2015《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

2015《实变函数与泛函 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 基础》试卷及答案 试卷一: 得 分 一、单项选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) ,,,, (A); (B); limAA,,,limAA,,,nknk11nnknnknn,,,,,,,, ,,,, (C); (D); limAA,,,limAA,,,nknk11nnknnknn,,,,,,,, 2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ) ,'mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 )波雷耳集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D Efx()4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) ae..,,n (A)若, 则 (B) 是可测函数 fxfx()(),fxfx()(),sup()fx,,nnnn inf()fx (C)是可测函数;(D)若,则可测 fxfx()(),fx(),,nnn 5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b] (A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b] b'f'(x)dx,f(b),f(a)(C)在上L可积 (D) [a,b]f(x),a 得 分 二. 填空题(3分×5=15分) ()(())CACBAAB,,,,,1、_________ ss o'E0,1EE2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. E,, nETR3、设是中点集，如果对任一点集都有 (第1页，共18页) _________________________________，则称是可测的 EL4、可测的________条件是它可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 成一列简单函数的极限函数. f(x) (填“充分”，“必要”，“充要”) 5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使ab,ab,fx(),,,,_____________________________________________________,则称为 fx() 上的有界变差函数。 ab,,, 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举得 分 反例说明.(5分×4=20分) 1CE1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。 ER, mE,0E2、若，则一定是可数集. 3、若是可测函数，则必是可测函数。 |()|fxfx() fx()0,E4(设在可测集上可积分，若，则 fx(),,,xEfx,()0,E (第2页，共18页) 四、解答题(8分×2=16分). 得 分 2,xx,为无理数fx(),1、(8分)设 ，则在上是否R,可积，是否L,0,1fx(),,,1,x为有理数, 可积，若可积，求出积分值。 ,ln()xn，x,limcosexdx2、(8分)求 ,0nn (第3页，共18页) 得 分 五、证明题(6分×4+10=34分). 1、(6分)证明上的全体无理数作成的集其势为. 0,1c,, ,,，,,2、(6分)设是上的实值连续函数，则对于任意常数fx()，， 是闭集。 aExfxa,{|()},, ab,fx()3、(6分)在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 ,, (第4页，共18页) 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线 lim0nme,,E4、(6分)设在上可积，，则. eEfn,,(||)mEfx,,,()nnn 得 分 ,,0EFE,5、(10分)设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，ae..fx(), 阅卷人 EFmEF(),,,使在上连续，且，证明:是上的可测函数。(鲁津fx()fx(),, 复查人 定理的逆定理) (第5页，共18页) 试卷一 答案: 试卷一 (参考答案及 评分 售楼处物业服务评分营养不良炎症评分法中国大学排行榜100强国家临床重点专科供应商现场质量稽核 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ) 一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D ***,,二、1( 2、; ; 3、 0,10,1mTmTEmTCE,,，,()(),,,, n,,4、充要 5、成一有界数集。 |()()|fxfx,,,,,1ii,1,,i 三、1(错误……………………………………………………2分 CEEE例如:设是0,1上有理点全体，则和都在0,1中稠密 ,,,, ………………………..5分 2(错误…………………………………………………………2分 CantormE,0E例如:设是集，则，但c， 故其为不可数集 E, ……………………….5分 3(错误…………………………………………………………2分 xxE,;,,,Eab,例如:设是上的不可测集， fx(),,,,,,,xxabE,,;,,,, ab,ab,则是上的可测函数，但不是上的可测函|()|fxfx(),,,,数………………………………………………………………..5分 4(错误…………………………………………………………2分 mE,0时，对E上任意的实函数fxdx()0,fx()都有…5分 ,E x,1R,0,1四、1(在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为fx()fx(),, 正测度集………………………………………..3分 L,0,1因为fx()是有界可测函数，fx()在上是可积的…6分 ,, 1122xfxdxxdx(),,ae..因为fx()与相等，进一步，…8分 ,,0,10,,3 (第6页，共18页) ln()xn，,x2(解:设，则易知当时， fxex()cos,fx()0,n,,nnn …………………………..2分 'ln1lntt,,,t,3又因，()，所以当时， nx,,3,0,,0,,2tt,, ln()ln()ln3ln3xnnxxnnx，，，，………………4分 ,,,，(1)xnnxnn，33 ln3,x从而使得fxxe,，…………………………………6分 |()|(1)n3 但是不等式右边的函数，在上是L可积的，故有 0,，,，, ,,lim()lim()0fxdxfxdx,,…………………………………8分 nn,,00nn 五、1(设 E,[0,1],AEQBEEQ,,,,,\(). ？