完全平方数和完全平方式

完全平方数和完全平方式 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 :完全平方数和完全平方式 填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 221(已知a+b=6，ab=3，则a+b= _________ ( 2(若=5，则= _________ ( 223(x,3x+ _________ =(x, _________ )( 224(已知a+b=13，ab=6，则a+b的值是 _________ ( 22y5(已知x+y+4x,6y+13=0，那么x= _________ 6(已知=6，则= _________ ( 227(若(x,m)=x+x+a，则m= _________ ，a= _________ ( 28(x+kx+9是完全平方式，则k= _________ ( 229(若4x,kxy+y是一个完全平方式，则k= _________ ( 2210(若9x,kxy+4y是一个完全平方式，则k的值是 _________ ( 211(若x+3x+m是一个完全平方式，则m= _________ ( 2212(若9x+mxy+16y是一个完全平方式，则m= _________ ( 213(多项式4y+my+9是完全平方式，则m= _________ ( 214(若4x+mx+25是一个完全平方式，则m的值是 _________ ( 2215(已知x,mxy+y是完全平方式，则m= _________ ( 216(如果x+mx+16是一个完全平方式，那么m= _________ ( 217(若x,ax+16是一个完全平方式，则a= _________ ( 218(若x,2ax+16是完全平方式，则a= _________ ( 219(若a+2ka+9是一个完全平方式，则k等于 _________ ( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 220(若x+mx+1是完全平方式，则m= _________ ( 221(若x+mx+4是完全平方式，则m= _________ ( 222(代数式4x+3mx+9是完全平方式，则m= _________ ( 223(若二次三项式4x+ax+9是一个完全平方式，则a= _________ ( 224(多项式x+2mx+64是完全平方式，则m= _________ ( 解答题 225((2009•佛山)阅读材料:把形如ax+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方 222式的方法叫做配方法(配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a( ?2ab+b=(a?b) 22222例如:(x,1)+3、(x,2)+2x、(x,2)+x是x,2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项,,见横线上的部分)( 请根据阅读材料解决下列问题: 2(1)比照上面的例子，写出x,4x+2三种不同形式的配方; 22配方(至少两种形式); (2)将a+ab+b 222(3)已知a+b+c,ab,3b,2c+4=0，求a+b+c的值( 2226(已知(x+y)=49，(x,y)=1，求下列各式的值: 22(1)x+y;(2)xy( 222228(已知(x+y)=18，(x,y)=6，求x+y及xy的值( 29(图?是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图?的形状拼成一个正方形( (1)图?中的阴影部分的面积为 _________ ; 22(2)观察图?，三个代数式(m+n)，(m,n)，mn之间的等量关系是 _________ ; (3)若x+y=,6，xy=2.75，则x,y= _________ ; _________ (4)观察图?，你能得到怎样的代数恒等式呢, 22(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m+4mn+3n( 30(阅读材料并回答问题: 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可 22以用这种形式表示，如:(2a+b)(a+b)=2a+3ab+b，就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示( (1)请写出图(3)所表示的代数恒等式: _________ ; 22(2)试画一个几何图形，使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a+4ab+3b; (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 数学知识点:完全平方数和完全平方式 参考答案与试题解析 填空题 221(已知a+b=6，ab=3，则a+b= 30 ( 考点: 完全平方公式。 分析: 先把a+b=6两边乘方，再把ab=3代入即可求解( 解答: 解:?a+b=6， 222?(a+b)=a+2ab+b=36， ?ab=3， 22?a+2×3+b=36， 22解得a+b=36,6=30( 故应填30( 点评: 本题是对完全平方公式的考查，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错( 2(若=5，则= 23 ( 考点: 完全平方公式。 专题: 计算题。 分析: 根据完全平方公式两边平方，然后整理即可求解( 22解答: 解:?(a+)=a+2+=25， 2?a+=25,2=23( 点评: 此题主要考查了完全平方式的运用，本题利用好乘积二倍项不含字母是常数项是解题 的关键( 223(x,3x+ =(x, )( 考点: 完全平方公式。 分析: 根据乘积二倍项和已知的平方项先确定出另一个数，再根据完全平方公式解答( 解答: 解:?3x=2וx， 2222?x,3x+()=x,3x+=(x,)( 点评: 本题考查了完全平方公式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 224(已知a+b=13，ab=6，则a+b的值是 ?5 ( 考点: 完全平方公式。 专题: 计算题。 