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幂级数及和函数.doc

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上传者: 笑晓赖 2017-10-15 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《幂级数及和函数doc》,可适用于综合领域,主题内容包含幂级数及和函数第五节幂级数及和函数,当函数项级数中的u(x),n,nnau(x),a(x,x),其中为常数x,Rnnn(n,,,?),称,nna(x符等。

幂级数及和函数第五节幂级数及和函数,当函数项级数中的u(x),n,nnau(x),a(x,x),其中为常数x,Rnnn(n,,,?),称,nna(x,x),aa(x,x)a(x,x)?a(x,x)?,nnn,()(x,x)x,为关于幂的级数,当时称,nnax,aaxax?ax?,nn,n()为关于幂的级数xy,x,x只要引入新变量()式即可化为()式形式,因此,我们只要研究形如()式的幂级数就行了,nnR由幂级数中ax在上有定义,axn,nn,,nn那么在哪些点收敛呢我们知道ax与ax,nnn,nax有公因式,因此,我们可用绝对值的比值判别法,nnaxann由,lim,limxn,,,,nnaaxnnaann()若lim存在且不为,则极限lim也存n,,n,,aann在且不为,于是aannxlim,x,lim当即时,幂级数n,,n,,aann,n绝对收敛ax,nn,aannxlim,x,lim当即时,幂级数n,,n,,aann,n发散ax,nn,aann当lim,即,lim时,本方法失xxn,,n,,aann效,ann从而我们发现lim是收敛与发散的分ax,nn,,an,nan,lim界线,设R,n,,an,n(,R,R)则在内绝对收敛当时发axx,R,nn,散是否收敛需用其它方法判别下面我们再x,RR讨论值的极端情形anR,lim,()若有n,,ananlim,,,于是n,,an,annlim,,,x当时发散axx,,nn,,an,n,annlim,,x当时收敛axx,,nn,,an,n,n(,),,即在内绝对收敛在时发axx,,nn,散aannlim,,lim,()若则n,,n,,aannanlim,,x于是对每一个,,x,Rn,,an,n(,,,,)即在内绝对收敛由此得到下面ax,nn,的定理,nax,nn,anlim,R,n,,an,n(,R,R)ax,R,,,nn,x,R,naxR,x,,nn,x,,nR,,(,R,R)ax,nn,naxaxnn()由,lim,lim,xn,,,,nnaRaxnn,xn,当即时级数绝对收敛axx,R,nRn,,xn,当即时级数发散axx,R,nRn,x,当即时本判别法失效需根据具体的x,RR级数用其它方法判别对(,)(,)情况的证明与分析(,)(,)一样同理可证有时还用下面定理,nax,nn,lim,Rnn,,an,n(,R,R)(,)ax,R,,,nn,x,R,n(,)axR,x,,nn,x,,nR,,(,R,R)(,)ax,nn,R(,R,R)因此我们称为幂级数的收敛半径称为幂级的收敛区间,nD设幂级数的收敛域为有ax,nn,(,R,R),D,,R,RD(,R,R)所以收敛域是收敛区间与收敛端点的并集anaalim注若与有公因式并且存在(或),,nnn,,an用定理求Ra若中有n次方并且存在(或),用,limnnn,,anR定理求对于不是标准形式的幂级数应用绝对值的比值判别R法或绝对值的根值判别法求求下列幂级数的收敛半径收敛区域及收敛域:n,,x,nnn()()(,)ax,,n,,nn(,a,)nnn,,(,)xn()()(x),,n!n,,nnn,(x,)(),nn,,n()由n,(,)annnlim,lim,lim,,R,n,,n,,n,,annn(,)n,,,,n由时收敛时发(),x,x,,,,nn,,nn散,(,,)故收敛半径收敛区间是收敛域是R,,,,,,