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P旋转对称IFS奇怪吸引子的[p,q]+双曲排列.doc

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上传者: 问我留言器 2017-12-22 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《P旋转对称IFS奇怪吸引子的[p,q]+双曲排列doc》,可适用于战略管理领域,主题内容包含P旋转对称IFS奇怪吸引子的pq+双曲排列P旋转对称IFS奇怪吸引子的pq双曲排列小型微型计算机系统JournaofChineseComputerS符等。

P旋转对称IFS奇怪吸引子的pq+双曲排列P旋转对称IFS奇怪吸引子的pq双曲排列小型微型计算机系统JournaofChineseComputerSystems年月第期VONoP旋转对称IFS奇怪吸引子的,双曲排列陈宁,丁皓(沈阳建筑大学信息与控制工程学院,辽宁沈阳)Email:nchenlcorn摘要:具有P旋转对称特性且含有多个压缩仿射变换的IFS迭代函数系被进一步旋转压缩到户,q双曲平面的中心格子上通过双曲几何的等变换矩阵的双曲对称排列,将普通平面上的具有旋转对称特性的有界不变集排列在双曲圆内并生成户,g双曲图案本文所提出的构造技术可以用于生成任意有界的平面对称奇怪吸引子的双曲对称排列图案关键词:双曲对称仿射变换IFS迭代函数系奇怪吸引子中图分类号:TP文献标识码:A文章编号:()llOHyperbolicTilingswithp,gSymmetriesAbouttheStrangeAttractorsfromIFSwithPRotationalCharacteristicsinEuclideanPlaneCHENNingDINGHao(FacultyofInformationControlEngineering,ShenyangJianzhuUniversityShenyang,China)Abstract:Toconstructtheimageswithhyperbolicsymmetry户,gfromIteratedFunctionSystems,theIFSwithProtationalsymmetrycharacteristics,whichwerecomposedofmulticontractionaffinetransformations,werefurthercompressedandrotatedtothecentrallatticeofahyperbolicplane户,qThestrangeattractorsfromIFS,limitedinthecentrallattice,weretranslatedtOthewholehyperbolicplanebytheisometrytransformationsofhyperbolicgeometryAmethodwaspresentedabouthowtOgenerateimageswith户,gsymmetryfromtheordinaryandboundedfixedsetswithrotationalsymmetryThemethodcanbeusedtOconstructthehyperbolicsymmetryimagesfromanyboundedsymmetrystrangeattractorsinEuclideanplaneKeywords:hyperbolicsymmetryaffinetransformationsIFSstrangeattractor引言O世纪O年代荷兰艺术家MCEscher创造的着名圆极限图IIV是科学思想与艺术创作相互影响的产物近年来许多研究人员对数学中双曲几何的计算机可视化研究重新产生了浓厚兴趣,借助计算机生成了类Eseher图案文献利用三种双曲等变换离散对称群户,g,户,g和,g分别与欧氏平面上的压缩仿射变换构造出了双曲IFS迭代函数系,生成了双曲对称的奇怪吸引子图形但文献未将欧式平面上的压缩仿射变换限定在双曲极限圆的中心格子内,这种欧式平面上的压缩仿射变换