[汇总]二重积分极坐标

[汇总]二重积分极坐标 重积分 ?9.1 二重积分的概念与性质 教学目的:在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质 教学重点:二重积分的概念 教学难点:二重积分概念的理解 教学内容: 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 xoy,DD设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而 zfxy,(,)z轴的柱面,它的顶是曲面。 母线平行于 (,)xyD,fxy(,)fxy(,),0D当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。 V曲顶柱体的体积可以这样来计算: ,,,,,,,,,？D12nn(1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域 ,以这些小区域的边界 ,zn曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 ,,,,,,,,,？12n。 ,,,,,,iiii(假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 第个小区域,又表示它的面积 ,,ii值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) n V,,,,i,i,1从而 (将化整为零) fxy(,)(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ,,,,,,,f()(),,,,,,()iiiiiii ,,i(以不变之高代替变高, 求的近似值) (3)、整个曲顶柱体的体积近似值为 n Vf,(),,,,,iiii,1 (积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值) Vn(4)、为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 ,n设个小区域直径中的最大者为, 则 n Vf,lim(),,,,,,iii,,0,1i (取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量 xoy(,)xy,(,)xyD设有一平面薄片占有 面上的区域, 它在处的面密度为,这里,(,)xy,0,(,)xyDM,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。 ,,,,,,,,,,,？,,,iiiDi12nn将分成个小区域 用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。 ,,,max{}i,(,)xy1,,in当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, i那么第小块区域的近似质量可取为 ,,,,,,,(,)(,),,,,iiiiii n M,,,,,(,),,iii,1i于是 n M,lim(,),,,,,,iii,,0,1i 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。 3、二重积分的定义 fxy(,)DD设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域 ,,,,,,,,,？12n, ,,,iii其中:既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。 ,,,max{}i1,,in ,,(,),,,,iii fin(,),,,,,,,,()12？iii作乘积 n f(,),,,,,iii,1i作和式 n lim(,)f,,,,,iii,,0fxy(,)D,1i若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重 fxyd(,),,, D。 积分,记作 n fxydf(,)lim(,),,,,,,,,,iii,,0i,1D即 fxy(,)其中: 称之为被积函数, fxyd(,),d,称之为被积表达式,称之为面积元素, xy,D称之为积分变量,称之为积分区域, n f(,),,,,,iii,1i称之为积分和式。 4、几个注意事项 (1)、二重积分的存在定理 fxy(,)fxy(,)DD若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。 声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 fxyd(,),,,,,id,D(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。 DD由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那 dxdyd,么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并 fxydxdy(,),, dxdyD为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。称 fxy(,),0fxy(,)D(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性质】 [(,)(,)](,)(,)],,,,,,,,，,,,，,fxygxydfxydgxyd,,,,,,DDD ,,,其中:是常数。 2、【对区域的有限可加性】 DD,D12若区域分为两个部分区域,则 fxydfxydfxyd(,)(,)(,),,,,，,,,,,, DDD12 fxy(,),1,DD3、若在上,,为区域的面积,则 ,,,,,1dd,,,, DD 1几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 fxyxy(,)(,),,D4、若在上,,则有不等式 f(x,y)d,,,(x,y)d,,,,,DD ,f(x,y),f(x,y),f(x,y)特别地,由于，有 f(x,y)d,,f(x,y)d,,,,,DD 5、【估值不等式】 fxy(,),MDMm设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则 m,,,f(x,y)d,,M,,,,D 6、【二重积分的中值定理】 fxy(,)(,),,,DDD设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使 得 f(x,y)d,,f(,,,),,,,D 22I,(x，4y，9)d,22,,xy，,4DD【例1】估计二重积分 的值,是圆域。 