两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 ????? 海南省 三亚市第一中学 数学组 陈 艳 本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量 后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其 他十个公式的推导基础。 1. 知识与技能 (1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 (2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。 2. 过程与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 目标： 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力； 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 公式探求中从特 殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3. 情感与态度目标： 通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的 学习品质。 重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。 难点：两角差的余弦公式探索与证明。 教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。 学法：自主探究法 四 一 二 三 六 五 通过例用熟明确组织 题练习悉的探索学生 小 加强对知识的目自主布置 公式的引出标和探索作业 结 理解 课题 途径 证明 两角差的余弦公式教案 共7页 第 1 页 :() : （1） cos( π —β)＝? （2） cos( 2π —β)＝? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角 α取代， （3） cos( α－β )＝? 两角差的余弦公式教案 共7页 第 2 页 cos(α－β)＝cosα－cosβ cos(α－β)＝sinα－sinβ cos(α－β)＝sinα－cosβ cos(α－β)＝cosα－sinβ 那么这些结论是否成立？ 在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想 的几组结论 。首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β) cosα－cosβ sinα- sinβ cosα－sinβ由结果推翻假设（反证法）， 那么cos(α－β)到底等于什么呢？ 现在我们来借助计算机的强大计算功能 ，由 cos(α－β)的结果模拟可能的答案。 αβ＝αβαβ（黑板板书）。 变换不同的α，β角度，结论仍保持不变。 同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致. OAOBOAOB假设与的夹角为θ，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ） OAOBOAOB由向量数量积的概念，有?＝||?||cosθ＝cosθ OAOB由向量数量积的坐标表示有?＝cosαcos β+ sinαsinβ 于是有 cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ 分类讨论如下： （1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β （2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β） 此时 cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β） （3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π] 综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。得证 经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问， 我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在 两角差的余弦公式教案 共7页 第 3 页 我们一起来探讨，揭开谜底。 用两角差的余弦公式证明问题 （1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β 证明（1） cos(π—β) ＝ cosπ?cosβ＋sinπ?sin β ＝－1?cosβ +0?sinβ ＝－cosβ 左边=右边 所以cos(π—β)＝－cosβ得证 证明（2） cos(2π—β) ＝ cos2π?cosβ + sin 2π?sinβ ＝1?cosβ + 0?sinβ ＝cosβ 左边=右边 所以cos(2π—β)＝cosβ得证 前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 用两角差余弦公式求cos15?. 解法一:cos15? ＝cos(45?—30?) ＝cos45??cos30?+sin45??sin30? 62，2321，，， ＝＝ 42222 解法二: cos15?= cos(60?—45?) 62， = cos60??cos45?＋sin60??sin45?＝ 4 （分成17?-2?是否可行?） 