1求幂级数的收敛半径与收敛域

1求幂级数的收敛半径与收敛域 ????? 1．求幂级数的收敛半径与收敛域： n (1) ;nx, nn 解：an,,limlim1,an,,故级数的收敛半径为:而当时,级数发散,所以级数的收敛域R,1.x,,1nn,,,,nn 为(1,1)., nx (2); n,2n2 2n11a121nn，1 解: R2.,,故级数的收敛半径为当时,a,,limlim,x,,2,,,,,n2n21n，nn,,,,,n2an(1)212，n nx级数收敛,故级数的收敛域为 [2,2].,n,2n2 22nnnnn（3）limlimlim0,arr,,,，故收敛半径为：，收敛域为(,).,,，, ar,R,，,nnnnn,,,,,, 21n,(2)x,(4); ,(21)!n, 21n,21n，(2)x,axxn()(2)(21)!,,n，1 解:ax(),,limlim0,,,,,,xR故级数的收敛半径为R,，,,n21n,nn,,,,(21)!n,axnx()(21)!(2)，,n (,).,,，,收敛域为 nnnn，，113(2)||a3(2)，,n，,n，1（5）a,，，故收敛半径为 ,,,,limlim3,nnnnn,,,,n||13(2)an，，,n111R,,。当时，级数 x，,,13,3 nnnnn,,3(2)3(2)1(1)12，,，,,nnn(1)()()x，,,,，, ,,,,,33nnnn,, 1收敛，当x，,1时，级数 3 nnnn3(2)3(2)1112，,，,,nnn,,(1)()()x，,,，, ,,,,,33nnnn,, 1142。 ,,，,,,,,xx1,即3333 111发散，故级数的收敛域为：nnnnn（6）11,,,,,nanlim1n,,,,lim1a，则有，而，故 a,，，，1nnn,,,,nnn2n 1级数的收敛半径为：R1.,,xx,,,11或时,而当级数发散，故级数的收敛区域为（-1，1）。 , 2．求幂级数的和函数：（1）设原级数的和函数为,则 fx() 242nfxxxx'()1,，，，，， （1） （1）式右端级数的收敛半径为：，而当和时，原级数发散，故原级数的收敛域为：（-1，1）。 x,1x,,1R,1 1 又（1）式右端级数的和函数为：，进而原级数的和函数为： 21,x xx111，x ftdtdtx'()ln,(1,1).,,,,2,,00121,,tx nn（2）annann,，,，,(1),limlim(1)1,级数的收敛半径为：。当时，级数发散，所以x,,1R,1nn,,,,nn ,n级数的收敛域为：（-1，1）。设其和函数为fxnnx()(1),，fx(),，则 ,,n1 2,,xxx21,nnftdtnntdtxnx()((1)),，,, 2,,00,,x11,,(1),nn ,2,,xx2 fxx(),(1,1).,,,,,,23(1)(1),,xx,, ,n3．证：因fxaxxR()||,,在||xR,收敛，则当时， n,,n1 ,,,xxxa，nnn1n()()()(),,,,Fxftdtatdtatdtx nn,,,,,,000,,,nnn000，1n 依题意，上式右端级数当收敛，故Fx()在左连续，进而有 xR,xR, ,Ra，n1nlim()()(),,,FxFRfxdxR。 ,,,0,xR,n0，1n n,,(1),1n，1nnn取()(1)a,,(1)xfxx,,,||1x,，则在时收敛，又级数当时收敛，xR,,1n,,，11n,,n，x0n0 nn,1,,111(1),(1),由上述结论(),,ln2,fxdxdx，即。 ,,,,0011，，nn,1,xn0n nnn,1,,,11(1),1(1),(1),n，1(),,ln2,xfxdxdx当x=R=1时收敛，由上述结论，即。 ,,,,,00，111，，nnn,1,,nxn00n ,,nn4.证明:设axax为幂级数在上的和函数,若为奇函数,则仅出现奇次幂的项;若为偶函f(,),RRff,,nn,,n0n0,n数,则ax仅出现偶次幂的项. ,n,n0 ,n证:由题设有fxaxxRR(),(,).,,, n,,n0 若为奇函数,则有fxfxxRR()(),(,),,,,,,进而有 f ,,,nnn2axaxaxxRR()20,(,),,，,,,,fxfxxRR()()0,(,),,，,,, nnn2,,,,,,nnn000 即得an,,0,0,1,2,. 