连续参数模糊平稳过程_对应关系

连续参数模糊平稳过程_对应关系 n r | Borel 域 。若 X 为 f . r . v. ,则对任意 r ? [ 0 , 1 , u ‖: ? R : u ?‖u ‖; ‖EX ] : nr n - 1 3 n | Ω ( ) ω (ω) ? PR: ?[ X ] 是随机紧凸集 。 c ( ) ( ) 固定 r , x? [ 0 , 1 ] ×S , u r , x: ? E 3 | ( ) R : u ?u r , x; n n 2 模糊平稳过程 ( ) | ( )固定 v ? E, D u , v: ? R : u ?D u , v E<都是连 续 的 , 故 为 Borel 可 测 的 , 所 以 定 理 后 半 部 分 T R 为任意有穷或无穷 、可列或不可列的实 设 得证 。 (Ω ) 数集 , T 中每一元 t 对应于概率空间 , A , P上的 (Ω ) (Ω ω) ω) 定义 3 称可测变换 T : , A , P? , A ,( ( 一 f . r . v. X t , , 则 称 集 族 X t , , t ?T 为 模 糊 - 1 () 随机过程 fuzzy stochastic process。其中 ,对任意固 定) ( ) ( ) P为保测的 ,若对任意 B ?A , 有 P TB = P B 。 n n( ) ( Ω ) ( ) 的 t , X t , ?是 , A 到 E, B E的可测映 射 ;而- 1 ωω 其中 , TB = {: T?B } 。 n ω Ω ( ω) 固定 ?, X ,? 是一个 T 到 E的映射 。 设 T 是保测变换 , X 为 f . r . v. ,定义 ( ω) ( ω) ω Ω()) (TX= X T? 1 ω) (ω) ( 有时也记 X t , 为 X或 X。 t t X, t ?0定义 1 设 为模糊随 机 过 程 , 若 对 t n( ) 因为对任意 B ? B E有 t,?0 , 及 B , B , ?, B ?m < ? < k 1 2 k 任意 0 ? t 1- 1 ( ( ) (ω) ) ( ( ω)) ( ω ( ) ) TX? B = X T ? ? B = TX B = n( ) B E, 有 : - 1 - 1 - 1 ( ( (ω) )()( ) ) T X ? B 2 T X B =k k ( )( )?X? B = P ?X? B P t + mjt j j j j = 1 j = 1 故而 , TX 也是 f . r . v. 。 保测变换 T 有下列重要性质 : (X, t ?0 fuzzy stationary pro2 为模糊平稳过程 则称 t ( Ω Α Ρ) 定理 4 设 T 为 , , 上 任 一 保 测 变 换 ,) cess ,或简称 f . s. p . 。 ?0 X, t 为模糊随机过程 ,任意取一 Borel 可测变 t 模糊平稳过程与实值平稳过程及集值 平 稳 过 程 ) )n[0 , ?n[0 , ? n n( ) ( ( ) ) E, B E( ( ) ) 换 ? E, B E, f : 有着密切的联系 。 n n则 X, t ?0定理 2 设 Et 为 f . s. p . , f : ? E () 或 R ,或任一 Borel 可测空间 S 为 Borel 可测映射 ,则 ( (ω) ) ( ω) )( a . s. Tf X . = f TX . ( ) (f X, t ?0 是 f . s. p . 或实值平稳过程 ,或 S 值 t (ω) (ω) (X, TX, (ω) t ?0 ω) 其中 X . = , TX . = t t ) ( ) 平稳 过 程。特 别 地 , 固 定 r ? [ 0 , 1 ] 及 r , x? t ?0 。 r n - 1 × S ,[ X] , t ?0 为 集 值 平 稳 过 程 , [ 0 , 1 ] t ( (ω) )证明 : 首先 ,由于 f 是 Borel 可测的 ,故 f X . 3 ( ) X r , x, t ‖X‖, t ?0?0 和 为 实 值 平 稳 nt t () ) ( 2为 f . r . v. ,从而由式 对 B ? B E, n ( ) , D X, vt ?0 过程 ;而固定 v ? E, 为实值平 t - 1 ωω) )( (ωω) )( ( ? B } = { : Tf X . T {: f X . ? B } 稳过程 。 ()3 ? 0 , B , 1 证明 : 对 任 意 0 ? t< ? < t, s 1 k n其次 ,令 ) ( ( ( ) ( ) ) B , ?B ? B E或 B R, 或 B S , 2 k n[0 , ?) k k ω) ( ) ω) ) (( ( - 1 ? E, f Y. ? A, A ? B = Y. ? ( )?f B ) ( f X?BXjt + s jt + s P ? = P ? = j j nj = 1 j = 1 ( ) B E, 则 B 是无穷维 Borel 可测集 。