22分析: 先求出(a+b)的平方，然后把a+b=13，ab=6代入求解，最后再开平方即可( 22解答: 解:?a+b=13，ab=6， 222?(a+b)=a+b+2ab， =13+12， =25， ?a+b=?5( 点评: 本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一 222个完全平方式，完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b( 22y(已知x+y+4x,6y+13=0，那么x= ,8 5 考点: 完全平方公式;非负数的性质:偶次方。 分析: 利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数非负数列式 y求解出x、y的值，然后再求x的值( 22解答: 解:?x+y+4x,6y+13=0， 2222?x+4x+4+y,6y+9=0，即(x+2)+(y,3)=0， ?x+2=0，y,3=0， 解得x=,2，y=3， y3?x=(,2)=,8( 点评: 本题考查了完全平方公式和非负数的性质，利用完全平方公式整理得到两整式的平方 和是解题的关键( 6(已知=6，则= 32 ( 考点: 完全平方公式。 2分析: 把所给等式平方，求出a+的值，然后把所求的算式整理，代入数据计算即可得到 答案( 22解答: 解:?(a+)=a+2+=36， 2?a+=34， 22?(a,)=a,2+=34,2=32( 点评: 本题主要考查完全平方式，利用好乘积二倍项不含有字母是常数项是解本题的关键， 也是难点( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 227(若(x,m)=x+x+a，则m= , ，a= ( 考点: 完全平方公式。 2分析: 根据完全平方公式把(x,m)展开，然后根据对应项系数相等列式求解即可( 2222解答: 解:?(x,m)=x,2mx+m=x+x+a， 2?,2m=1，a=m， 解得m=,，a=( 点评: 本题主要考查完全平方公式的展开式，根据对应项系数相等列出等式是求解的关键( 28(x+kx+9是完全平方式，则k= ?6 ( 考点: 完全平方式。 分析: 这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2 倍，故k=?6( 解答: 解:中间一项为加上或减去x和3的积的2倍， 故k=?6( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 229(若4x,kxy+y是一个完全平方式，则k= ?4 ( 考点: 完全平方式。 专题: 计算题。 分析: 本题考查完全平方公式的应用能力，因为这里首尾两项是2x和y的平方，因此中间 一项为加上或减去它们乘积的2倍，所以可得:kxy=?2•2x•y，即:k=?4( 222解答: 解:?(2x?y)=4x?4xy+y， 22?在4x,kxy+y中，k=?4( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 2210(若9x,kxy+4y是一个完全平方式，则k的值是 ?12 ( 考点: 完全平方式。 分析: 这里首末两项是3x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和2y积的 2倍( 解答: 解:中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍( 故k=?12( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 211(若x+3x+m是一个完全平方式，则m= ( 考点: 完全平方式。 222分析: 利用完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b(即可求得( 解答: 解:?3x=2x•， 2?m=()=( 故填( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(此题 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 熟练掌握并灵活运用完全平方公式，会从乘积项求平方项 的值( 222(若9x+mxy+16y是一个完全平方式，则m= ?24 ( 1 考点: 完全平方式。 专题: 计算题。 分析: 这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2 倍，故:m=?24( 222解答: 解:?(3x?4y)=9x?24xy+16y， 22?在9x+mxy+16y中，m=?24( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 213(多项式4y+my+9是完全平方式，则m= ?12 ( 考点: 完全平方式。 专题: 计算题。 分析: 这里首末两项是2y和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2y和3积的2 倍，故，m=?12( 22解答: 解:?(2y?3)=4y?12y+9， 2?在4y+my+9中，m=?12( 点评: 本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构 成了一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 214(若4x+mx+25是一个完全平方式，则m的值是 ?20 ( 考点: 完全平方式。 222分析: 先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b(利用乘积 二倍项列式求解即可( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 2解答: 解:?4x+mx+25是完全平方式， ?这两个数是2x和5， ?mx=?2×5×2x， 解得m=?20( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键( 2215(已知x,mxy+y是完全平方式，则m= ?2 ( 考点: 完全平方式。 