,limlim()由,故收敛半nn,,n,,nanaR,,(,,,,)径收敛区间是收敛域是(,,,,)()由an!n,lim,lim,lim(n),,,Rn,,n,,n,,an(n)!R,,(,,,,)故收敛半径收敛区间是收敛域(,,,,)是()由nn,()nnnan(,)n,,,,,Rlimlimlimnnnnn,,n,,n,,an,(),()nn,故收敛半径收敛区间是(,,,)当R,时x,,级数为n()nnn,,,()(),,n(),,,,,,,nnnn,,,nnnn()n,,(,)由级数条件收敛而对于级数,由,,nn,,nnnn()()lim,,于收敛n,,nnnn,(,)n因此时级数收敛,x,,(x),n,n当时幂级数为x,,n(,)nn,,,,()n(),,,,nnn,,,nnn由于上式右端第一个级数发散第二个级数收敛所,,,,,,以原级数发散故收敛域是,()此级数缺项级数不符合公式的要求我们可直利用绝对值的比值判别法由nx,()nux,n()x,n()n,,,,limlimlimnn,,n,,n,,unx,()nnn,,x,当即时幂级数绝对收敛,x,,时幂级数发散所以收敛半径x,,R,(,,)收敛区间是n,,(),当时幂级数为发散,x,,,,nnn,,,nnn,,当时幂级数为发散,故收敛,x,,,nnn,,,nn(,,)域是R对于求不是标准形式幂级数的收敛半径也可以先作变量代换化成标准形式然后用公式来求收敛半R径对于()我们也可采取下面的解法nn,,(x,)y设有由(x,),y,,,nnnn,,,nnna,nn,lim,lim,n,,n,,ann()nn,y所以当时绝对收敛当时发y,y,,nn,,nn,(x,)散因此当,即(x,),x,,,nn,,n时绝对收敛时发散故x,,R,以下求收敛区间收敛域方法相同SxS,S(x),nax,nn,R,(,R,R)S(x)(,R,R)(,R,R)nS(x),aaxax?ax?,n,()则x,RS(x)(i)在上连续x,R(ii)dn,S(x),aax?ax?ndxdddn,aax?ax?ndxdxdxn,,aax?nax?,n()x,R(iii)xxnS(x)dx,aax?ax?dxn,,xxxn,adxaxdx?axdx?n,,,aann,axx?x?,x,Rn()x,(,R,R)*()只要证明对每一个时x,xS(x)在处连续x,(,R,R)R当取一正数使x,R,RR,(,R,R)x,R由有幂级数在绝对收敛即,,nn收敛aR,aR,,nn,,nnnnx,,R,R对一切,有由ax,aRnn,n收敛,aR,nn,n,R,R,R,R则级数在上一致收敛且ax在n,R,RS(x)上连续,由第四节定理知在上连续x,(,R,R)S(x)由所以在上连续,R,RR()对于任意取一正数使x,(,R,R),x,R,R,R,R由()知级数在上一致收敛由第四节定理知可以由到逐项积分即时xx,R,,,xxxannnnfxdxaxdxaxdxx(),(),,,,,nn,,,nn,nn,,,(),,设幂级数()的收敛半径为有RR,Rnn,,(ax),nax()由下面证明nn,n,在内绝对收敛事实上任给naxx,R,nn,Rx,(,R,R)取一正数使,于是x,R,Rn,xnnn,,,naxaRnnRRnxnRRx由时,由比值判别lim,,x,Rn,n,,RxnRR法知n,n,,nxnx收敛从而于是lim,,n,,RRRRn,N,n,N存在当时有n,nxnn,,,于是nax,aRnnRR,,nn,x,(,R,R)由收敛所以在aRnax,,nnn,n,(,R,R)绝对收敛即在内绝对收敛由第四节定理(,R,R)知级数在内逐项可导即,,,nn,,S(x),(ax),nax,,nn,,nn(),,,,设()的收敛半径为则RR,R,,annn,,现证由,R,R(x),ax,,nn,,nn,,,由()知,又,所以R,RR,RR,R,,再证由R,R,,xn,n,naxdx,ax,,nn,,,nn,,,,,,由()知,又,所以R,RR,RR,Rs(x)(,R,R)(,R,R)S(x)Rn,,S(x),aaxax?nax?nn,,,S(x),a,ax?n(n,)nax?n(n)S,n!a(n)n(n,)?ax?