推理3.8 既教判断 又教估猜 级数论敛散[最新]

推理3.8 既教判断 又教估猜 级数论敛散[最新] 因此，在级数的教学中应该充分挖掘级数中运用合情推理的内3.8 既教判断 又教估猜 级数论敛散容。教学实践证明，也只有运用合情推理进行级数的教学，才可以使 学生易于接受，起到化难为易的效果。 所谓级数，是指一个纯粹形式地用加号连接起来的式子. 数项级 级数的研究，要算我国最早，魏晋时代的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 家刘徽就已经用级数是数的加法从有限和到无限和的自然推广(这一推广已经蕴含在算 1数来计算圆的面积。在十七世纪，微积分建立的同时，人们就已经应术中的无限循环小数概念里了，我们知道将化成小数时就出现了无3用无穷级数来表示函数，并且用这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来解微分方程。从十八世纪限循环小数: 至今，无穷级数一直被认为是微积分不可缺少的一部分，它是计算初,33331=0.=+++„++„ 3232103101010等超越函数的最有效的工具。到了十九世纪，级数已经成为一个独立 1这个有限数可以表示成无限个数相加的形式，反过来，这也说即:的研究科目，发展得相当丰富充实，它不仅是研究数学的工具，而且3 在物理学、力学、电学和大量的实用科学中已被广泛地应用着.明，无限个数相加在一定条件下是有意义的，相加之后可能得到一个 有限的确定的常数. 随着研究领域的逐渐发展，数学家们运用无穷级数所取得的成功然而，由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和越来越多。而这些成功，可以毫不夸大地说，几乎都运用了合情推理时发生了改变。首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次方法，也就是说，级数的成功可以看作是合情推理的成功、数学方法相加则可能根本不存在有意义的结果。例如: 的成功。著名数学家、数学教育家波利亚在《数学与猜想》中举了数1+2+3+„+n+„ 学家欧拉在研究级数方面的例子，这是一个更能使人难忘和具有历史这就是说，一个级数可能是收敛的，即无限个数相加得到一个有 111111限的确定常数;也可能是发散的，即无限个数相加根本不存在有意义意义的有趣例子，即求的和，欧拉用1，，，，，，，？4916253649 的结果(如果不问收敛与发散，从形式上来处理和计算，就可能引出2,类比方法求出了这个和，等于(请读波利亚《数学与猜想》第一6荒谬的结论，例如: 卷第二章?6)。 s=1+2+4+8+„=1+2(1+2+4+„)=1+2s u?0。这是级数一个极其重要的性质,但u?0并不能保证级数一定nn 于是 s-2s=1，s=-1。 收敛，这是因为u?0的快慢还有差别。换言之，级数收敛不仅要求n 这个显然的错误，问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 在那里呢,就是忽视了级数的敛散性，在u是一个无穷小，而且还要求u是一个较高阶的无穷小。判断正项级nn 没有讨论其敛散性之前，我们不能轻率地就认为它有和，并且按照普数的敛散性，实质上就是判断u是几阶无穷小。n 通的和来计算。因此，判明一个级数其收敛还是发散是非常重要的， 敛散性问题被看作级数的首要问题，级数敛散性是级数这一章教学的尽管必要条件可以排除一些明显的发散级数，然而，根据定义来关键与重点. 判断级数收敛与否仍然是极其困难的，因为只有在少数情况下可以求 一般来说，级数的敛散性是根据部分和数列是否有极限来定义出级数的部分和。于是研究级数敛散性的判别法就成为级数当然的课的，教学中可以举出各种情况的例子，加深学生的印象. 例如: 题与数项级数的主要内容。上世纪三十年代到五十年代，数学家们在 这方面发表了很多 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ，提出了许多判别级数收敛的充分条件，即判 1111n别法。一般教材上只介绍正项级数的比较法、比值法、根值法、积分1+++„++„，因为s=2[1-()]，=2, 所以级limsnnn,1242,,n2 法，交错级数的莱布尼兹判别法等几种基本的判别法. 教学中应该讲数收敛; 透这些判别法，并指出这些方法的实质。 11+2+3+„+n+„，因为s=n(n+1)，=+，所以级数发散;,limsnn2,,n首先着重讨论一下正项级数的判敛法，因为其部分和是递增的， 根据单调有界数列必有极限可知，正项级数收敛的充要条件是它的部 n+11-1+1-„+(-1)+„，因为s不趋于一个固定的数，所以级数发n分和有界，它是正项级数判敛法之根据，它的重要意义在于不必再求散。 部分和的极限了，正由于它，正项级数的理论才能够这样和谐、清楚. 伴随级数收敛概念同时，也引进了级数和的概念，级数和只有当 它收敛时才存在。这个“和”是一个极限值。在通常范围内，发散级在判敛法中，比值法是最简单而常用的，然而它没有根值法功效数是没有和的。 强. 例如: 根据级数敛散性的定义，不难推出级数收敛的必要条件:通项 111111确是一种困惑。 ++++„+++„， 2432n,12n233223 合情推理～也许合情推理可以帮助我们找到摆脱困境的通道。u，1n用比值法是无法判断的，随n的奇偶不同有不同极限，但用根u n 值法可以断言其收敛. lnn仔细观察经常遇到的级数的通项，无非是关于n的函数，如、但是不论是比值法还是根值法，当p=1时都失效，为什么呢,实 pnn(p>0)、(>1)、、等等。