方差公式的应用

方差公式的应用 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 方差公式的应用 刘君 王永会 方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下: 2 若为一组数据xxxx，，？的平均数，S为这组数据的方差，则有 x123n 1122222222 Sxxxxxxxxxnx,,，,，，,,，，，,[()()()][)]？？12nn12nn 22 由方差定义公式，显然有，当且仅当时 S,0xxx,,,？S,012n 1. 求值 例1. 已知实数x、y、z满足 xy，,,,361, ,2xyxyz，,，,,,32202, 2yz， 试求x的值。 2xyz,，,,33 解:<1>,<2>得: 222xyxy，,,,,()33664,,1 得: 222xyz，,,()3186 将<3>代入<4>得:，把x，3y视为一组数据，由方差公式，得 xy1，3112222222 Sxyzz,，,，[()()]()32,,,，,,186632222 22 因为S,0,,30z，所以 2S,0 所以z,0，所以 xy,,31， 所以代入<1>得 xy,3 22yz，x,,39 所以 2. 解方程 例2. 解方程 4129()xyzxyz，,，,,，，， 解:设，则 xaybzc,,,,,，，12 222xaybzc,,，,，，，12 原方程可化为 1 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 222412()abcabc，，,，，， 222abcabc，，,，，,412() 所以 由方差公式，得a、b、c的方差为: 1122222 Sabcabc,，，,，，[()()]33 112 ,，，,,，，[()()]412abcabc33 12 ,,，，,()abc69 2 因为 S,0 2()abc，，,,60 所以 所以 abc，，,6 2 所以S,0，从而 abc,,,2 故xyz,,,456，，，经检验xyz,,,456，，是原方程的解。 3. 解方程组 例3. 解关于实数x、y、z的方程组 23131xyz，，,,,, ,222492153822xyzxyz，，,，，,,,, 解:由<1>得 23316xyz，，,,() 222()()2334104xyzz，，,,,， <1>，<2>，得 233xy，， 由方差公式，得的方差为: 112222 Sxyxy ,，，,，，[()()()]23323322 1122,,,，,,[()()]zzz41041622 32,,,()z44 322S,0 因为，所以,,,()z40 4 2()z,,40 所以 2S,0 所以，所以 z,4 233xy,， 所以 2 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 把代入<1>得y,1，从而x,3，所以 zxy,,，4233，xyz,,,314，， 4. 证明不等式 12222 例4. 已知，求证: xyzaxyza，，,，，,3 222xyzw，，, 证明:设，由方差公式，得x、y、z的方差为 1111222222 Sxyzxyzwa,，，,，，,,[()()]()3333 1122 因为，所以 S,0()wa,,033 1122222，即 所以wa,xyza，，,33 5. 证明等式 2 例5. 已知实数a、cab,,9b、c满足，，求证:a,b ab,,6 证明:由已知得 ab，,6 2222ababcc，,,,,，,,3623629182() 由方差公式，得实数a、b的方差为 11112222222 Sababcc,，,，,,,，,,[()()][()]18262222 22S,0,,c0 因为，所以 2S,0 所以c,0，所以，则a,b 6. 求字母的取值范围 例6. 设实数a、b、c满足 2,abca,,，,,,8701, ,22,bcbca，，,，,,,6602, 则a的取值范围是_________。 解:<1>，<2>得 222bcaa，,,，,1413 22()()bca，,,1 <2>,<1>得 由方差公式得b、c的方差为 112222Sbcbc ,，,，[()()]22 3 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 1122,,，,,,[()()]aaa1413122 32,,,，()aa1094 2 因为 S,0 32 所以 ,,，,()aa10904 2 所以aa,，,1090 解得 19,,a 7. 求最值 122224545xxyy,，,Sxy,，,，设，则_______。 例7. 实数x、y满足Smax 22xyt，, 解:设，由方差公式得x、y的方程 xy1，2222 Sxy,，,[()()]222 221xxyy，，222,，,[()]xy22 22()xyxy，,2,4 txy,2 , ? 4 224545xxyy,，, 因为 22545xyxy,，,() 所以 4,22 所以xyxyt,，,,()1,1，代入?，得 55 8tt,，2t,，31025 S,,,0420 所以 3100t,, 1010 所以t,，即S, max33 13, 所以 S10max 8. 判断三角形形状 4 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 2 例8. 设的三边a、b、c满足:，，试问是什么三bcaa,,，1252,ABCbc，,8,ABC 角形(按边分类),并证明你的结论。 解:为等腰三角形，证明如下: ,ABC 222 由已知得bcbcaa，,,,,，,64222440 由方差公式得b、c的方差为 112222 Sbcbc,，,，[()()]22 1122,,，,,，[()]22440aa8 22 2,,,,()a60 222,,,()a60 因为，所以，所以，所以 S,0S,0a,6 所以 bc,,4 故是以a为底，以b、c为腰的等腰三角形。 ,ABC 练习: 1. 已知的三边a、b、c满足(1);(2);(3)b是正整数;(4),ABCabc,,2bac,， 222abc，，,84，求b的值。 1222 2. 已知，求证: xyz，，,1xyz，，,3 2222 3. 实数a、b、c、d满足，abcd，，，,28，求a值范围。 abcd，，，,10 xyz，，,3, ,222xyz，，,3 4. 解方程组 , ,555xyz，，,3, 222xxx，，，？xxxx，，？ 5. 设都是正整数，且满足xxx，，，,？95，则的最1219123191219大值为___________ p222mnp，, 6. 设m、n、p为正实数，且，求的最小值。 mn， yxx,，，,11sinsin 7. 求的最大值。 323222abc，，, 8. 已知a、b、c为abc的三边，若，，试判断此三角形，，,,ABC22 的形状。 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : 1. b,5 2. 略 5 www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在苏州中学网校 3. 14,,a x,1,, 4. y,1 , ,z,1, 5. 5947 2 6. 2 7. 2 8. 为等边三角形 ,ABC 6