数学圆周率

数学圆周率 圆周率π 圆周率是一个常数(约等于3.1415926)，是代表圆周长和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。 π(pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。 π=Pai(π=Pi) 古希腊欧几里德《几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》( 约公元前2世纪)中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书(约公元前1700)中取pi=(4/3)^4?3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7)) ，开创了圆周率计算的几何方法(亦称古典方法，或阿基米德方法)，得出精确到小数点后两位的π值。 中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π?根号10 (约为3.16)。 南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶)，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22,7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位， 可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷,2型和IBM,VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下最新的纪录。至今，最新纪录是——法国一工程师将圆周率算到小数点后27000亿位亿位。 在历史上，有不少数学家都对圆周率作出过研究，当中著名的有阿基米德(Archimedes of Syracuse)、托勒密(Claudius Ptolemy)、张衡、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法，辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面，就是世上各个地方对圆周率的研究成果。 亚洲: 中国: 魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法(即“割圆术”)，求得π的近似值3.1416。 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方(约为3.162)。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃(229-267)发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。 公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。 印度: 约在公元530年，数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为?9.8684。 婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的平方根。 欧洲: 斐波那契算出圆周率约为3.1418。 韦达用阿基米德的方法，算出3.1415926535<π<3.1415926537 他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。 鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。 华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3 ×3×5×5×7×7×9×9...... 欧拉发现的e的iπ次方加1等于0，成为证明π是超越数的重要依据。 之后，不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算π，在这里就不多说了。 π与电脑的关系 在1949年，美国制造的世上首部电脑,ENIAC(Electronic Numerica l Interator and Computer)在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。 在1976年，新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止，π的值己被算至小数点后51,000,000,000个位。 为什么要继续计算π 其实，即使是要求最高、最准确的计算，也用不着这么多的小数位，那么，为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢? 这是因为，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬体有毛病或软体出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。 圆周率的发展 年代 求证者 内容 古代 中国周髀算经 周三径一; 圆周率,3 西方圣经 元前三世 阿基米德(希腊) 1. 圆面积等于分别以半圆周和径为边长的矩形 的面积 2.圆面积与以直径为长的正方形面积之比为11:14 3. 圆的周长与直径之比小与31/7 ，大于310/71 三世纪 刘徽 中国 用割圆术得圆周率,3.1416称为“徽率” 五世纪 祖冲之 中国 1. 3.1415926,圆周率,3.1415927 2. 约率 , 22/7 3. 密率 , 355/113 1596年 鲁道尔夫 荷兰 正确计萛得到小数点后35位数字 1579年 韦达 法国“韦达公式”以级数无限项乘积表示 1600年 威廉.奥托兰特 英国 用?/σ表示圆周率 π是希腊文圆周的第一个字母 σ是希腊文直径的第一个字母 1655年 渥里斯 英国 开创利用无穷级数求π的先例 1706年 马淇 英国“马淇公式”计算出的100 位数字 1706年 琼斯 英国 首先用π表示圆周率 1789年 乔治.威加 英国 准确计萛?至126 位 1841年 鲁德福特 英国 准确计萛?至152 位 1847年 克劳森 英国 准确计萛?至248 位 1873年 威廉.谢克斯 英国 准确计萛?至527 位 1948年 费格森和雷恩奇 英国 美国 准确计算?至808 位 1949年 赖脱威逊 美国 用计算机将?计算到2034位 现代 用电子计算机可将?计算到亿位 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的 越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与 心血。 十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率 的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大 的世纪。 进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。 历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数;其二是英国的威廉?山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。 把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。