本身不具有旋转对称特性实验表明,增加这种压缩变换的数量,将其构造成对称IFS,并将对称IFS进一步限定在双曲极限圆(双曲平面)的中心格子内,可以大量生成双曲结构更为清晰的双曲对称奇怪吸引子’,本文介绍了双曲几何的构造原理,提出了基本IFS和对称IFS的概念,讨论了将对称IFS进一步关于双曲平面中心格子进行”Q”或”Q”旋转压缩的方法以两个实例说明如何将欧式平面上的有界对称奇怪吸引子或分形排列到双曲平面上,生成双曲对称分形本文通过对仿射变换中的个参数进行随机搜索,获得了大量的由多个压缩仿射变换组成的对称IFS与双曲等距变换组合迭代生成的双曲奇怪吸引子一双曲对称分形图案离散双曲对称群与IFS迭代函数系离散双曲对称变换双曲几何实现了用有限区域表示无穷概念但不满足欧氏几何的平行公理关于双曲几何,有两个广泛应用的模型:Poincare模型(U)和Weierstrass模型()Poincare模型将双曲平面表示在普通欧式平面的单位圆内Weierstrass模型由一zY定义的三维空间双曲面的上半叶构成通过适当的投影,可以把在Weierstrass模型中的点转换到Poincare模型中,这个投影g:W如下:lzl一gll=吲LJ收稿日期:一l收修改稿日期:基金项目:辽宁省自然科学基金项目()资助沈阳市科技局基金项目()资助作者简介:陈宁,女,年生教授,博士,研究方向为非线性动力系统计算机图形化等丁皓,男,年生,硕士研究生,研究方向为动力系统图形化l小型微型计算机系统正g的逆变换如下:g南有三种双曲离散对称群可以用于生成双曲对称图形,它们分别是:,q,户,q和户,q其中,”户”代表双曲平面中的双曲P边形,”q”表示双曲P边形在其每个顶点处相遇g次,当且仅当(户一)(q一)时存在双曲平面排列,并且所有的P边形格子都具有相同的双曲面积双曲极限圆中存在个基本对称变换A,B与C,其Weierstrass模型的维变换形关于P边形一条边的反射对称A,rcsh()sinh(b)Lsinh(b)cosh(b)jlcos(三)Icslsin(p)J关于轴的垂直反射对称B,B一和关于从原点到P边形一个顶点连线的反射对称C,CCOS()户sin()PO()通过上述种变换的线性组合可以得到和丁变换,其一中S=CB,是关于原点的逆时针旋转变换丁一AC,是绕Po一边形的一个顶点的逆时针双曲旋转变换三种双曲平面离散对称群的维变换矩阵可以由A,c,S和变换的组合得到,其中:户,q:STS,iP,Jg,P户,q:ScTS,P,J,q,P和户,q:SAS,,JP,k,mP而且q必须是偶数本文将采用户,g双曲平面离散对称群(或双曲等变换矩阵),(I)式和()式的坐标变换以及对称IFS迭代函数系完成研究工作IFS若干个线性压缩仿射变换可以构成一个IFS(iteratedfunctionsystems)文献用I到个欧式平面上的压缩仿射变换与双曲对称群组合生成双曲IFS迭代函数系,其中欧式压缩仿射变换W的基本形式为:硼一:三,e一t()其中,A为变换矩阵,设detA表示A的行列式,当nzcz,且ac(adcb)时,仿射变换为压缩变换,此时ldetAI表示该压缩变换在欧式平面的面积压缩比压缩仿射变换与双曲离散对称群组成的双曲迭代函数系可以构造双曲对称图案旋转对称分形在双曲平面上的排列旋转对称分形文献提出了生成欧氏平面上的旋转对称分形的方法:旋转对称分形由具有旋转对称特性的IFS生成这个迭代函表图中压缩变换的相关参数TableParametersofconstructingFig数系由一个压缩仿射变换(表中的硼或wb)和它的P旋转变换组成,声个旋转矩阵尺的形式为:Rsin(…)IxsinCOSLyLJL()…J关于文献所构造的旋转变换,一i~p,=,,…,P一文献用该方法绘制的旋转对称分形如图所示,其压缩变换参数列于表中(a)P一(b)P一图根据文献提供的参数构造出的旋转对称分形FigSymmetricfractalsfrom双曲极限圆中的旋转对称分形本文将文献中用于生成对称分形的IFS定义为”对称IFS”将对称IFS中没有经过旋转变换的压缩变换的数量由一个扩展到了至个,并将这种压缩变换构成的迭代函数系定义为”基本IFS”这个基本IFS对应着文献中的欧式压缩变换本文没有直接利用这种基本IFS构造双曲分形,而是