BMB是无限集，可数子集？，, …………………………2分 ？ AAMM是可数集，？,. ……………………………….3分 ？BMBMEABAMBM,,,,,,,(\),(\),…………..5分 ,,且()(\),(\),AMBMMBM,,,,, ………………………………………………6分 ？？,EBBc ,. ,xEExxx,{},lim,,,则存在中的互异点列使2(……….2分 nn,,n ？xEfxa,？,,()………………………………………….3分 nn ？fxxfxfxa()()lim()在点连续，？,, n,,n ？,xE…………………………………………………………5分 ？E是闭集.…………………………………………………….6分 ,,1(,)(,)abab,3. 对，，，,0，使对任意互不相交的有限个 ii nn 当时，有………………2分 ()ba,,,fbfa()()1,,,,iiii,1,1ii (第7页，共18页) n ,T:将等分，使，对，有xzz,,,,,？zxm[,]abxx,,,,kii,101ii,1i,1 k ，所以在上是有界变差函[,]xxfx()fzfz()()1,,,ii,1,1ii,1i 数……………………………….5分 xbi 所以从而，因此，是上的有界变差函()1,f,fx()[,]ab()fm,VVxai,1 数…………………………………………………………..6分 ,,,,，,,lim(||)(||)0mEfnmEf4、在E上可积……2分 fx()n,, 据积分的绝对连续性，，有,,，,,,,,,,0,0,,eEme|()|fxdx,,………………………………………………….4分 ,e 对上述，从而，即,,,，,,,,0,,,(||)knkmEfnnmefxdx,,,|()|,n,enlim0nme,,…………………6分 nn 1FEmEFfx,,,5(存在闭集,,()在连F,,nN,，，nnnn2续………………………………………………………………2分 ,,, F,,,，,,,,,,xFkxFnkxFfx,,,()令，则在连FF,::nnnnk,knk1,, 续…………………………………………………………4分 ,, kmEFmEFmEF,,,,,,,[()][()]又对任意, ，，nnnknk,, ,1…………………………………………….6分 ,,,mEF(),nk2nk, FE,故mEFfx()0,(),,在连续…………………………..8分 EF,E又mEF()0,,,fx()所以是上的可测函数，从而是上的 可测函数………………………………………………………..10分 (第8页，共18页) 试卷二: 《实变函数》试卷二 专业________班级_______姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。 一.单项选择题(3分×5=15分) 得 分 1(设是两集合，则 =( ) MN,MMN,,() NMN,,M (A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( ) EEPP (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点 00 EEPPP(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点 000 EEPPP,P(C) 存在中点列，使，则是的聚点 ,,nn00 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 (A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对; 4. 下列断言中( )是错误的。 (A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集; (第9页，共18页) (C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. 若，则下列断言( )是正确的 fx()是可测函数 (A) 在可积在可积; L,ab,abL,,fx(),|()|fx,,,, (B) fxabRfxabR(),|()|,在可积在可积,,,,,,, (C) ; fxabLfxabR(),|()|,在可积在可积,,,,,,, (D) fxaRfxL(),()在广义可积在a,+可积，,,,,,，，，， 二. 填空题(3分×5=15分) 得 分 11An,,,？limA,1、设，则_________。 [,2],1,2,得 分 nnn,,nn o阅卷人 mP,P2、设为Cantor集，则 ，_____，=________。 P,P ,,,,复查人 S3、设是一列可测集，则 mSmS______,,,,i,,ii1i,,,1i, 4、鲁津定理:______________________________________________________ _______________________________________________________________ ab,5、设为上的有限函数，如果_________________________________ Fx(),, _______________________________________________________________ ab,______________________________则称为上的绝对连续函数。 Fx(),, 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不得 分 成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 11,0,10,10,1,,0,101和，1、由于，故不存在使之间对应的映射。 ，，,,，，,,,, (第10页，共18页) 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、收敛的函数列必依测度收敛。 ae.. 4、连续函数一定是有界变差函数。 四.解答题(8分×2=16分) 得 分 xx,为无理数,R,L,fx(),0,1fx()1、设 ，则在上是否可积，是否可积，,,,1,x为有理数, (第11页，共18页) 若可积，求出积分值。 1nx3limsin2、求极限 . nxdx22,0n,,，1nx 82，五.证明题(6分×3+ =34分) 得 分 1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c，(,,,，,)E,{x|f(x),c} 是一开集. (第12页，共18页) *2.