又令 ? k - 1 ( )X? f B t j P ?= j - 1j = 1 Λ ω(ω) B : T { : X . ? B } ==? ?k ( ) f X? B ω(ω) { : TX . ? B }t j P ? ?j j = 1 )n[0 , ? ) ) Π ( ( 中有穷维柱集全体 。 为 B E ) ( f X, t ?0 (因此 , 是 f . s. p . 或实值平稳过程 ,或 t Π π Λ λ Π Λ 显然 , 为系 , 为系 , 而且 < , 故由单调 ) 集值平稳过程。 Λ 类定理 ,包含全体无穷维 Borel 可测集 。因此 ,对 B 由于下列函数 : n r n nr )( ? B E , | ( ) u ] : E? PR: u ?[ u ] ; c 固定 r ?[ 0 , 1 , - 1ωω) ) ωω) ) ( (( (T { : f x . ? B } = { : f TX . ? B } k nk ()从而由式 3 ( ( ) ) 0 t , B ? B E} ? t< ? < k 1 k ω( (ω)) ω( (ω) ) { : Tf X . ? B } = { : f TX . ? B } ( (ω) (ω) )X, ?, X ````? B t t 对 ? C A = k1 k ( (ω) ) ( (ω) ) 即 Tf X . = f TX . 。 定义 a . s. (Ω ) T, t ?0 为 , A , P上一族保 k 定义 5 设t (ω)(ω)X , ?, X tt) = P ? B ( P A `k 1 k ?0 , T为保测变换 。如果对任测变换 ,即对每一个 t t ( ) σ( )由文献 7 定理 21217 i 可将 P 唯一地延拓到C `ω Ω 意 ?及 s ?0 、t ?0 , 有 : ƒ A , 并且 P 是A 上的概率测度 。A 关于 P 的完备化扩 `````ω ωΤωωω= = TT= TT T s + t0s tt s( ) ( ) 张仍记为 A ,易看出 : X, t ?0与 X, t ?0有相 ``t t T, t ?0(Ω ) 为 , A , P上的保测变换半群 。 则称 t ( ) 同的有穷维分布 ,并且 X, t ?0是 f . s. p . 。对任意 t `t 下面的引理是经典测度论中的一个重要结论 。 Ω?0 , 在 ` 上定义变换 T: t (Ω (Ω ) ) 引理 6 设 T : , A ? , A 为保测变换 , - 1 ωωτ )(T` = , ?0 τt + t σ( ) ( ) C= A< A , 若 对 任 一 B ? C , P T B = P 0 (()ωτ ) 5 ω如果 ` = , ?0。 τ ( ) (Ω ) B , 则 T 为 , A, P上保测变换 。 0 (ω) ωΩ? 下面证明对任意的 ` ?` 和 t ?0 , `X`= t 接下来我们要讨论模糊平稳过程与保 测 变 换 半 ( ) (ω) T`X`。 t 0 ω(ωτ ) 实际上 ,如果 ` = , ?0, 则 τ 群的一一对应关系 。 T, t ?0 () 设 it , X为任意 为保测变换半群 0 ( ω) ( (ωτ ) ) ( ) (ω)= XT= X, ?0=```T`X` τ 0 t 0 t +t 0定理 7 X, t ?0 ( ) f . r . v. ,则 t X= TX是模糊平稳过程 。 t t 0ω(ω) = X。 `` t tX, () t ?0 ii反之 ,设 是 f . s. p . ,则存在定义 t ` , t ?0 X(Ω在某概率空间 , A , , ``) t P上 的 f . s. p . `(Ω) ?对任意 的 t ? 0 , T是 ` , A` , `P 上 的 保 测 t 与原过程有相同的有穷维分布 ,并且存在唯一定义在 变换 。 (Ω) ?0 T,t , 使得 `X , A , P上保测变换半群 ``` = t t因为对任意的 A ? C , T`X, t ?0 。 t0 k (ω) (ω)`X`, ?, `X` t t (ω? A = ` : B = 1 k 证明 : k ω(ω ω : , ?, `tt ) ? B , 有 1k() ? < t, s ?0 , B , B , ?, B i对任意 0 ? t< k 1 2 k1 kn(ω) (ω)`X`, ?, `X` ( )ωP A t t `= P : ``? B = ( ) () ? B E, 由保测性及式 2有 1 k k k k (ω( (ω) (ω) ) )` : `X`, ?, `X`? B t +τt +τP `= 1 k ( )( )P ?X? B = P ?TX? B = s + tj s ti i i i = 1 i = 1 k (ω) ) ( k P : (ω)? B = ``ω? t +τ t +τ1 k - 1 ( ( ) )?T X ? B P = s ti - 1 i i = 1 ( ) `P T A τ k - 1 ( )?X? B t i T (ΩP = 由引理 6 知 ,对任意 t ?0 , T 是 ` , A` , ) s `P上的 i t i = 1 保测变换 。 