2010年全国
高考
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理科数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
及
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
-安徽
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姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
绝密?启用并使用完毕前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分(考试用时120分钟(
注意事项:
1(答卷前,务必在
试题
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卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对
答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致(务必在
答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位(
2(答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑(如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号(
3(答第?卷时,必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、((((
笔迹清晰(作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑(((
色签际笔描清楚(必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案(((((((((((
无效,在试题卷、草稿纸上答题无效( (((((((((((((((
4(考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交(
参考公式:
如果事件A与B互斥,那么
如果A与B是两个任意事件,,那P(A),0P(A,B),P(A),P(B)
么
如果事件A与B相互独立,那么 P(AB),P(A)P(B|A)
P(AB),P(A)P(B)
第?卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的(
i,(1)是虚数单位, i
3,3i
13131313,i,i,i,(A) (B) (C) (D) 4124122626
1A,{x|logx,}CA,(2)若集合,则 1R22
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,,,,22,,,,(A)(,,,0],,,, (B) ,,,,,,,22,,,,
,,,,22,,(C)(,,,0],,,, (D) ,,,,,,,22,,,,
11(3)设向量,则下列结论中正确的是 a,(1,0),b,(,)22
2a,b, (A) (B) (C)垂直 (D) a,b与b|a|,|b|a//b2
(4)若是R上周期为5的奇函数,且满足则= f(x)f(1),1,f(2),2,f(3),f(4)
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
22x,2y,1(5)双曲线方程为,则它的右焦点坐标为
256(3,0)(,0)(,0)(,0) (A) (B) (C) (D) 222
2f(x),ax,bx,c(6)设,二次函数的图象可能是 abc,0
,,,x23cos,,(7)设曲线C的参数方程为(为参数), ,y,,1,3sin,,
llx,3y,2,0直线的方程为,则曲线C到直线的距
710离为的点的个数为 10
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(8)一个几何全体的三视图如图,该几何体的表面积为
(A)280 (B)292
(C)360 (D)372
22x,y,1A(x,y)(9)动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.
13(,)0,t,12已知定时t=0时,点A的坐标是,则当时,动点A的纵坐标y关于22
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t(单位:秒)的函数的单调递增区间是
(A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]、
是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,(10)设{a}n
则下列等式中恒成立的是
(A) (B) Y(Y,X),Z(Z,X)X,Z,2Y
2 (C) (D) Y(Y,X),X(Z,X)Y,XZ
(在此卷上答题无效) 绝密?启用并使用完毕前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第?卷(非选择题 共100分) 考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效( ((((((((((((((二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分(把答案填在答题卡的相应位置(
(11)命题“对任何”的否定是 ( x,R,|x,2|,|x,4|,3
6,,xy3,,x(12)的展开式中,的系数等于 ( ,,,yx,,
2x,y,2,0,,
,8x,y,4,0,(13)设满足约束条件若目标函数的最大值z,abx,y(a,0,b,0)x,y,
,x,0,y,0,,
a,b为8,则的最小值为 (
x,(14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 ( (15)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红
球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,
分别以A,A和A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球 123
的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球
是红球的事件,则下列结论中正确的是 (写出所有正确结
论的编号)(
2()PB, ?; 15
5(|)PBA, ?; 111
?事件B与事件A相互独立; 1
?A,A,A是两两互斥的事件; 123
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?的值不能确定,因为它与A,A,A中究竟哪一个发生有关( P(B)123
三、解答题:本大题共6小题,共75分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解
答写在答题卡上的指定区域内(
(16)(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角A,B,C所对边长,并且,ABCa,b,c
,,22sinA,sin(,B)sin(,B),sinB. 33
(?)求角A的值;
(?)若,求(其中)( b,cb,cAB,AC,12,a,27
(17)(本小题满分12分)
xf(x),e,2x,2a,x,R.设a为实数,函数
(I)求的单调区间与极值; f(x)
xe,x,2ax,1.a,ln2,1且x,0 (II)求证:当时, 2
(18)(本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF?FB,AB=2EF,
,BFC,90:,BF=FC,H为BC的中点.
(I)求证:FH//平面EDB;
(II)求证:AC?平面EDB;
(III)求二面角B—DE—C的大小.
(19)(本小题满分13分)
1e,.已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F,F在x轴上,离心率 122
(I)求椭圆E的方程;
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(II)求的角平分线所在直线的方程; ,FAFl12
(III)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点,若存在,请找出;若不存在,l
说明理由.
(20)(本小题满分12分)
a,?设数列a,a,?,中的每一项都不为0. n12
证明,{a}为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有n,Nn
n111? ,,,,.aaaaaaaa1223nn,11n,1
(21)(本小题满分13分)
品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外
观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其
记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.
根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
a,a,a,a现设n=4,分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二1234
次排序时的序号,并令
X,|1,a|,|2,a|,|3,a|,|4,a|. 1234
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(I)写出X的可能值集合;
a,a,a,a (II)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列; 1234
(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有, X,2
(i)试按(II)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何,说明理由.
