八年级数学因式分解13

15．5因式分解的复习 新课指南 1.知识与技能：掌握运用提公因式法、 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 法、分组分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 和转化的数学思想. 4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解. 教材解读  精华要义 数学与生活 630能被哪些数整除？说说你是怎么想的. 思考讨论  在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×32×5×7. 类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？ 知识详解 知识点1  因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. 例如： (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 知识点2  提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2； (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 点拨  (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法. 知识点3  公式法 (1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2. 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2. 探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)； (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2； (3)x2-2x-1=(x-1)2. 点拨  (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解. 知识点4  分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结  (1)分组分解法一般分组方式不惟一. 例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种： 方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b). (2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式. 例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有： (1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组. 例如：把下列各式因式分解. (1) am+bm+an+bn； (2)x2-y2+x+y； (3)2ax-5by+2ay-5bx. 知识点5  关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 事实上：x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). ∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式. 例如：把x2+3x+2分解因式. (分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子. 解：x2+3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析  师生互动 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式. 例1  用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay；  (2)6xyz-3xz2；  (3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab；  (5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m). (分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式. 解：(1)ax-ay=a(x-y) (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z). (3)-x3z+x4y=x3(-z+xy). (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1). (5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y). (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2(m-y). 小结  运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n). (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数). 例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2. 本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2. a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c). (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式. 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2. 学生做一做  把下列各式分解因式. (1)am+an；                            (2)(xy+ay-by)； (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；    (4)3x(a-b)-2y(b-a)； (5)4p(1-q)3+2(q-1)2；                (6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1. 老师评一评  (1)原式=a(m+n)            (2)原式=y(x+a-b)； (3)原式=2(2a+b)2；                    (4)原式=(a-b)(3x+2y)； (5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；            (6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay). 例2  把下列各式分解因式. (1)m2+2m+1；                            (2)9x2-12x+4； (3)1-10x+25x2；                        (4)(m+n)2-6(m+n)+9. (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式. 解：(1)m2+2m+1=(m+1)2. (2)9x2-12x+4=(3x-2)2. (3)1-10x+25x2=(1-5x)2. (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2. 学生做一做  把下列各式分解因式. (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；                (2)(x+y)2-4(x+y-1). 老师评一评  (1)原式=(x2+3)2；            (2)原式=(x+y-2)2. 例3  把下列各式分解因式. (1)x2+7x+10；                        (2)x2-2x-8； (3)y2-7y+10；                        (4)x2+7x-18. (分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解. 解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).