将这个基本IFS进一步在P旋转矩阵作用下构造出能够生成P旋转对称分形的对称IFS由于对称IFS的不变集所覆盖的区域可以大于同样具有P旋转对称的户,g双曲平面中心格子所覆盖的区域,因此,会造成所生成的双曲排列分形结构的混乱为解决这个问题,本文提出了对这种对称IFS进一步旋转和压缩的方法,使其分形集被控制在双曲极限圆的中心格子内,称这种方法为”对称IFS旋转压缩算法)(=L)一p期陈宁等:P旋转对称IFS奇怪吸引子的户,口双曲排列l对称IFS旋转压缩算法可分为两种方案,第种方案是将对称IFS的奇怪吸引子距原点的最远点P一向双曲极限圆(a)P=(b)P一图对称IFS旋转压缩算法相关数据示意图FigCorrelativedatafotherotatingandcompressingarithmeticbasedonsymmetricIFS中的Q点进行旋转压缩,将其称为Q旋转压缩,其中Q为户,q双曲平面中心格子的一个顶点第种方案是将点P(a)P=(b)户=图关于Q点旋转压缩FigRotationandcontractionbasedonQ向双曲极限圆中的~点进行旋转压缩,将其称为Q旋转压缩,其中Q点为Q点与原点连线的顺时针旋转,rp后的线段与双曲极限圆中心格子的交点Q点为双曲中心格子距原点的最远点Q点为双曲中心格子距原点的最近点根据文献计算双曲对称户,g中心格子的Q点和Q点坐标对称IFS旋转压缩算法利用点P确定一个压缩比r和(a)户一(b)户一图关于Ql点旋转压缩FigRotationandcontractionbasedonQl一个旋转矩阵R,其中,一或,一,旋转矩阵RIInlIn值xl为由P一点向Q点或Q点旋转的角度构成的旋转矩阵(),其中表示为QP,或Q一尸,根据对称IFS旋转压缩算法将图(a)压缩入,双曲对称平面,将图(b)压缩入,双曲对称平面,其旋转压缩过程如图,图和图所示相应的旋转压缩数据如表所示它们在,和,随机双曲等距变换作用下生成的双曲对称分形如图所示特别地,图表示欧式平面上的奇怪吸引子与双曲平面之间的相对位置以及相关参数双曲对称分形的自动生成由多个压缩仿射变换构造的对称IFS如前所述,本研究采用个压缩仿射变换构造基本IFS,其中取{,,)中的一个数字基本FS中的压缩仿射变换如()式所示本文对压缩仿射变换(=,…,)中的表关于对称IFS的进一步旋转压缩数据TableDataofcompressingthesymmetricIFSai,bi,Ci,d,ei,等个参数在,区间随机搜索,当其满足压缩条件时获得了基本IFS,对基本IFS实施事先选定的P旋转变换,进一步构造出对称IFS迭代函数系每个对称IFS对应一个对称分形根据每个压缩变换的IdetAl可以计算IFS的累积概率分布,根据累积概率随机选择一个压缩变换进行迭代,在去掉瞬态之后,生成旋转对称分形图案图为由这种方法随机生成的对称分形,其中基本IFS由个压缩仿射变换组成,对称IFS由基本IFS的旋转对称组成,小型微型计算机系统拄即对称IFS由l个压缩仿射变换组成,其基本IFS的参数如表所示(a),的Q旋转压缩(b)E,的Q旋转压缩应用本研究所提供的方法可以大量快速生成由多个压缩仿射变换构成的对称IFS以及双曲对称分形图案图(见下页)为通过随机搜索压缩仿射变换参数得到的具有不同压缩仿射变换个数,不同旋转压缩方案和不同双曲对称的极限圆图案,其压缩仿射变换参数如表(见下页)所示(c),的Q旋转压缩(d)D,的Ql旋转压缩图采用本文提出的算法将图中的对称()旋转压缩的双曲线排列(d)Q旋转压缩的双曲排列分形构造成双曲线对称分形图自动生成,双曲对称分形FigHyperbolicsymmetricfractalsofFigconstructedFigAutomaticallygeneratingthefraetalofhyperbolicwiththearithmeticpresentedinthispapersymmetryE,fromthesymmetricIFS对称IF$分形的双曲排列将对称IFS迭代函数系关于Q点或Q点旋转压缩,使其不变集位于双曲平面的中心格子中将这种IFS迭代函数系的奇怪吸引子由双曲等距变换户,g排列到双曲平面上,图随机搜索生成的旋转对称IFS的分形FigAfractalconstructedbyrandomlychoosingafoldsymmetricIFS就可以实现用普通欧式平面上的分形构造双曲排列的分形图案图说明图中的分形应用对称IFS旋转压缩方法在,双曲对称格子中的位置以及生成的具有,双曲对称的分形图案,其相应的旋转压缩参数如表所示表生成图的基本IFSTableBasicIFSconstructingFigAfffaibic{diei表关于图的对称IFS的旋转压缩参数TableRotationandcontractiondataofthesymmetricIFSaboigQQl}J(…I)IOlJ结束语基于文献Fz与文献的算法,本文提出了一个新的快撇啪m加加湖加加m坝啷Om心跏期陈宁等:P旋转对称IFS奇怪吸引子的户,g双曲排列速构造双曲图案的方法首先将文献提出的构造对称分形的压缩变换数量从个增加到了个以上,提出了基本IFS的概念其次,关于基本IFS提出并构造出了P对称IFS通过搜索对称IFS的奇怪吸引子一户旋转对称分形的模最大点P,,自动寻找将对称分形压缩到户,g双曲平面的中L格子的压缩比r和旋转矩阵尺,提出了对称IFS旋转压(a)I,对称(b)E,对称(c),对称(d),对称图各种双曲对称图案的自动生成FigAutomaticallygeneratingdiffrenttypesofhyperbolicsymmetrypatterns表构造图的基本IFS与旋转压缩方案TableThebasicIFSandtheplanoftherotationandcontractionforFig缩算法去除IFS的不稳定状态,经过指定次数的迭代,将改造后的对称s的奇怪吸引子用文献所构造的,g双曲等距离散对称群生成具有双曲对称特性的分形图案本文的研究表明,构造出位于双曲平面中心格子区域的普通欧氏平面上的对称分形就可以将其双曲地排列到双曲平面上,本研究成果为大量构造各种双曲对称图案提供了一个简便有效的方法References:EscherMCEscheronesther:exploringtheinfiniteMNewYork:HarryNAbrams,AdcockBM,JonesKC,ReiterCA,etaIteratedfunctionsystemswithsymmetryinthehyperbolicplaneJComputersGraphics,,():ChungKW,ChanHSY,WangBNEfficientgenerationofhyperbolicsymmetriesfromdynamicsJChaos,SolitonsFractals,,I:一IChungKW,ChanHSY,WangBNHyperbolicsymmetriesfromdynamicsJComputerMathematicswithApplicationst,():SchattschneiderD,EstherMCVisionsofsymmetryMNewYork:Freeman,DunhamDHyperbolicsymmetryFJComputerMathematicswithApplications,,B:ChenNing,LiZiehuan,JinYuanyuanChaoticattractorsandgeneralizedfilledinJuliasetsfrommappingwithhyperboliclimitdiscJJournalofShenyangJianzhuUniversity,,():ChenNing,LiZichuan,JinYuanyuanVisualpresentationofdynamicsystemswithhyperbolicplanarsymmetryZChaos,SolitonsFractals,availableonline,SeptFieldM,GolubitskyMSymmetricinChaosMNewYork:OxfordUniversityPress,附中文参考文献:陈宁,李子川,金媛嫒双曲极限圆映射的混沌吸引子及充满Julia集J沈阳建筑大学学报(自然科学版),,():

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