(6分) 设使，则E是可测集。 ,,，,0,,开集GEmGE(),,, 3. (6分)在ab,上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 fx(),, Efx()4.(8分)设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，(1,2,)n,？fx()n fxae()..证明:收敛于。 fx()n (第13页，共18页) 得 分 ,,05.(8分)设在上可积，则对任何，必存在E上的连续函Eab,,fx(),, 阅卷人 b数，使. |()()|fxxdx,,,,,()x,a 复查人 试卷二(参考答案及评分标准) 一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A ,0,2二、1， 2，c ;0 ; 3， ,，， ,,0E4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集EE,，使得ae..fx()fx(),EmEE(\),,在上是连续函数，且。 ,, ab,5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间,,,，,0,0,, nn abin,,1,2,,,,？只要，就有 ba,,,|()()|FbFa,,,，，，，,,iiiiii,1i,1i 三、1(错误……………………………………………………2分 (第14页，共18页) ,(0),r,1,(1),r,,2记中有理数全体 Rrr,{,,}？(0,1),12(),1,2rrn,,？,nn，2, ,(),[01]xxx,为，中无理数，,, 显然。……………………………5分 ,是，到(，)上的映射[01]0111, 2(正确……………………………………………………………2分 ,,,***设为零测度集， ，所以， E0()0,,,mEmEmE()0,:,:iiiiii11,,1, , 因此，是零测度集。………………………………………5分 E:i,i1 3(错误……………………………………………………………2分 1,(0,]xn,,作函数列: 例如:取E,，,(0,),fxn()1,2,,,？,n0,(,)xn,，,, xE,01,,,显然当。但当时， fx()1,,Efn[|1|](,),,,，,,nn 且这说明不测度收敛到1.………………5分 fx()mn(,)，,,，,n 4(错误…………………………………………………………2分 ,,xxcos,01,,,,0,1例如:显然是的连续函数。 fx(),,,2x, ,0,0.x,, 11110,1T:01,,,,,,？如果对取分划，则容易证明 ,,22132nn, 2nn11Vf(),,，从而得到…………………5分 fxfx,,|()()|,,,ii10i,,ii11 x,1R,0,1四、1(fx()在上不是可积的，因为fx()仅在处连续， ,, 即不连续点为正测度集………………………………………3分 L,0,1因为fx()fx()是有界可测函数，所以在上是可积,,的…………………………………. …………………………….6分 (第15页，共18页) 11因为与相等, 进一步，……8分 fxdxxdx(),,xae..fx(),,0,10,,2 nx32设，则易知当时，()sinfxnxdx,n,,n221，nx …………………………………………………………2分 fx()0,n nx又………………………………………………4分 |()|fx,n221，nx 但是不等式右边的函数，在上是L可积的……………6分 0,，,，, ,,故有lim()lim()0fxdxfxdx,,…………………………8分 nn,,00nn 五、1(………………………………………..1分 ,,,xEfxc,() 在点连续，对当时， xfx(),,,,,，fxcUx()0,(,),yUx,(,),？？ fyfx()(),,,有…………………………………………3分 ，……5分 ？,，,,,,fxcfyfxfxc()()()()？,fyc()？,yE E因此，从而为开集………………………………..6分 UxE(,),, 2(对任何正整数，由条件存在开集GE,,使nn 1*mGE,,()……………………………………………………1分 nn , G令，则是可测集…………………………………3分 GG,:nn1, 1***,,,mGE()又因对一切正整数n成立，因而，即mGE(),mGE()0,,nn MGE,,是一零测度集，所以也可 测.…………………………………………………………………5分 E由EGGE,,,()知，可测。…………………………………6分 x ab,3、易知是上的增函数………………………2分 gxf()(),,,Va (第16页，共18页) 令, 则对于有 axxb,,,hxgxfx()()(),,12 hxhxgxgxfxfx()()()()[()()],,,,,212121 x 2 ,,,,,,,,Vffxfxfxfxfxfx()[()()]|()()|[()()]0212121x1 所以是上的增函数……………………………………4分 ab,hx(),, 因此，其中与均为上的有限增函ab,fxgxhx()()(),,gx()hx(),, 数…………. ……………………………………………………….6分 ，4、因为在E上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可kZ,fx()fx()n 测集，在上一致收敛于，且EE,fx()Efx()nkk 1mEE,(\)…………………………………………………3分 kk ,**令，则在上处处收敛到……………5分 Efx()fx()EE,:nkk1, ,1*，k=1,2 ？mEEmEEmEE,,,(\)(\)(\):kkkk1, *,0所以………………………………………………8分 mEE(\) EeEfn,,[||],5、证明:设由于在上有限，故ae..fx()n men,,,0,()………………………………………………..2分 n 由积分的绝对连续性，对任何，使,,，,0,N ,Nmefxdx,,,|()|………………………………………4分 N,eN4 1RBEe,\BFB,令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数,()x使NNNNN ,mBF(\);,xF,(1)fxx()(),,(2)时，，且NNN4N (第17页，共18页) ……………………6分 sup|()|sup|()|,xfxN,,1xF,xR,N 所以 b|()()||()()||()()|fxxdxfxxdxfxxdx,,,，,,,,,,,aeBNN ,，，,|()||()||()()|fxdxxdxfxxdx,,,,,\eeBFNNNN ,,,,,,，,，,,，，,NmeN2,N44442N ……………………...8分 (第18页，共18页)