分析: 这里首末两项是x和y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和y的积的2 倍，故,m=?2，m=?2( 22222解答: 解:由于(x?2)=x?2xy+y=x+mx+y， ?m=?2( 故本题答案为:?2( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 216(如果x+mx+16是一个完全平方式，那么m= ?8 ( 考点: 完全平方式。 分析: 这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍， 依此求出m的值( 2解答: 解:?x+mx+16是一个完全平方式， ?这两个数是x和4， ?mx=?2×4•x， 解得m=?8( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 217(若x,ax+16是一个完全平方式，则a= ?8 ( 考点: 完全平方式。 222分析: 完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中 间一项为加上或减去x和4的积的2倍( 2解答: 解:?x,ax+16是一个完全平方式， ?ax=?2•x×4=?8x， ?a=?8( 点评: 本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式， 并熟记公式，这样才能灵活应用( 本题易错点在于:是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析， 避免漏解( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 218(若x,2ax+16是完全平方式，则a= ?4 ( 考点: 完全平方式。 222分析: 完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中 间一项为加上或减去x和4积的2倍( 2解答: 解:?x,2ax+16是完全平方式， ?,2ax=?2×x×4 ?a=?4( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 219(若a+2ka+9是一个完全平方式，则k等于 ?3 ( 考点: 完全平方式。 222分析: 先根据平方项确定出这两个数是a和3，再根据完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b的 乘积二倍项列式求解即可( 2解答: 解:?a+2ka+9是一个完全平方式， ?这两个数是a和3， ?2ka=?2×3•a， 解得k=?3( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(此题解题的关键是利用平方项求出这两个数( 220(若x+mx+1是完全平方式，则m= ?2 ( 考点: 完全平方式。 分析: 本题考查完全平方公式，这里根据首末两项是x和1的平方可得，中间一项为加上或 减去它们乘积的2倍，即:x=?2•x•1，由此得m=?2( 2解答: 解:由于(x?1)， 2=x?2x+1， 2=x+mx+1， ?m=?2( 点评: 本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式， 并熟记公式，这样才能灵活应用，本题易错点在于:是加上或减去两数乘积的2倍， 在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解( 221(若x+mx+4是完全平方式，则m= ?4 ( 考点: 完全平方式。 分析: 这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍， 故m=?4( 解答: 解:中间一项为加上或减去x和2积的2倍， 故m=?4， 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 故填?4( 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 222(代数式4x+3mx+9是完全平方式，则m= ?4 ( 考点: 完全平方式。 分析: 本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是2x和3的平方，那么中间项为 加上或减去2x和3的乘积的2倍( 2解答: 解:?4x+3mx+9是完全平方式， ?3mx=?2×3•2x， 解得m=?4( 点评: 本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解( 223(若二次三项式4x+ax+9是一个完全平方式，则a= ?12 ( 考点: 完全平方式。 专题: 配方法。 分析: 此题考查了配方法，一次项系数等于二次项系数与常数项的平方根的积的2倍，注意 完全平方式有两个，所以一次项系数有两个且互为相反数( 解答: 解:a=?2×2×3=?12( 点评: 此题考查了学生的应用能力与计算能力，解题要注意别漏解( 224(多项式x+2mx+64是完全平方式，则m= ?8 ( 考点: 完全平方式。 分析: 根据完全平方公式结构特征，这里首尾两数是x和8的平方，所以中间项为加上或减 去它们乘积的2倍( 2解答: 解:?x+2mx+64是完全平方式， ?2mx=?2•x•8， ?m=?8( 点评: 本题是完全平方公式的应用，要熟记完全平方公式的结构特征:两数的平方和，再加 上或减去它们乘积的2倍，为此应注意积的2倍有符号有正负两种，避免漏解( 解答题 225((2009•佛山)阅读材料:把形如ax+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方 222式的方法叫做配方法(配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a?2ab+b=(a?b)( 22222例如:(x,1)+3、(x,2)+2x、(x,2)+x是x,2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项,,见横线上的部分)( 请根据阅读材料解决下列问题: 2(1)比照上面的例子，写出x,4x+2三种不同形式的配方; 22(2)将a+ab+b配方(至少两种形式); 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 222(3)已知a+b+c,ab,3b,2c+4=0，求a+b+c的值( 考点: 完全平方公式。 