (2,1)n(n，1)nn，133
n11111111【例2】 ,,(1,)，(,)，(,)，？，(,),1,原式. ？n，1n，122334nn，1231，2，2，2,？(1)等比数列中的第5项到第10项的和为:
2n3n,,an(2)等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为 n
1
111题型四 倒序相加法求和 【例5】求. 1,()，，，,,,，,nN12123123，，，，，,,,，n2x111【例8】设，求: f(x),f()，f()，f()，f(2)，f(3)，f(4)4322121，x解析:， a,,？k1，2，？，kk(k，1)
11,,【解题思路】观察及的特点，发现.f(x)，f(),1f(x)f,, 111xx,,？,，，？，S2[]n,,，1223n(n1) 题型五 错位相减法求和
n【例9】若数列的通项，求此数列的前项和 ,,aSna,(2n,1),3111112n，，nnn,,，,，,,,，,,2(1)()(),,22311nnn，，，， 【解题思路】利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与n
一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 1111【例6】求数列的前项和. S,,,？,,？nn23n【解析】， ? S,1，3，3，3，5，3，？，(2n,1),3？22，32，3，42，3，4，？，(k，1)n
234n，122 ? 3S,1，3，3，3，5，3，？，(2n,1),3？n分析:此数列的第项应为(注意不是)，裂项求和时注意项数. a,a,nnnn(n，3)n(n，1)?-?，得
1111111234nn，1T,(1,)，(,)，(,)，？，(,) ,2S,1，3，2，3，2，3，2，3，？，2，3,(2n,1),3nn42536nn，3
1111111234nn，1n，1,(1，，，？，),(，，，？，) . ,1，3，2(3，3，3，？，3),(2n,1),3,(2,2n),3,623n456n，3
1111111111n，1,1，，,,,,,,,. . S,(n,1),3，3？n23n，1n，2n，36n，1n，2n，3
21121112n,1S,T,,(,,). 【例10】求数列的前项和. Sn1,3a,5a，？,(2n,1)a(a,0)nnn393n，1n，2n，3
变式训练 2n,1【解析】 ? S,1，3a，5a，？，(2n,1)an11111.求数列，，，…，，…的前n项和Sn 3，51，32，4n(n，2)23n?得， ? ，aaS,a，3a，5a，？，(2n,1)an
2n,1n?-?得， (1,a)S,1，2a，2a，？，2a,(2n,1)an
1111，，，？，2.求和:; 2a,1当时，; S,n1，44，77，10(3n,2)(3n，1)n
n,12a(1,a)na,1(1,a)S,1，,(2n,1)a当时， n11,a{a}a,,若其前n项和S,93.在数列中，，则项数n为 ( ) nnnn，n，11nn，1，a,(2n，1)a，(2n,1)aS,A(9 B(10 C(99 D(100 ？n2(1,a)【方法提炼】数列的常见拆项有:
1111,,,n，1,n; ; n(n，1)nn，1n，n，1
2
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