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参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的(
(1)B (2)A (3)C (4)A (5)C
(6)D (7)B (8)C (9)D (10)D
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分(把答案填在答题卡的相应位置(
xxx,,R,-2-4|3使得||+|(11)存在
24CC或(12)15(若只写,也可) 66
(13)4 (14)12 (15)??
三、解答题:本大题共6小题,共75分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解
答写在答题卡上的指定区域内(
(16)(本小题满分12分)
本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的
数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力.
313122sin(cossin)(cossin)sinABBBBB,,,, 解:(I)因为 2222
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313222,,,,cossinsin,BBB444
,3所以又为锐角所以sin,,.AAA,,,23
ABAC,,12 (II)由可得
? cbAcos12.,
,A,, 由(I)知所以 3
? cb,24
222acbcbAa,,,,2cos,27将由余弦定理知及?代入,得
,()100cb,,?+?×2,得,所以
cb,,10.
2tt,,,10240因此,c,b是一元二次方程的两个根.
解此方程并由cbcb,,,知6,4.
(17)(本小题满分12分)
本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等
式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
xx,fxexaxfxex()22,()2,.,,,,,,,RR知 (I)解:由
,,fxxxfxfx()0,ln2.,(),(),,得于是当变化时令的变化情况如下表:
x ln2(,ln2),, (ln2,),,
— 0 + ,fx()
单调递减 单调递增 fx() 2(1ln2),,a
fx()(,ln2),,(ln2,),,故的单调递减区间是,单调递增区间是,
fxx()ln2在,处取得极小值,
ln2feaa(ln2)2ln222(1ln2).,,,,,,极小值为
x2gxexaxx()21,,,,,,,R (II)证:设
x,gxexax()22,.,,,,R于是
,,agxga,,,,,,ln21,()(ln2)2(1ln2)0.时最小值为由(I)知当 中小学学习资料网 www.5x-news.cn
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, 于是对任意都有所以在内单调递增xgxgx,,RR,()0,(),
于是当 axgxg,,,,,,ln21,(0,),()(0),时对任意都有
而 gxgx(0)0,(0,),()0.,,,,,从而对任意
xx22exaxexax,,,,,,,210,21.故即
(18)(本小题满分13分)
本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利
用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
[综合法](1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,
11 又H为BC的中点, ??GHABEFABEFGH//,//,//.又22
?四边形EFHG为平行四边形,
?EG//FH,而EG平面EDB,?FH//平面EDB. ,
(II)证:由四边形ABCD为正方形,有AB?BC,又EF//AB,
?EF?BC.
而EF?FB,?EF?平面BFC,?EF?FH,?AB?FH.
又BF=FC,H为BC的中点,?FH?BC.
?FH?平面ABCD,?FH?AC,
又FH//BC,?AC=EG.
又AC?BD,EGBD=G,?AG?平面EDB. , (III)解:EF?FB,?BFC=90?,?BF?平面CDEF,
在平面CDEF内过点F作FK?DE交DE的延长线于K,
则?FKB为二面角B—DE—C的一个平面角.
32设EF=1,则AB=2,FC=,DE=
2又EF//DC,??KEF=?EDC,?sin?EDC=sin?KEF= .
3
BF2,3,?FK=EFsin?KEF=,tan?FKB=??FKB=60? FK3
?二面角B—DE—C为60?.
[向量法]
?四边形ABCD为正方形,?AB?BC,又EF//AB,?EF?BC.
又EF?FB,?EF?平面BFC.
?EF?FH,?AB?FH.
又BF=FC,H为BC的中点,?FH?BC,?FH?平面ABC.
HBx为HFz为以H为坐标原点,轴正向,轴正向, 中小学学习资料网 www.5x-news.cn
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建立如图所示坐标系.
设BH=1,则A(1,—2,0),B(1,0,0),
C(—1,0,0),D(—1,—2,0),E(0,—1,1), F(0,0,1).
(I)证:设AC与BD的交点为G,连GE,GH,
GCEHFHFGE(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.,?,,?又则
平面EDB,HF不在平面EDB内,?FH?平面EBD, GE,
ACGEACGEACGE,,,,,?,(2,2,0),(0,0,1),0,. (II)证: 又AC?BD,EG?BD=G,?AC?平面EDB.
BEBD,,,,,,(1,1,1),(2,2,0). (III)解:
nyz,(1,,),设平面BDE的法向量为 111
则 BEnyzBDny,,,,,,,,,,,10,120,11111
?,,,,,yzn1,0,(1,1,0).即111
CDCE,,,,(0,2,0),(1,1,1),
设平面的法向量为则CDEyzCDynn,,,,(1,,),0,0,22222
故n,,(1,0,1),2
nn,1112cos,,,,,,,nn12||||2nn,22,12
?,,,nn,60,12
即二面角B—DE—C为60?.
(19)(本小题满分13分)
本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,
点到直线的距离公式,点关于直线的对称等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合
运算能力、探究意识与创新意识.
