椭圆的第二定义（比值定义）的应用
陈 文
教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义
2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法
3、对学生进行对应统一的教育
教学重点：椭圆的比值定义的应用
教学难点：随圆的准线方程的应用
教学方法：学导式
教学过程：
前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）：
若
MF,e,(0,e,1，为常数）则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。 d
2a注：?其中F为定点，F（C，0），d为M到定直线L：,的距离 xc
?F与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
22xy[例1]已知A(,2,3),F是，,1的右焦点，点M为椭圆的动点，求1612
MA，2MF的最小值，并求出此时点M的坐标。
MF1分析：此题主要在于2MF的转化，由第二定义：，可得出,e,d22MF,d，即为M到L（右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。 解：如图所示，过M作MN,lx,8于N，L为右准线：，由第二定义，知：MF1， ,e,d2
？2MF,d,MN
？MA，2MF,MA，MN,
要使为最小值，即：为“最小”， MA，2MFMA，MF
由图知：
当A、M、N共线，即：时，为最小；且最小值为A到AM,lMA，2MFL的距离=10，此时，可设，代入椭圆方程中，解得： M(x,3)x,2300
故：当M(23,3)时，为的最小值为10 MA，2MF
[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距
离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
22xy[例2]：设，,1,(a,b,0)P(x,y)为椭圆的一点，离心率为e，P到0022ab
左焦点F和右焦点F的距离分别为r，r 1212求证：r,a，ex,r,a,ex 1020
PF1证明如图，由第二定义：,e 2ax，0c
22aa即：r,PF,e,x，,e(x，),ex，a 11000cc
又PF，PF,2a 12
？r,2a,r,2a,(a，ex),a,ex 2100注：?上述结论r,a,exr,a，ex，称为椭圆中的焦半径公式 2010
?PF,r,a，ex由,a,x,a 得出 1100
r,a，ea,a，c且r,a，e,(,a),a,c 11
即a,c,PF,a，c 1
当PF,a,c时，P为（,a0，） 1
当PF,a，c时，P为（a，0） 1
2x20，y,1的左焦点F作倾斜角为30的直线交椭圆于A、B9
两点，则弦AB的长为 2
分析： ？AB是焦点弦[练习]（1）过
AB？AF,BF，（a,ex，）（a，，ex）,2a，e（x,，x）ABAB
只需求（用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成） x，x,?AB
22xy（2）F1、F2为，,1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若PF,3PF,126448
则P到左准线的距离为 24
分析：由焦半径公式，设a，ex,3(a,ex）即x,8，p(x,y）得 00000
又左准线为： x,,16
则P到左准线距离为8-（-16）=24
[例3] 设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左
准线L的位置关系
解，设M为弦AB的中点，（即为“圆心”） 作AA,L于A，BB,L于B，MM,L于M， 111111
由椭圆的第二定义知：
AB,AF，BF,e(AA，BB) 11
？0,e,1 ？AB,AA，BB 11
又在直角梯形ABBAMM中，是中位线 111
？AA，BB,2MM 111
AB即：AB,2MM ？,MM112
AB（r，MM,r,d为圆M的半径为圆心M到左准线的距离d 12
故以AB为直径的圆与左准线相离
本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在
焦点弦中采用）
22xy，,1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，1、《课外作业》P92、10 43
使它到左准线的距离为它到两焦点F、F距离的等比中项？ 122、已知椭圆
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