2n 5．设函数在区间内的各阶导数一致有界，即存在正数，对一切xab,(,),有 f(,)abM ()n|()|,1,2,.fxMn,, 证明：对xx内任一点与有 (,)ab0 ()n,fx()n0(0)fxxx()(),,(()(),0!1).fxfx,, 0,n!n0, 证：由泰勒公式，得 ()nkfx()n0fxxxRx()()(),,， (1) 0k,n!n0, (1)k，f(),k，1其中Rxxx()(),,xx（,介于与之间）. k00(1)!k， 由题设,有 (1)11kkk，，，fMba()(),,,k，1|()|()0()Rxxxk,,,,,, k0(1)!(1)!kk，， (1)式中,令k,,,即得 ()n,fx()n0fxxx()(),,. 0,n!n0, 处的幂级数展开式，并确定收敛于该函数的收敛区域 x,0 2x (1) ;e 6.利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在 n22nn,,,2x()xxxx 解:因exex,(,),,,,,，,,(,),,,,,,，,所以 ,,,nnn!!nnn00,,,!0 10x (2) ; 1,x 10,,x110，nn 解:因xx,(1,1),,,,,(1,1).,,,xx所以 ,,x10,,1,,xnn0 x(3) . 12,x 1113135,,,23 因 ,,，,，,,,1,11.tttt 224246,,,1，t 1113135,,,23 故 ,，，，，,,,,1(2)(2)(2),121.xxxx 224246,,,12,x ,xn113135(21)!!11,,,,，2341n即得 ,，，，，,，,,,xxxxxxx,. ,,1n112123!22,,,n12,x nnn21,,,11(1)(1)2,,,222nn(4) sin(1cos2)[1(2)],(,),,,,,,,，,xxxx ,,22(2)!(2)!nn,,01nnxe (5) ; ,x1 n,xxex,,,,，, , (,) ,nn,!0 ,1n,,,xx, (1,1). ,,n,x10 ,,,n1nnn 注意到()()()axbxabx,,ab,,,1,故得 nnknk,,,,,knk,,,,,nnnkk!0001 xn,e1n(),(1,1).xx,,, ,,1!xknk,,,00 ,,11x111nnnn,||1;,,xx,,,,xx (1)2,|2|1. ,,(),,,21,,,xnn，x12123112，,,，xxxx00 所以 （6） ,x11nnn,,,,[1(1)2],||.xx ,2,n，,1232xx0 2(1)n,,sinttn,1 （7）(1), (,).t,,,,,，,所以 ,tn(21)!n,1, nn,,121,xsin(1)tx,dt,,, x,,,，,(,). ,0,tnn(21)!(21),,n,1 ,x (8) (1);，xe(略) 12,2,22 （9）设,fxx()(1).,，(1)，x(1)，x注意到应用的展开式，可得的展开式。 fxxx()ln(1);,，， 7. 求下列函数在处的泰勒展开式: x,1 23 (1) fxxxx()3247;,，,， ()n 解: ,,,,,,fffffn(1)9,(1)16,(1)34,(1)42,(1)0,4,,,,,,, 所以 ,,,,,,fff(1)(1)(1)23233247(1)(1)(1)(1)，,，,，,，,，,xxxfxxx 1!2!3! 23 ,，,，,，,916(1)17(1)7(1).xxx 1 (2) fx().,x ,11nn 解: fxx,,,,,()(1)(1),|1|1,x,, 即 豆丁致力于构建全球领先的文档02.,,x,,nxx，,1(1)0 发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲 等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。 豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。