(x)nnS(x)S(x)x,x,n()()Sa,S(),,,ann!n,,,,?S(x)这个推论表明若级数()在上和函数(,R,R)在的各阶导数所唯一确定x,,n同理若则S(x),a(x,x),n,n(n)S(x)a,(n,,,,?)nn!,,nn设为两个幂级数,axbx,,nnn,n,,,nnaxbxx,,,nnn,n,,,nnaxbxx,,,nnn,n,a,b,n,,,,?nn,,nnaxbx,,nnn,n,RRba,,nn,,ax,,axx,R,,ann,,nn,,,nnn,x,Rax,bx,(a,b)x,,,nnnn,,,nnn,,,nnn,(ax)(bx),cx,,,nnn,,,nnnx,Rn,,R,minR,Rc,ab,,abnknk,k,这个定理证明可由数项级数的相应性质推出,最后我们简略叙述一下幂级数的除法运算,nR,设幂级数的收敛半径分别为且ax,ann,,na,R设的收敛半径分别为,bx,bnn,,nbx,n,n,nc,cx记,为待求系数有,nn,n,nax,n,n,,,nnn,有bx,ax,cx,,,nnn,,,nnnnn,,,,?,b,ac,nknk,k,bb,ac解得c,ab,acac,解得bb,aaab,abc,,aac(n,,,,?)如此下去可求出n,nR但是必须注意,若的收敛半径为则cx,nn,,,R,minR,Rab求下列幂级数的收敛半径收敛区间收敛域及和函数n,,xn,()()nx,,nn,n,()求收敛半径除了用公式求也可以在求幂级数和函数的过程中利用本节定理来发现收敛R半径从而确定收敛区间与收敛域n,xx,(,R,R)设(),Sx,n,nS(),由本节定理知n,,x,n,,,S(x),(),x,x,,,n,x,,nn(,,)所以收敛区间为当时R,x,,n,(,)收敛,,n,n,,,,当时发散故收敛域为x,,n,nx,,,S(x)dx,S(x),S()由,即,x,(这个,S(x)S()S(x)dx,公式要记住以后要经常用同理在求,nS(x)的和函数时有a(x,x),n,nx,)S(x),S(x)S(x)dx,xxS(x),dx,,ln(,x)有,,,xx,(,,),ln(,x)由级数在处收敛在处连x,,x,,续所以n,x,,,ln(,x),n,n,x,,,,nx,(,R,R)S(x)注设,S(x),ax,n,n是初等函数表达式,nS(x)()若在处收敛在axx,,R,nn,处连续则x,,R,nS(,R),a(,R),n,n,n()若在处收敛且axx,,R,nn,,nS(x)在处不连续则a(,R),cx,,R,n,nS(x),RxR,,,,,,n在处也有axx,R,,,nc,xR,,,n,,类似的结果,证明略,,nx,(,R,R)()设,S(x),nx,,n,,xxxn,n,S(x)dx,nxdx,x,,,,,,xnn,,x,(,,)收敛区间是当时?R,x,,,n,,nlimn(,),,由,n(,),n,,,n,,n(,,)所以发散故收敛域是n(,),,nxx,,()(())(),Sx,Sxdx,,,,x(),x,,nx,(,,)nx,故,,(,x),n这两题是重要的基本题有许多题目都可以转化为这两种类型或者用这两题的结果或者用这两题方法nn,,xx()(),x,,nn,,nn,nn,,xx,,当x,,nxn,,nn从而,ln(,x),,,,x,或,x,n,,,xx,,,nn,,x,,,nn,,xy(),xy,,nn,,nnn,,xn()()x,,,,n(n)nn,,nnnnnn,,,,xxxx,,,,,,,,nnnxn,,,,nnnnnnnn,,,,xxxx,,(,),,xx,,,,nxnnxn,,,,nnnnn,x,,(,),xn,n(x,),而时和为x,,,,nn()()nx,xnx,,,,nn,,nnnxx,yny,,,,nn(),,,,,,nnnnx,nx,(nx,),,,xx,,,nnn,,n,,,nx,xx,n(x,)时和为x,求幂级数,,,,aaaan()()?