k P ( )?X? B t i () (Ωi ? 证明由式 5定义在 , A , ``) `P上的保测变换 i = 1 族 { T, t ? 0} 是保测变换半群 。 t X, t ?0 因此 , 是 f . s. p . 。 t (ωτ ) ω, ?0, 对任意 s , t?0 设 ` = τ () ii证明分 5 步进行 。 (ωτ ) (ωτ ) = T, ?0= , ?0= (ω) ττTT`s + t + t + s ? 令 s t n(ω)T` t + s ωΩ(ω)ωω)(? E = `` = , t ?0 ` tt (ωτ ) (ωτ ) (ω) = T, ?0= ,?0= TT`t τ+ s τ+ s + t t s (ω) (ω) ω()`X`= `= 对任意的 t ?0 4 t t t (ω)T` t + s 且 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 全体柱集为 : , k (ω(ω) ( (ω) ) ) ?, `X`? B , k ?1 , C = { ` : `X`, t t 因此 { T , t ?0} 是 A 上的一个保测变换半群 。 1 k t ? 证明 { T, t ?0} 的唯一性 。限于篇幅 ,我们将另文讨论模糊平稳过程在模糊 t (Ω) 若存在 , A , P上 另 一 个 保 测 变 换 半 群 { T, ````控制等领域中的应用 。 t t ?0} 使得对任意 t ?0 有 : `X = `T`X, 我们将得到 t0 t 参 考 文 献 T= T。 `t t ω) ω(Ω实际上 ,对任意 = , ?0? 和任意的 ``s s 王梓坤. 随机过程论. 北京 : 科学出版社 ,1978 . 276,317 1 ()h ?0 , 由式 4 2 张世英 ,杨楹. 随机过程与控制. 天津 : 天津大学出版社 ,1989 . 1,50 3 赵达纲 , 朱 迎 善. 应 用 随 机 过 程. 北 京 : 机 械 工 业 出 版 社 , 1993 . ( ) (ω)( ω) ( ω)= TXX= TTX ````T= XT ` ``= th t h0 thh t 280,324 (ω) (ω) (ω) ωTX= X= `````= t + ht + h0 t + h h + t4 Wang Rongming , Wang Zhengpeng. Set2valued stationary process. Journal ( ω) ( ω)(ω) (ω)= TX= TTX= ````````T`= `X`T` thh tth th0 of Multivariate Analysis , 1997 , 63 : 180,198 5 (ω)(ω) (ω) `T`X` ω= `X`= ` = 吴从 ,马明. 模糊分析学基础. 北京 : 国防工业出版社 ,1994. 1,101 t + h0 t + ht + h h + t 6 P Diamond , P Kloeden. Metric space of fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems , ωωωΩT= `T。因此 T = T 对任意 ? 成立 。即 `````ttt t 1990 , 35 : 241,249 7 本定理说明了模糊平稳过程 { X, t ?0} 唯一地 t 汪嘉冈. 现代概率论基础. 上海 : 复旦大学出版社 ,1988 . 1,76 对应保测变换半群 { T, t ?0} 。 t Fuzzy Statio nary Pro c e s s with Co ntinuo u s Para meter : Corre spo nde nc e Relatio n Li Li , Feng Yuhu ( College of Basic Science , Dong Hua University , Shanghai ,200051) Abstract In this paper , we introduce the concept of the fuzzy stationary process and establish the one2to2one correspondence relation between the fuzzy stationary process and the semi2group of measure2preserving transformation. Key words : fuzzy number space , fuzzy stationary process , semi2group of measure2preserving transformation