22D: 求被积函数 解 在区域上可能的最值 f(x,y),x，4y，9 ,f,,2x,0,,x, ,,f,,8y,0,,y, (,)00f(,)009,是驻点,且 ; 222f(x,y),x，4(4,x)，9,25,3x(,2,x,2)在边界上, 13,f(x,y),25 f,25f,9maxmin,, 于是有 36,,9,4,,I,25,4,,100, 2 [例2]比较积分，的大小，I,ln(x，y)d,I,(x，y)d,,I,(x，y)d,123,,,,,,DDD 1x,0,y,0,x，y,其中D是由直线和所围成的。 x，y,12 解:因为积分域D在直线的下方，所以对任意点，均有 x，y,1(x,y),D 12,x，y,1，从而有，而，故由二重积分的ln(x，y),0x，y,(x，y),02 性质得 。 I,I,I123 小结 二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 二重积分的性质 ?9.2 二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 fxyd(,),,, D我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。 fxy(,),0讨论中,我们假定 ; axbxyx,,,,,,()()D12假定积分区域可用不等式 表示, ,()x,()x[,]ab12其中, 在上连续。 fxyd(,),,,zfxy,(,)DD据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为 顶的曲顶柱体的体积。 yoz[,]abxxx,00在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得 [(),()],,xxzfxy,(,)10200截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为 ,()x 20 Axfxydy()(,),,00 ,()x10 yoz[,]abx一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 ,()x2 Axfxydy()(,),, ,()x1 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 ,，，()xbb2,,VAx,,()(,)dxfxydydx,,,,,,aa()x，，1 从而有 ,，，(x)b2,,,f(x,y)d,f(x,y)dydx,,,,,,Da,,,x()，，1 (1) yf(x,y)x上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 f(x,y),(x),(x)bxxa12计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计 算定积分。 yx这个先对, 后对的二次积分也常记作 ,()xb2 fxyddxfxydy(,)(,),,,,,, Da,()x1 f(x,y),0在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (1)。 f(x,y)D但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。 2IxdDxyxy,,,,,,,,(){(,)|,}11102,,, D例如:计算 212122,,I,dx(1,x)dy,(1,x)ydx,,,,,1010解: 1128232(1)2,,xdx,x,x,,33,1,1 D类似地,如果积分区域可以用下述不等式 cydyxy,,,,,()(),,12 ,()y,()y[,]cdfxy(,)D21表示,且函数,在上连续,在上连续,则 ,,()y()ydd22，， fxydfxydxdydyfxydx(,)(,)(,),,,,,,,,,,, ,,Dyc,()c,()y，，11 (2) yx显然,(2)式是先对,后对的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: yx对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。 D画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) y[a,b]DDxx在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两 y(x,,(x)),(x)(x,,(x)),(x)1212x个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下 [,]abxxxa限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、 b上限为。 223xyd,,,2yyx,,1DDx【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。 Dyxy:,0101,,,,,类似地, y1,1222233xyddyxydx,,,,,, D00 31,y113222,,,xydyyydy()1,,,, 000 ,2()!!()!!4151,,16245令ytttdt,,,,sincossin22,,9!!3150 xyd,,,2yx,yx,,2DD【例2】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。 2Dyyxy:,,,,,,，122 y，2y，2221，，2xyddyxydxxydy,,,,,,,,,,222，，D,1,1yy 214525,，,,yyydy()2,,,28,1 2222zxy,，2zxy,,,62【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。 