()n的和函数ax,n!,n是任意的常数设,,,,aaa?an()()()n,,fxx(),n!,n由??a(a,)(a,)(a,n)a(a,)(a,)(a,n,)limn,,n!(n)!n(,,)即所以收敛区间为,lim,R,n,,,an逐项求导得,aaa?an(,)(,)(,),n,fxx(),,n(,)!,n,,,,aaa?an()()()n,x,n!,n,,,,aaa?an()()()n,ax,n!,n两边同乘以得x,,,,aaa?an()()()n,,xfxaxx(),n!,n,aaa?an(,)(,)(,)n,x,,n(,)!,n上下两式相加得,a(a)(a)?(an)a(a)(a)?(an),,,,,,nn,(x)f(x)axx,,n!(n)!,,n,a(a,)(a,)?n,a(a,n)x,n!,n,,,,aa?an()()()n,,aax,n!,n,(x)f(x),af(x)即有,或,f(x)a,两边积分有(x,),f(x)x,xxf(x)adx,dx,aln(x),,,f(x)x于是lnf(x),lnf(),aln(x),由f(),,有a即lnf(x),ln(x)af(x),(x)x,,a(a,)(a,)?(a,n)na,x,(x),n!,nx,从以上的例题我们可以得到求幂级数和函数常用的方法有:()利用幂级数的线性运算法则()利用变量代换()利用通过逐项求导再利用x,,S(x)S()S(x)dx,()利用通过逐项积分再利用x,S(x),(S(x)dx),利用幂级数的和函数我们还可以求数项级数的和n,,n,n()()求级数的和,n,nn,,,(,)(n,n)nn,n(n,)(,)(,),,,n,,,nnn,,,nn,,(,)n(n,)(,)(,),,,,nn,n其中,,,,(),,n,,n设,S(x),n(n,)x,,nx,(,R,R),xxxn,S(x)dxdx,x,x,,,,,xn,?R,x,,S(x),(),故,,x(,x)x,(,,)而有,,(,,),,n,nn,,,S,,,()()(),,n,()n,nn,,()()故,,,,nn,第六节函数展成幂级数现在我们要解决本章开始所提出的问题如何把f(x)表示成无限个幂函数之和即展成的幂级数xxf(x)由泰勒公式知设在的某邻域内具有阶导数则对于该邻域内的任一点有xn,,,f(x)f(x)f(x),f(x)(x,x)(x,x)?!!(n)f(x)n(x,x)R(x),nn!(n),f()n,其中介与R(x),(x,x)n(n)!x之间x(n),f(x)nf(x)若存在任意阶导数且(x,x),n!n,R的收敛半径为则(n),f(x)f(x)nf(x),lim(f(x))(x,x)?(x,x)R(x)nn,,n!n!,有(n),f(x)nf(x),(x,x)的充要条件:是,n!n,时limR(x),x,x,Rnn,,若,limR(x),,x,x,Rnn,,(n),f(x)nf(x),(x,x)limR(x)由,,kk,,n!n,(n),f(x)n,(x,x),x,x,R,n!n,反之当时当x,x,Rx,x,R(x),f(x)n,f(x),(x,x),n!n,()kf(x)n由,R(x),f(x),(x,x),kn!,n()nkf(x)nlimR(x),limf(x),(x,x),k,,,,kkn!,n(n)(n),,f(x)f(x)nn,(x,x),(x,x),,,n!n!nn,,因此有下面的定理f(x)x,x,R,()n,f(x)n(x,x),n!n,x,x,Rx,x,R(n),f(x)nf(x),(x,x),n!n,()(n),f()nlimR(x),lim(x,x),nn,,n,,(n)!