专题: 阅读型。 2分析: (1)(2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x 22,4x+2和a+ab+b的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式; (3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值( 2解答: 解:(1)x,4x+2的三种配方分别为: 22x,4x+2=(x,2),2， 22x,4x+2=(x+),(2+4)x， 222x,4x+2=(x,),x; 222(2)a+ab+b=(a+b),ab， 2222a+ab+b=(a+b)+b; 222(3)a+b+c,ab,3b,2c+4， 2222=(a,ab+b)+(b,3b+3)+(c,2c+1)， 2222=(a,ab+b)+(b,4b+4)+(c,2c+1)， 222=(a,b)+(b,2)+(c,1)=0， 从而有a,b=0，b,2=0，c,1=0， 即a=1，b=2，c=1， ?a+b+c=4( 222点评: 本题考查了根据完全平方公式:a?2ab+b=(a?b)进行配方的能力( 2226(已知(x+y)=49，(x,y)=1，求下列各式的值: 22(1)x+y;(2)xy( 考点: 完全平方公式。 2222分析: 根据完全平方公式把(x+y)和(x,y)展开，然后相加即可求出x+y的值，相 减即可求出xy的值( 222解答: 解:由题意知:(x+y)=x+y+2xy=49?， 222(x,y)=x+y,2xy=1?， 22?+?得:(x+y)+(x,y)， 2222=x+y+2xy+x+y,2xy， 22=2(x+y)， =49+1， =50， 22?x+y=25; 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 22?,?得:4xy=(x+y),(x,y)=49,1=48， ?xy=12( 点评: 本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键( 222228(已知(x+y)=18，(x,y)=6，求x+y及xy的值( 考点: 完全平方公式。 2222分析: 把(x+y)=18，(x,y)=6，展开后，相加即可求出x+y的值，相减即可求出xy 的值( 22解答: 解:?(x+y)=18，(x,y)=6， 2222?x+y+2xy=18，x+y,2xy=6， 2222两式相加得，2(x+y)=24，?x+y=12; 两式相减得，4xy=12，?xy=3( 点评: 本题考查完全平方公式的灵活运用，利用了建立方程组的思想整体求解( 29(图?是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图?的形状拼成一个正方形( 2(1)图?中的阴影部分的面积为 (m,n) ; 222(2)观察图?，三个代数式(m+n)，(m,n)，mn之间的等量关系是 (m,n)+4mn= 2(m+n) ; (3)若x+y=,6，xy=2.75，则x,y= 5 ; ,5 (4)观察图?，你能得到怎样的代数恒等式呢, 22(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m+4mn+3n( 考点: 完全平方公式的几何背景。 分析: (1)可直接用正方形的面积公式得到( (2)数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别( (3)此题可参照第二题( (4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式( (5)可参照第四题画图( 2解答: 解:(1)(m,n)(3分) 22(2)(m,n)+4mn=(m+n)(3分) (3)?5(3分) 22(4)(m+n)(2m+n)=2m+3mn+n(3分) (5)答案不唯一:(4分) 例如: 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 点评: 解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方 公式，并能进行变式( 30(阅读材料并回答问题: 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可 22以用这种形式表示，如:(2a+b)(a+b)=2a+3ab+b，就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示( 22(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式: (2a+b)(a+2b)=2a+5ab+2b ; 22(2)试画一个几何图形，使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a+4ab+3b; (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形( 考点: 完全平方公式的几何背景。 专题: 阅读型。 分析: 本题考查用平面几何图形的面积来表示一些代数恒等式，如图(3)中长方形的面积= 长×宽=(2a+b)(a+2b)，长方形的面积还可以把几个小图形的面积相加，即 222222a+a+ab+ab+ab+ab+ab+b+b=2a+5ab+2b( 22解答: 解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a+5ab+2b; (2)(答案不唯一); 22(3)恒等式是(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b，如图所示( (答案不唯一) 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载 全国奥数信息资源门户网站 www.aoshu.com 点评: 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式(注意积的2倍的符号，避免漏解( 全国奥数网 www.aoshu.com 版权所有 谢绝转载