xoy解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域 22xoyxoyxy，,2z消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投 xoy影区域就是该柱面在面上所围成的区域 22Dxy:，,2 2、列出体积计算的表达式 232222,,,()633xyd,Vxyxyd,,,,，[()()]622,,,,, DD 3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算 22Vdxdyd,,,633,,,,,,,,, DDD d,,,2,, D而 22xdyd,,,,,,, yDDx由,的对称性有 222,x22222xdxdxdyxxdx,,,,22,,,,, 2D,2,2,,2x ,222222,,,4244xxdxsincos,,,, 00 ()!!()!!2121,,, ,,16, ()!!222， 11,,,,16, 422, ,, 所求立体的体积为 V,,,1266,,, 二、利用极坐标计算二重积分 1、变换公式 按照二重积分的定义有 n fxydf(,)lim(,),,,,,,,,,iii,,0i,1D 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 r,常数,,常数0D用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。 ,,i除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算 11122,,,(r，,r),,,r,,,(2r，,r),r,,iiiiiiiiii222 r，(r，,r)iii,,r,,,r,r,,iiiii2 ri其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。 (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计) (,)r,,,(,),,iiiii在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有 ,,,,,,rrcos,siniiiiii 于是 nn lim(,)lim(cos,sin)ffrrrr,,,,,,,,,,,iii,,iiiiiii,,,0,0,1,1 ii 即 fxydfrrrdrd(,)(cos,sin),,,,,,,,, DD fxyd(,),fxydxdy(,),,,, DD由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发 性的形式 fxydxdyfrrrdrd(,)(cos,sin),,,,,,,, DD (1) rdrd,,就是极坐标中的面(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中积元素。 (1)式的记忆方法: xr,cos, frrrdrd(cos,sin),,,,,yr,sin,fxydxdy(,),,DDdxdyrdrd,, 2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 D【情形一】积分区域可表示成下述形式 ,,,,,,,,,,,()()r12 ,,(),,()[,],,21其中函数, 在上连续。 ,,,()2 frrrdrddfrrrdr(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,, D,,,()1则 D【情形二】积分区域为下述形式 ,,(),01显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 )。 ,,,() frrrdrddfrrrdr(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,, D,0故 D【情形三】积分区域为下述形式 DDDD12显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而 DrDr:,():,()0020,,,,,,,,,,,,,,,,,12 Dr:,()020,,,,,,,,故 ,,()2, frrrdrddfrrrdr(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,, D则 00 D由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用 r,,极坐标变量表示成如下形式 ,,,,,,,,,,,,()()r12 下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。 【例4】将下列区域用极坐标变量表示 22Dxyy:，,211、 22DRxRRyRRx:,,,,,,，,22、 Dxy:，,133、 [,],, 先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围; [,],,, 再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就 [(),()],,,,12得到了极径的变化范围。 注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。 ，,2,xIedx,, 0利用此题结果可求出著名概率积分 。 22,x,ye,0而被积函数满足 ,从而以下不等式 222222xyxyxy,,,,,,edxdy,edxdy,edxdy,,,,,,DSD12 成立，再利用例二的结果有 222,,x,y,Redxdy,(1,e),,4D1, 222,,x,y,2Redxdy,(1,e),,4D2 , RRRR222222,,,,,,xyxyxyedxdy,dxedy,edxedy,,,,,,0000S 2RRRRR22222,,,,,,,,,,,x,y,x,x,x,,,,,edxedyedxedxedx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,00000 于是不等式可改写成下述形式 2R222,,,,,,,，,,，,RR,,,Rx2R,,,,,,,()()eedxe,,,,,,,11,,,4444,,0 2，,2,,,,xedx,,,,4,,R,，,0故当时有 , ，,2,,xIedx,,,20即 。 