()由泰勒公式知()kf(x)n,f(x),(x,x)R(x),kn!,n令有k,,(n)kf(x)nf(x),lim(x,x)R(x),kk,,n!,n(n),f(x)n(x,x)由在内收敛即x,x,R,n!n,()()nnk,f(x)f(x)nnlim(x,x),(x,x),,,,kn!n!,,nn若时由极其限运算知limR(x),x,x,Rkk,,(n),f(x)nf(x),(x,x),n!n,x,xf(x)()右边的级数称为在处的泰勒级数x,当时泰勒级数为nn()(),,,,ffff()()()()nnfxxx,x()??,nn!!!!,nf(x)称为的马克劳林级数f(x)由上面定理可知用定义把展成泰勒级数的步骤如下:n()f(x),n,,,,?()计算(n),f(x)n()写出对应的泰勒级数(x,x),,n!n,并求出该级数的收敛区间x,x,R()验证时limR(x),x,x,Rnn,,()(n),f(x)nf(x),(x,x),x,x,R,n!n!n()有时用定义展开比较麻烦或者f(x)不容易求或者证明比较困难limR(x),nn,,证明以下五个常用的马克劳林展开式nn,xxxx(),,,??ex,n!!n!n,x,(,,,,)()nn,xxxxnn,,,,,,sinx()x?()?,(n)!!!(n)!,nx,(,,,,),()nn,xxxxxnn,,,,,,cosx()?()?,(n)!!!!(n)!,nx,(,,,,),()nn,xxxxx,nnln(),(,),,,(,)xx??,nn,nx,(,,),,,,aaan()?()an(),xx(),n!,na(a,)a(a,)?(a,n)n,axx?x?!n!x,(,,,,),x(n)x()设f(x),e有f(x),e(n)n,,,,?f(),e,f(x)于是的马克劳林级数为(n)n,,f()xn,,x,,n!n!,,nnn,x(,,,,)由的收敛数区间为由任给,n!,nx,(,,,,),,en,,介于与之间,而Rxx(),xnn()!nxx,由,R(x),e,n(n)!nnxxxxxlime,,elim,e,,n,,n,,(n)!(n)!由夹逼定理知,limR(x),nn,,n,xxx,(,,,,)所以,,e,n!,nn,(n)f(x),sinxfxx()设有(),sin(),n,,,,?从而当nm,,,,n,()nf(),sin,,m当nm(,),,,,,,m,,,,?f(x)于是的马克劳林级数为mn,,xxmn收()(),,,,,,(m)!(n)!m,n,(,,,,)敛区间是任给,x,R,nsin(n)x,(n)f(),nR(x),x,n(n)!(n)!而nx,(),,Rxn()!n(n,,),由夹逼定理知所以limR(x),nn,,n,xnx,(,,,,),sinx,(,),(n)!n,n,xn()由,sinx,(,),(n)!,nx,(,,,,)在收敛区间内逐项求导有nn,,xxnn,,,,,,,(sinx)()(),,(n)!(n)!,,nn即n,xn,,,cosx(),(n)!,nx,(,,,,)n,xn由唯一性定理知,,,cosx(),(n)!,nx,(,,,,)n,x()由本节例知,,ln(,),x,n,n,x,,,用代换得x,xnn,,(,)xxn,,ln(),,(,)x,,nn,,nn,,x,从而nn,,xxn,n,ln(x),(,),(,),,nnn,n,,,x,n,xn由唯一性定理知,ln(x),(,),nn,,x,,,,nn方法由,,(,)x,x,n两边积分有,,x,,xxn,有dx,(,)dx,,,x,nn,xnx,(,,),ln(x),(,),nn,,nln(x)由时收敛在x,(,)x,,n,n处连续所以,n因此ln,(,),n,nn,xn,x,,,,ln(x),(,),nn,()由本节例证明了,,,aa?an()()an,,xx(),n!,nx,(,,)由唯一性定理知,,,aa?an()()an,,xx(),n!,nx,(,,)对于收敛区间端点的情形它与的取值有关(有a关结果的证明可参阅菲赫金哥尔茨著“微积分学教程”第二卷第二分册)(,,)当时收敛域为当时收a,,,,a,,,,,,敛域为,当时收敛域为a,以上几个基本函数的马克劳林展开式都非常重要要求能熟练掌握它们还有两个更经常用到的函数的马克劳林展开式也要记住,n,,xx,,,x,n,nn,,(,)xx,,x,n一般说来只有少数简单的函数其幂级数展开式能直接从