蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展
教科书有这样一个问题:有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm(在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少,
直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路
由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图: 程最短呢,BB
AA
在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行
路径，如(1)A?A′?B;(2)A?B′?B;(3)A
?D?B;...
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展
教科书有这样一个问题:有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm(在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少,
直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路
由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图: 程最短呢,BB
AA
在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行
路径，如(1)A?A′?B;(2)A?B′?B;(3)A
?D?B;(4)A?B.当然也得出了沿着直线段AB
爬行最近。
现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的
爬行路线是否都最短呢,
我们不妨看一个具体的:
问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃(B
到上底面与A相对的B点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少,A
221，(4,)如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是12.6 m，由于这个,
圆柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A点直接向上爬再沿着直径爬到B点的行程是1，4×2,9 m，确实比沿着侧面爬行短一些。
反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面(圆周)走要近一些。
当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考:什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近(姑且称为线路1)，什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行(姑且称为线路2)路程最近,
为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h，底面半径为r，则沿线路1的最短行程是
22h，(,r),沿线路2的行程是h+2r;不难得出:
(1)当时，两条线路行程相同;(2)当时，线路1行程短一些;(3)当时，线路2行程短一些。
举一反三 如图所示，有一圆柱，它的高为13 cm，底面周长为10 cm，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面1 cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少,
B
A
本文档为【蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483