3、使用极坐标变换计算二重积分的原则 (1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 ); 22,()xy，,(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。 22,，,aaaxdy()0Idx,a,,,222224()xyaxy，,,，0,x【例6】计算 解此积分区域为 22Dxaxyaax:,0,,,,,,，, 区域的简图为 该区域在极坐标下的表示形式为 ,002Dra:,sin,,,,,,,,4 ,,2asin,0,2asin0rdrd,drr，，I,,d,arcsind,,,,,,,,,22222a，，,,rar44,ar,0D0,,44 020,12,,,,,(),,,d,,232,,,44 小结 二重积分计算公式 bx,()2f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy直角坐标系下 X—型 ,,,,ax(),1D d,(y)2f(x,y)dxdy,dyf(x,y)dx Y—型 ,,,,c(y),1D ,,(,)2极坐标系下 f(rcos,rsin)rdrd,df(rcos,rsin)dr,,,,,,,,,,(),,,1D ?9.3 二重积分的应用 教学目的:能利用二重积分解决数学、物理、力学中的某些问题，如曲面面积、重心、转动 惯量、引力等 教学重点:应用二重积分计算曲面面积 教学难点:二重积分的物理应用 教学内容: 定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件: Ud,DD1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量 U,,U,U,U相应地分成许多部分量,且)。 f(x,y)d,d,,UD2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , (x,y),d,f(x,y)d,,UdU其中, 称为所求量的元素, 并记作。 ,U,f(x,y)d,f(x,y)d,d,d,(注: 的选择标准为: 是直径趋于零时较更高阶的无穷小量) Ufxyd,(,),,, DU3、所求量可表示成积分形式 一、曲面的面积 Dxoyzfxy,(,)xySS设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数 Dfxy(,)fxy(,)fxy(,)xyyAx在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。 DP(x,y)xyd,d,d,在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点, M(x,y,f(x,y))Sd,MTS对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边 TSz界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面, d,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。 MS曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为 ,,,,{(,),(,),}1nfxyfxyxy ,z它与轴正向所成夹角的方向余弦为 1 cos,,22fxyfxy1，，(,)(,)xy d, dA, cos,而 22dAfxyfxyd,，，,1(,)(,),xy所以 S这就是曲面的面积元素, 故 22A,1，f(x,y)，f(x,y)d,xy,,Dxy 22,,zz,,,,A,，1，dxdy,,,,,,,,,,xyD,,xy故 222222xyza，，,xyax，,a,0【例1】求球面含在柱面() 内部的面积。 22Dxyxyax,，,{(,)|}xoyxy解:所求曲面在面的投影区域 222zaxy,,,曲面方程应取为 , 则 ,x,yz,z,xy222222axy,,axy,, , a221，，,zzxy222axy,, Dxoyxy曲面在面上的投影区域为 据曲面的对称性,有 a,A2dxdy,,222,,Daxyxy ,acos,2a,2d,,rdr,,220a,r,,2 , 222acos,,,,2a,a,rd,0,,,2 , 2 ,2a(a,asin,)d,,,,2 , 2 ,4a(a,asin,)d,,0 2,2a(,,2) yozxgyz,(,)yhzx,(,)zox若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面, DDyzzx设所得到的投影区域分别为或,类似地有 22,,xx,,,,A,，1，dydz,,,,,,,,,,yzDyz,, 或 22yy,,,,,,A,，1，dzdx,,,,,,,,,,Dzxzx,, 二、平面薄片的重心 1、平面上的质点系的重心 其质点系的重心坐标为 nn mxmy,,iiiiMMyxi,1i,1x,,y,,nnmmmm,,ii i,1i,1 , 2、平面薄片的重心 xoy(,)xy,(,)xyD设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定 (,)xy,(,)xyD在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。 这就是力矩元素,于是 MyxydMxxyd,,,,,,(,),(,),,,,xy DD mxyd,,,(,),, D又平面薄片的总质量 从而,薄片的重心坐标为 xxydyxyd,,(,),,(,),,,,MMyxDDx,,,,y, mxydmxyd(,)(,),,,,,,,, DD 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 11Dx,,,xdy,,,,()ydAd为闭区域的面积,,,,,,AADDD 十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 ra,cos,rb,cos,D【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆, 0,,ab()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。 