22xy,,1解:(I)设椭圆E的方程为 22ab
11c2222由即得eacbace,,,,,,,,2,3,22a 22xy?,,椭圆方程具有形式1.2243ce
13,,,1,2,解得c将A(2,3)代入上式,得 22cc
22xy,,1.?椭圆E的方程为 1612
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(II)解法1:由(I)知,所以 FF(2,0),(2,0),12
3直线AF的方程为: yxxy,,,,,(2),3460,即14
直线AF的方程为: x,2.2
由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数. 设上任一点,则 Pxyl(,)为
|346|xy,, ,,|2|.x5
若(因其斜率为负,舍去). 346510,280xyxxy,,,,,,,得
所以直线l的方程为: 210.xy,,,
解法2:
AFFAFAF(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).,?,,,,,1212
AFAF11412?,,,,,,,,(4,3)(0,3)(1,2). 535||||AFAF12
?,?,,,,,,klyxxy2,:32(1),210.即1
(III)解法1:
BxyCxy(,)(,),和假设存在这样的两个不同的点 1122
yy,121BClk,?,,,.BCxx,221
xxyy,,1212设的中点为则BCMxyxy(,),,,,,000022
210.xy,,,由于M在l上,故 ? 00
2222xyxy1122,,,,11.与又B,C在椭圆上,所以有 16121612
2222xxyy,,2121,,0,两式相减,得 1612
()()()()xxxxyyyy,,,,12211221,,0.即 1612
xxyyyy,,,11122112,,,,,0将该式写为, 8262xx,21
k并将直线BC的斜率和线段BC的中点,表示代入该表达式中, BC
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11得 ? xyxy,,,,0,320.即0000812
?×2—?得,即BC的中点为点A,而这是不可能的. xy,,2,320
?不存在满足题设条件的点B和C. 解法2:
假设存在, BxyCxyl(,),(,)两点关于直线对称1122
1lBCk,?,,则 ,.BC2
221xy设直线的方程为将其代入椭圆方程BCyxm,,,,,,1, 21612
12222得一元二次方程 34()48,120,xxmxmxm,,,,,,,,即2
则xx与是该方程的两个根, 12
由韦达定理得xxm,,, 12
13m于是 yyxxm,,,,,,()2,121222
mm3?B,C的中点坐标为(,). 24
3m又线段BC的中点在直线 yxmm,,?,,,21,1,4.上得4即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.
?不存在满足题设条件的相异两点.
(20)(本小题满分12分)
本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能
力.
证:先证必要性
{},0,add的公差为若,设数列则所述等式显然成立, n
d,0若,则
111,,,aaaaaa12231nn,
aaaa,,aa,1321nn,21,,,,()daaaaaa12233nn, 1111111(()()()),,,,,,,daaaaaa12231nn,
,aa1111n,11,,,()daadaa1111nn,,
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n ,.aa11n,
再证充分性.
证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切n,N都成立,首先,在等式 ,112 ? ,,aaaaaa122313
两端同乘aaaaaaaaa,2,,,即得所以,,成等差数列, 123132123
daad,.则,,记公差为 21
aakdnk,,,,,(1),1当假设时,观察如下二等式 k1
1111k, ? ,,,,,aaaaaaaa1223112kk,
1111k,,,,,, ? aaaaaaaaaa12231111kkkkk,,,
将?代入?,得
kk,11 ,,,aaaaaa1111kkkk,,
aaakaaka,,(1).得,,,在该式两端同乘 11111kkk,,
aakdaakd,,,,,(1),,.代入其中整理后得将 kk111,
naand,,,,N都有(1),由数学归纳法原理知,对一切 ,n1
{}ad是公差为所以的等差数列. n
证法2:[直接证法]依题意有
111n,,,, ? ,aaaaaaaa1223111nnn,,
11111n,,,,,,. ? aaaaaaaaaa122311212nnnnn,,,,
?—?得
11nn,,,, aaaaaannnn,,,,121211
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在上式两端同乘 aaaanana,(1),得,,,112111nnnn,,,,
同理可得 ? anana,,,(1),11nn,
?—?得2()nanaa,, nnn,,12
即是等差数列, aaaaa,,,,{}所以nnnnn,,,211
(21)(本小题满分13分)
本题考查离散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概括能力、应用与创新意识.
解:(I)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}.
在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,所以aa,中的奇数个数等于aa,中的偶数个2313
|1||3||2||4|,,,,,,aaaa与数,因此的奇偶性相同, 1334
Xaaaa,,,,,,,,(|1||3|)(|2||4|)从而必为偶数. 2324
X的值非负,且易知其值不大于8.
容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.
(II)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列,计算每种排列下的X值,在等可能的假定下,得到
X 0 2 4 6 8
13794P 2424242424
41 (III)(i)首先,将三轮测试都有的PXPXPX(2)(0)(2),,,,,,,X,2246
概率记做p,由上述结果和独立性假设,得
11 p,,. 32166
15 (ii)由于p,,是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试2161000
都有的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,X,2
不是靠随机猜测.
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