联想下列几个经过证明的正确nanan !质上这两种方法都是把所论级数和收敛的几何级数来比较的，它的项 比几何级数的项大，而和发散的几何级数来比，它的项又比几何级数的极限: nn !a的项小，这就是说，想检验所论级数的敛散性，几何级数这把“尺子”=0;=0(>1); limlimann,,n,,n !n 的精密度不够。P级数比几何级数精密，与P级数比，又产生了新的plnnnlimlim=0(>1，p>0);=0(p>0)。anpn,,,,nan判敛法，如拉阿伯判别法等等。但是必须指出这个精确化的过程是没 有尽头的，已经有人证明:对于任何收敛的正项级数都有比它收敛得 pnnlnnn自然可以推出当n?an时，、(p>0)、(>1)、、a,n !更“慢”的级数存在，而对于任何发散的正项级数都有此它发散得更 “慢”的级数存在，因此，企图建立一种对一切正项级数都有效的比是一个比一个更高阶的无穷大。 较 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是不可能的. 于是，因此根据级数收敛的必要条件，我们可以作出这样的估计， 积分判别法直接从单调有界数列必有极限出发应用定积分几何当级数的通项的分母是分子的高阶无穷大时级数收敛，反之可以猜意义而推得，因而应用比较、比值、根值法不能解决的问题往往用积测，级数肯定是发散的. n分法可以解决. P级数的敛散性就是一例，但是广义积分本身的敛散a由于比值法是用几何级数这把尺子作比较的，因此级数一,性如何判断呢,可见积分判别法同样不是一个完美的判敛法. pnnnna般项中出现、、时，估计只需用比值法;而出现时，由n ! nlnna于其比低阶，比值法失效，必须用比较法;出现时，则必须用在这些越来越多的判别法中，选用何种判别法,特别是通项较为 复杂时，如何作出判断,对于初学级数的学生来说，往往不知所措，积分判别法或者从定义直接判断. 阶无穷小时，我们还可以根据比较法的极限形式用的同阶无穷小u这只是对级数敛散性的一种估计、一种猜测，以便选择用什么判n ,别法合适. 并不能马上得出级数收敛还是发散的结论。必须还要用已替代，于是只要判断的敛散性即可. vv,nnn,1经过严格证明过的判别法去判断。 ,n,2,tann例2 x,nn，1例1 (x>0)。 n!()2,n,1nn,1,3n,n,n,解:因为当n?时，,. 而可预估为收tan ,,，1nn，1n，1n222解:由于分母是分子n!的高价无穷大，可以估计其是收敛的，nn,1 n+13且可以选用比值法: 敛的.(分母2是n的高价无穷大)用比值法判别: xn，1()ax(n1)!x，，1nn1，lim===。limlim,31n，1xa,,nen!,,nnn,,n,na1，(n1)2，1n(1，)()lim,lim==<1. nn23n，n,,a,,n2,2nn 原级数收敛.所以 当0e时，级数发散; 2(n，1)n1, a1n，1n(1，)当x=e时，因为1，级数发散. ann ,,,,ntan,。可用比较法判断或者再用等价,222,x2(n，1)2(n，1)2(n，1)nn,n1!()n而级数(x>0)，由于分子n!是分母1000的高价无穷,1000n,1,n,无穷小替代:,。 22n大，可估计级数是发散的，事实上不难由比值法判得.2(n，1) u特别地，当是一分式，且子次—母次>1时，级数一定是收敛n 1,的，子次-母次?1时，级数一定是发散的，因为分式都可以用替puu当级数的通项比较复杂时，不易看出是否无穷小,是几n,nnn,1 111357代. =x-x+x-x+„(-1?x?1)， f(x)735,1321例3 收敛. 因为,(母次-子次=>1);这个幂级数在x=1时不就是我们要求的和吗,,3332n1,n，1n，12n 对于这个幂级数，我们可以“加工”了，不难发现，对它逐项求 ,1n12n导就可以得到几何级数，其和是容易求得的: 发散. 因为,(母次-子次=<1)。,332nn1,n，1n，11246,=1-x+x-x+„=。 f(x)2 1，x 根据积分与微分的可逆性，再对上式求积分:根据以上经过的观察、联想、估计、猜测、验证等合情推理，于 是可以在教学中提出一种观察法或者称为预判别法，根据通项的阶来 xxdx,=f(x)dx==arctanx。 f(x),,2估猜级数的敛散性。然后再选择判别法进行判断。001，x 这是我们一般化后的幂级数的和。 事实上，分式方程去分母、无理方程两边平方就是合情推理，然取x=1，就得到了我们最初的数项级数的和: 后再检验，以得到正确的解。在级数教学中，提出观察法或者预判别 ,111法完全是合乎情理的。 f(1)=1-+-+„=. 4735 在级数教学中应用合情推理的另一个典型例子是求下列级数的这种一般化、特殊化的方法，即推广与限定，也是合情推理的方111和:1-+-+„。 法。一般化、特殊化经常与类比交互在一起，逻辑演泽与合情推理交735 这是一个交错级数，不难用莱布尼兹判别法判断其收敛。然而怎互在一起，促进我们的思维发展，指导我们的生活与工作。 样求它的和, 先一般化，就好象从从实数性质进而考虑复数性质那样，考虑这逻辑演绎统治数学教材、教学的时代已经过去，备受冷遇的数学 个级数的一般形式:合情推理在新课程标准的权威性指导下，终于迎来新的春天。让我们 伸出双臂，拥抱合情推理、逻辑演绎共同创造的数学的美丽春天～ 正是:演绎论证依旧在， 合情推理含笑来. 饱蘸笔墨写体会， 愿为数学添精彩。