【教学论文】对含参数的一元二次方程的整数根问题的探索【教师职称评定】【教学论文】对含参数的一元二次方程的整数根问题的探索【教师职称评定】
对含参数的一元二次方程的整数根问题的探索
2 对于一元二次方程ax,bx,c=0(a?0)的实根情况,可以用判别式Δ2=b-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质(本讲结合例题来讲解一些主要的方法(
例1:设m是不为零的整数,关于x的二次方程
2mx-(m-1)x,1,0
有有理根,求m的值(
解 一个整系数的...
【教学论文】对含参数的一元二次方程的整数根问题的探索【教师职称评定】
对含参数的一元二次方程的整数根问题的探索
2 对于一元二次方程ax,bx,c=0(a?0)的实根情况,可以用判别式Δ2=b-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质(本讲结合例题来讲解一些主要的方法(
例1:设m是不为零的整数,关于x的二次方程
2mx-(m-1)x,1,0
有有理根,求m的值(
解 一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数(令
22Δ=(m-1)-4m,n,
其中n是非负整数,于是
22m-6m+1=n,
所以 (m-3)2-n2=8,
(m-3,n)(m-3-n),8(
由于m-3,n?m-3-n,并且
(m-3,n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数,所以m-3,n与m-3-n同奇偶,所以
说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决(
例2:关于x的方程
2ax+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解,且a是整数,求a的值(
解 当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数解(
当a?0时,方程是一元二次方程,它至少有一个整数根,说明判别式
2Δ,4(a-3)-4a(a-2),4(9-4a)
2 为完全平方数,从而9-4a是完全平方数(令9-4a=n,则n是正奇数,
要使x为整数,而n为正奇数,只能n=1,从而a=2(要使x为整数,12即n-3,4,n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10(
综上所述,a的值为2,-4,-10(
说明 本题是前面两种方法的“综合”(既要用判别式是平方数,又要用直接求根(有时候,往往是几种方法一同使用(
例6 求所有有理数r,使得方程
2rx+(r+1)x,(r-1)=0
的所有根是整数(
分析 首先对r=0和r?0进行讨论(r=0时,是关于x的一次方程;r?0时,是关于x的二次方程,由于r是有理数,处理起来有些困难,这时用直接求根或用判别式来做,均不能奏效(可用韦达定理,先把这个有理数r消去(
解 当r=0时,原方程为x-1=0,所以x=1(
当r?0时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为x,x,且x?x,则 1212
消去r得
xx-x-x,2, 1212
所以(x-1)(x-1)=3( 12
例3: 已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程
2ax,2(2a-1)x,4(a-3)=0
至少有一个整数根,求a的值(
解 将原方程变形为
2(x,2)a= 2(x,6)(
显然x,2?0,于是
由于a是正整数,所以a?1,即
2 所以 x+2x-8?0,
(x,4)(x-2)?0,
所以 -4?x?2(x?-2)(
当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为1,6,10,3,
说明 从解题过程中知,当a=1时,有两个整数根-4,2;当a=3,6,10时,方程只有一个整数根(有时候,在关于x的一元二次方程中,如果参数是一次的,可以先对这个参数来求解(
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