定义出发得到它的马克劳林展开式更多的函数是根据唯一性定理,利用已知的函数展开式出发(尤其是上面提到了七个基本函数的马克劳林展开式)通过线性运算法则、变量代换或逐项求导、逐项积分等方法间接地求得函数的幂级数展开式实质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程求下列函数的马克劳林展开式arctanx()()()()xx()arcsinx,x,n()由,于是,(,)x,,x,n,nn,,(,)xx,,x,n,xxnn(),dx,(,)xdx,,,x,nn,xnx,(,,),arctanx,(,),nn,,narctan当时收敛x在x,(,)x,,n,n处连续,,narctanx当时收敛在x,,(,),n,n处连续因此x,,n,xn,arctanx,(,),nn,x,,,我们还可以求得数项级数的和,,n,,,()arctan,n,n(),,,,,?n()()(),,n,,xx(),xn!,n,,,,,,(n)(n)!!?nnnn,,,,()x()x,,,,n(n)!!?,,nnx,(,,),(),,,,nn()!!()!!nnn,,,,xx()(),,nn()!!()!!,,,xnnx,(,,),,xx,(n)!!n(),,dxxdx,,,(n)!!,,xn有,n(,)!!n,xxxarcsin,,nn()!!,nx,(,,)把下列函数展成马克劳林级数:x()()f(x),x,xxf(x),lnarctanx,x,x()xxf(x),,,,,xx,xx()()x,x,,,nnnnn,,x,(,)x,,(,)x,,,,,,nnnx,,()由f(x),(),x,xx,,nn,,,,x,,x,,,x,,nnf(),且故n,,xxxn,,f(x),f(x)dx,xdx,,,,,nn,n,,,x,把展成马克劳林级数f(x),ln(,x)f(x),ln(,x)ln(,x)nn,,xx()(),,,,,nn,,nnnn,,xx()(),,,nn,,nn,n,(,,?,)x,nnn,n,n()()?()x,,nnnnnn,n,n?x,(),nn,nn,x,,(?)x,,nn,n如果掌握了把函数展成马克劳林级数的方法对x,xf(x)于把函数展成的幂级数时只需把转化x,xx,xtt成的表达式把看成展成的幂级数x,x即的幂级数对于较复杂的函数可设x,x,t于是,,nnf(x),f(xt),at,a(x,x),,nn,,nn(x,)把展成的幂级数f(x),xf(x),,,xx,x,,x,nn,,(,)(),x,,nn,(,)x,n,,,(x,),n,nx,f(x),lnx把按分式的正整数幂x展开成幂级数x,t设,t,解得,有x,x,ttf(x),lnx,ln,ln(t),ln(,t),tnn,,ttn,(,),,nn,,nnm,,tx,x,n,(),,,,,xmnx,,mn即x,f(x)利用函数的幂级数展开和唯一定理还可以求x,x在处的高阶导数x(n)f(x),e求f()(n)由于不容易求所以直接求不出f(x)(n)f()n,xxx,(,,,,)由,于是,e,n!,nm,xx(),,,fxe,!m,mn()f()()n,af(),an!由即,nnn!n,,,,?(m)f(),a(m)!,所以,mm,,,,?,(m)f(),a(m)!,(m)!,mm!m,,,,?第七节幂级数的应用在函数的幂级数展开式中取前面有限项就得到函数的近似公式这对计算函数值较难用十进制表示的函数是非常方便的可以把函数近似用的多项x式来表示而多项式的计算只需用到四则运算非常简便例如当很小时有xxxx,x,,x,sinx,xsin!xxxxsin,?x,x,,x,!!!!和它的近似公式的图形如图sinxxx,,同样cosx,cosxxcosx,,,?xx,x,ln(x),xln()xxln(),?x,x,Yy=xxy=xxOXy=xx图豆丁网(DocIn)是全球优秀的CC文档销售与分享社区。豆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