一道三角函数竞赛题的多种解法
《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题:
15,12cosx，7,43sinx,4求满足下式的锐角: x
由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。 解法1:考虑构造余弦定理(此法与教程相同)。
2232因 12，3,212，3cosx，2，3,43cos(90:,x),4C Rt,ABC，ACD,x，BCD,90:,x在中，设，，则。 CE,3 12
2 3|AE|，BE|,4,|AB|如图，，又 |AB|,12，4,4E
A B D |AD|,y所以点E、D重合。设，于是
1 S,23,S，S,，3[23sinx，2sin(90:,x)],ABC,ACD,BCD2
,1,sin(x，30:),x,60:
解法2:运用柯西不等式。
222，，2，，3，1，5,4cosx，7,43sinx,因 ,,,,，，，，
22，，，， ,3，5,4cosx，1，7,43sinx,15,12cosx，7,43sinx,16,,,,，，，，
31,当且仅当，即， 33sinx,cosx,45,4cosx7,43sinx
,,,,,0, 因在上递增，又，则。 f(x),33sinx,cosxf(),,4x,,,233,,
解法3:分子有理化巧妙化简。
15,12cosx，7,43sinx,4因 ?
(15,12cocx),(7,43sinx),4,则
15,12cosx,7,43sinx
15,12cosx,7,43sinx,2,3cosx，3sinx ?
22(由?+?整理得: (cosx，3sinx),4(cosx，3sinx)，4,0)
x,60:则，从而. cosx，3sinx,2
解法4:朴素的化简运算。
4,15,12cosx,7,43sinx原式化为
两边平方得:， sinx,3cosx，23,25,4cosx即。 ,cos(x，30:)，3,5,4cosx
2两边平方得: cos(x，30:),23cos(x，30:)，4cosx,2,0
2,sin(x，30:),1x,60:即，则. sin(x，30:),2sin(x，30:)，1,0
解法5:先换元再构造方程组
15,12cosx,a, 7,43sinx,b令，
222157,ba,8a，9,asinx,,,cosa，b,4则，， x,124343
224324cosx，sinx,1由得: a,12a，54a,108a，81,0,(a,3),0a,3则，即. 15,12cosx,3,x,60:
解法6:先转化为解析几何问题，再用三点共线。
2222原式化为 (3cosx,23)，(3sinx)，(3cosx)，(3sinx,2),4
B(0, 2)|PA|，|PB|,4设点，，，则 P(3cosx, 3sinx)A(23, 0)
xy|AB|,4又因，则点P在AB上，因AB的方程为，,1， 223
3cosx3sinxx,60:则，从而。 ，,1223
解法7:先数形结合，再构造方程组。
2222原式化为 3，(2cosx,1)，(2sinx)，(2cosx)，(2sinx,3),4
y
P(2cosx, 2sinx)A(1, 0)设点，，， B(0, 3)
则 ? 3|PA|，|PB|,4
25||,PAx coscos由余弦定理知:， x,，POA,4
222227||，，PA，，5,||7,|PB|,PB，,1sincosx,，POB, ，则 ? 164843
2222由??知: (3|PA|,83|PA|，9)，3(5,|PA|),48
4324|AP|,t令，则 t,43t，18t,123t，9,0,(t,3),0,t,3
1x,60:从而，即. cosx,2
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