y,0D解: 由的对称性可知: , ,bcos2,22Addrdrba,,,,,,(),,,,4,Dacos,,2 ,bcos,22M,xd,,d,rcos,dry,,,,Dacos,,,2而 ,,bcos,2211，，，，3334,,,rcos,d,(ba)cos,d,,,,,,,33，，，，,,cosa,,,22 , 222(41)!!,,33433()cos(),b,ad,b,a,,,,334!!20 ,33,(b,a) 8 22Mb，ba，ayx,, A2(b，a)故 三、平面薄片的转动惯量 1、平面质点系对坐标轴的转动惯量 (,),(,),,(,)xyxyxy？1122nnn设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别mmm,,,？12n为。 yx设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为 nn22IymIxm,,,,,xiyiii,,ii11 2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量 xoy(x,y),(x,y),(x,y)D设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在 IyIyxDx上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 2,yx,y,1y,,1【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。 解: 转动惯量元素为 2dIyd,，()1,, 2Iyd,，()1,,,, D 112,，,dxydy()1,,2,1x 111,1，，323,，,()()ydxxdx,,，181,,,,,,233，，x,,11 1664368 ,,,,,, 335105 四、平面薄片对质点的引力 xoy(x,y),(x,y)D设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为,假定,(x,y)M(0,0,1)D0z在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。 ,FFF,,xyzF于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为 k,(x,y)xd,,dFx3r k,(x,y)yd,,dFy3r k,(x,y)(0,1)d,dF,z3r 故 xyxd,(,,)Fk,,x,,3rD xyyd,(,),Fk,,y,,3rD xyd,(,),Fk,,,z,,3rD 小结 几何应用:曲面的面积 物理应用:重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力 ?9.4 三重积分的概念及其计算法 教学目的:在深刻理解的基础上熟练掌握三重积分的概念、性质、计算 教学重点:利用直角坐标计算三重积分 教学难点:用先二后一的方法计算三重积分 教学内容: 一、三重积分的定义 fxyz(,,),,n设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域 ,,,vvv,,,？12n ,vii其中表示第个小区域,也表示它的体积。 ,v(,,),,,iiii在每个小区域上任取一点, fv(,,),,,,iiii作乘积 n fv(,,),,,,,iiii ,1i作和式 ,n以记这个小区域直径的最大者, n lim(,,)fv,,,,,iiii,,0,1i若极限 存在, fxyz(,,),则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作 fxyzdv(,,),,, ,, n fxyzdvfv(,,)lim(,,),,,,,,,,,iiii,,0,1i,即 dv其中叫体积元素。 dxdydz自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。 二、三重积分的存在定理 若函数在区域上连续, 则三重积分存在。 特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。 三、三重积分的物理意义 f(x,y,z)(x,y,z),如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且 n f(,,,,,),v,iiiif(x,y,z),1mi,在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当,,0m时的极限值就是该物体的质量。 mfxyzdv,(,,),,, ,故 fxyz(,,),1特别地, 当时, dv,,的体积,,, , 四、三重积分的计算法 ,假设积分区域的形状如下图所示 DDxoyxyxy,,,z在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过内部, 与 ,边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。 Szzxy:(,),Szzxy:(,),1122 , Dzxy(,)zxy(,)zxyzxy(,)(,),xy1212其中, 在上连续, 并且 。 fxyzdv(,,),,, ,如何计算三重积分呢? fxyz(,,),1不妨先考虑特殊情况,则 dvdxdydzzxyzxyd,,,(,)(,),,,,,,,,,,,21 ,,Dxy zxy(,)2 dvdxdydz,,,,,,, ,Dzxy(,)xy1即 一般情况下,类似地有 zxy(,)2 dvdxdyfxyzdz,(,,),,,,,, ,Dzxy(,)xy1 zxy(,)2 fxyzdz(,,), zxy(,)fxyz(,,)1z显然积分只是把看作的函数在区间 xy,[(,),(,)]zxyzxy12z上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记 zxy(,)2 Fxyfxyzdz(,)(,,),, zxy(,)1 fxyzdvFxydxdy(,,)(,),,,,,, ,Dxy那么 Dxy如上图所示, 区域可表示为 axbyxyyx,,,,,()()12 yx()b2 FxydxdydxFxydy(,)(,),,,,, Dayx()xy1从而 ,综上讨论, 若积分区域可表示成 axbyxyyxzxyzzxy,,,,,,,()(),(,)(,)1212 yx()zxy(,)b22 fxyzdvdxdyfxyzdz(,,)(,,),,,,,,, ,ayx()zxy(,)11 则 yzx这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。 ,z如果平行于 轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用 ,,,,,12的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域 ,,,,,,1212( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应适合对区域的要求。 fxyzdv(,,),,,22214,，，,xyz,,例如,求,其中为 。 将面将区域剖分成上下两个部分区域 222,,,,，，,{(,,)|,}xyzzxyz0141 222,,,,，，,{(,,)|,}xyzzxyz0142 fdvfdvfdv,，,,,,,,,,, ,,,12则 xyzdxdydz,,,222xyz，，,1,,【例1】计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。 解:(1)、画出立体的简图 ,(2)、找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图 22Dxyxy:,,，,,,100xoyxy,在面上的投影区域为 (3)、确定另一积分变量的变化范围 DDxy,xyxyz在已知积分变量的变化范围为的情况下, 再确定另一积分变量的变化范围。 在内 ,,z任取一点, 作一过此点且平行于轴的直线穿过区域, 则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即 z为的变化范围。 2201,,,,zxy (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分 xyzdxdydz,,, , 2221,x,y11,x ,dxdyxyzdz,,, 000 211,x122,dxxy(1,x,y)dy,,2 00 211,x11133,,,dx(xyxyxy)dy,,22200 21,x1111，，2324,,,xyxyxydx,,,448，，00 1111，，23222,x(1,x),x(1,x),x(1,x)dx,,,448，，0 ,111，，2sincossincossincoscos,,,2324,,tttttttdt448，，, 0 ,,,111222sincossincossincos,,,3335tdtttdtttdt448,,, 00012122142,,,,,,,, 44246428642,,,,, 1 , 48 小结 三重积分的定义和计算 (化三重积分为三次积分) 直角坐标系下的体积元素 dv,dxdydz ?9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 教学目的:熟练掌握三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算 教学重点:利用柱坐标和球坐标变换计算三重积分 教学难点:在柱坐标和球坐标系下将三重积分转换为三次积分时积分限的确定 教学内容: 对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。 一、利用柱面坐标计算三重积分 1、柱面坐标 xoyr,,Mxyz(,,)PP设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则rz,,,M三个数称作点的柱面坐标。 rz,,,规定的取值范围是 02,,,,,,,,，,z0,,，,r，， 柱面坐标系的三组坐标面分别为 r,常数z,即以轴为轴的圆柱面; ,,常数z,即过轴的半平面; xoyz,常数,即与面平行的平面。 M点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式 ,xr,cos,,,yr,sin,, , zz,,, (1) fxyzdv(,,),,, ,2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式 r,常数,,常数z,常数,,用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界 点的一些不 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 小区域外,这种小闭区域都是柱体。 rz,,,drddz,,,rdrd,考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高 dz为的柱体,其体积为 dvrdrddz,, 这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有 fxyzdvfrrzrdrddz(,,)(cos,sin,),,,,,,,,,, ,, (2) (2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。 r,,,zr,,,z(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在,中的变化情况来确定。 rz,,,,3、用柱面坐标表示积分区域的方法 Dxoyr,,xy,(1)、找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之; D(,)r,xy,z(2)、在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两 r,,z交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。 【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式 222,:xyz，，,11 球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。 22zxy,，,:z,12 由锥面与平面所围成的立体。 ()122Dxyxy:,,，,,,100xoy,xy1在面上的投影区域为 , , 0,,,,,,01r 2其极坐标下的表示形式为 2201,,,,zxy,1z在的变化范围是 , 201,,,zr即 ,2,:,,0,,,,,,,,0101rzr12故 ()222Dxy:，,1xoy,xy2在面上的投影区域为 , 0201,,,,,,,r其极坐标下的表示形式为 22xyz，,,1,2z在的变化范围是 rz,,1 即 ,:,,02011,,,,,,,,rrz2故 xyzdv222,,,x，y，z,1,,【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。 xyzdvrrzrdrddz,(cos)(sin)(),,,,,,,,, ,,解: ,211,r23,,,,ddrrzdz,,,cossin,,, 000 ,21,r121，，32,,drzdr,,,cossin,,,,2，，000 , 12132,,drrdr,,,()cossin1,,200 , 12132,,cossin(),,,drrdr1,,200 11111，，46,,,,rr,,2246，，0 1111 ,,,,() 2246 1, 48 二、利用球坐标计算三重积分 1、球面坐标 r,,,,Mxyz(,,)如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。 其中: Mor 为原点到点的距离; ,OMz为有向线段与轴正向所成夹角; xoy,MPOPzx为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面 上的投影点。 r,,,,规定的取值范围为 0,,,,02,,,,0,,，,r , , M不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为 xr,sincos,,, ,yr,sinsin,,, ,zr,cos,, (3) 2、球面坐标系的特点 r,常数,是以原点为心的球面; ,,常数z,是以原点为顶, 轴为轴的圆锥面; ,,常数z,是过轴的半平面。 Mr粗略地讲, 变量刻划点到原点的距离,即“远近”; ,M变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”; ,M变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。 3、三重积分在球面坐标系下的计算公式 ,,常数r,常数,,常数,用三组坐标面, , ,将分划成许多小区域,考虑当r,,,,drdd,,,,各取微小增量 所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为 2dvrdrdd,sin,,, 这就是球面坐标系下的体积元素。 由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有 2f(x,y,z)dv,f(rsin,cos,,rsin,sin,,rcos,)rsin,drd,d,,,,,,,,, (4) (4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。 r,,,,式右端的三重积分可化为关于积分变量(4)的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积 r,,,,,分区域用球面坐标加以表示。 4、积分区域的球面坐标表示法 积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。 ,实际中经常遇到的积分区域是这样的 ,是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方rr,(,),,程,据球面坐标变量的特点有 02,,,,, ,,:0,,,,, ,rr0,,(,),,, 2222，，,,xyzaa()0,,例如:若是球体 , 则的球坐标表示形式为 2222xyza，，,曲面的球坐标方程为 2222(sincos)(sinsin)(cos)rrra,,,,,，，, 22rara,,, ,:,,0200,,,,,,,,,,ra于是 22222zaaxya,，,,,()0zxy,，【例3】求曲面与曲面所围成的立体,的体积。 ,解:的图形为 ,下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。 Dxoy[0,2,]xy,,(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为; ,,[,]0,,44,z(2)、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为; , 020,,,,,,,,(,),,4,(3)、在内任取一值, 作射线穿过,它与有两个交点,一 222zaaxy,，,,r,0个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为及 ra,2cos,。 , ,:,,cos020,,,,,,,,,02ra, 4因此, 2vdvrdrdd,,sin,,,,,,,,, ,,故 ,,2222,acos44,acos,,213，，,,ddrdrdrd,,,,,,sinsin,,,,,,,3，，000000 ,,22,,44883333,,dadadd,,,,,,,,cossincossin,,,,330000 , 8116114，，343,,,,aa2,,,cos(),,,1,,34344，，0 3,,a 也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。 22,:,,020,,,,,,，,rarzaar,, vdv,,,, , ,rdrddz,,,, , 222,aaar，, ,ddrrdz,,,, 00r 2a,22aar，,,,drzd,,,,,,r 00 2,a22,，,,draarrdr,(),, 00 aaa222,，,,222,,,ardrrardrrdr,,, 000 , 2,233,，,,,,,aatatatdta2sincoscos,30 , 2,23323,，,,,aattdta2sincos,30 ,12333,，,,,,aaa2 33 3,,a 柱面坐标,小结 三重积分换元法 ,球面坐标, 柱面坐标的体积元素 dxdydz,rdrd,dz 球面坐标的体积元素 2 dxdydz,rsin,drd,d,