证明: cos(α＋β)= cosα?cos β－sinα?sinβ 思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度， 减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β） 证明:? cos (α＋β) 两角差的余弦公式教案 共7页 第 4 页 = cos [α－(- β）] =cosα?cos( -β) +sin α ?sin(-β) = cosα?cosβ－sinα?sin β ?cos(α＋β)=cosα?cosβ－sinα?sinβ cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ 余 余 异号 正 正 （1） cos105?cos15?＋sin105?sin15?=cos90?=0 1（2）cos(θ+20?)cos(θ－40?)＋sin(θ+20?)sin(θ－40?)=cos60?= 2 2（3）cos35?cos10?－sin35?sin10?=cos45?= 2 （1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。 （2）探究问题 假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论—— 灵活应用——公式对照记忆。 下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。 课本131页 第一题 和 第五题。 两角差的余弦公式教案 共7页 第 5 页 = cos60??cos45?in60??sin45? 解法二： cos15? =cos(60?— 45?) =???+??? cos45cos30sin45sin30 = cos(45?— 30?) 解c? 化 法一：os15简求值：(3) 例2 用c? 余 余 异 正 正 两角差余弦公式求os15号 (2) 左边=右边 所以cos(2π—β)＝cosβ得证 cos(α＋β)=cosαcosβ－sinα sinβ (1) ＝cosβ cos(α–β)=cosαcosβ+sinα sinβ 假设分 类讨论＝1?cosβ + 0?sinβ 两角和与差的余弦公式: sinαsinβ ＝ cos2π?cosβ + sin 2π?sinβ 对比: OA由向量数量积的概念，有 ?于是有 cosθ＝cosαcos β+ αβ＝αβαβ 证明（2） cos(2π—β) = cosαcos β－sin αsin β OAOBOA?＝（cosβ＝（，sincosβα）， sinα）， OB＝cosαcos β+ sinαsinβ 左边=右边 所以cos(π—β)＝－cosβ得证 =cosα cos( -β) +siαsin(-β) OA与OB＝|＝－cosβ = cos [α － (- β ）] OB的夹角为θ， 由向量数量积的坐标表示有OA＝－1?cosβ +0?sinβ 提示： cos (α ＋β) |?| ＝cosθ ＝ cosπ?cosβ＋sinπ?sin β 导? OB|cosθ 证明（1） cos(π—β) 思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推 （2）cos (2π—β)＝cos β cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsin β 两角差的余弦公式 （1）cos (π—β)＝－cos β 证明: 用两角差的余弦公式证明问题 sin(θ+20?)sin(θ－40?) （2）cos(1）cos105 θ+20??cos15 )cos(?＋θsin105 －40??)sin1＋ 5? 两角差的余弦公式教案 共7页 第 6 页 第五题 作1页 第一 和 业：课本31题 回顾反思： : （1）cos(π－β) =? 简单问题入手，激发引导学生分析结果，为π和2π都是特殊角，当特 学生的学习兴趣 接下来的内容做准备。 殊角被一般角取代呢？ （2）cos(2π－β)=? 学生自主探究， 计算机模拟演示结果， 得出多种结果 否定假设 cos(α－β)=? 本节课的主题 借用计算机的运算功再次猜想结果 能帮我们模拟出可能cos(α―β)= 的结果 cosαcosβ+sinαsinβ （1）加强新旧知识的让学生自主探索向量动画课件逐步展示： 分析结论的结构，思考如何联系 的证明过程； 向量数量积证明 证明结论怎样联系向量数量（2）使学生从直观角结合几何画板的图形诱导公式进行角度的余弦积去探索公式 度加强对差角公展示α―β与向量夹变换 式的结构认识 角的联系与区别 为什么同样是两角差的余得出结论，并不是诱导公用差角余弦公式证弦，问题（1）、（2）和结论让学生带着好奇探式错误，而是因为特殊角cos(π－β)=-cosα 形式不一致？ 索；激发学生的求知度起到了化简的作用,诱 是诱导公式出现了错误吗？ 欲 导公式本质是特殊的差角cos(2π－β)=cosα 例一证明 余弦公式. （1）理解公式的基础（1）求解过程可由学 练习 生独立完成 例二 教师做适当点评 （2）关注角度的拆分（2）学生得到三角变 和拆分的多样性 换的一般认识 练习：证明 α＋β＝α―（―β） 用已有知识 引导学生的 cos(α＋β) 学生在老师引导下完解决未知问题 发散思维 =cosαcosβ―sinαsinβ 成 如何记忆 帮助学生 学生自主探索 两角和差余弦公式总结： 两角和差的余弦公式 对公式的理解记忆 老师适当引导 余余 异号 正正 课堂练习 结合公式口诀 学生结合口诀 教师引导 两角差的余弦公式教案 共7页 第 7 页 巧用公式 自主完成 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 格式 回顾反思，小结 作业布置：课本131页 第一题 和 第五题 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。 包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务， 帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一 位用户提供优质的文档交易和账务服务。 两角差的余弦公式教案 共7页 第 8 页