第5章单自由度系统振动

第5章单自由度系统振动 第五章 单自由度系统振动 ?5.1 概述 5.1.1 单自由度系统的简化及其模型 任何一个实际的振动系统都是无限复杂的，为了能对之进行分析，一定要加以简化，并在简化的基础上建立合适的力学模型。振动系统的力学模型是由三种理想化的元件组成的，它们是:质块、阻尼器和弹簧，由它们所组成的单自由度系统如图5-1所示。图中，m表示质块，c表示阻尼器，k表示弹簧。实际上，人们并不一定能在实际的振动系统中直接找到图5-1所示的理想元件。图5-1是对实际物理系统的一种抽象和简化，这是振动分折的第一步工作。需要指出的是，系统的简化取决于所考虑问MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713997749418_0的复杂程度与所需要的计算精度。一般来讲，所考虑的问题越复杂， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 计算的精度越高，所采用模型的复杂程度也就越高。下面介绍一些单自由度简化模型的实例。 在简化模型中，振动体的位置或形状只需用一个独立坐标来描述的系统称为单自由度系统，其模型如图5-1所示。 x(t)mkx(t)mkc c (a)(b) kcL m,x(t)(t)m (c)(d) 图5-1 单自由度系统的简化模型 ωω 电机电机弹性梁防衬垫 (a) (b) 图5-2 电机垂直振动 图1-2表示机床与基础的振动。由于机床及其混凝土基础的变形相对于衬垫要小得多，故可视机器及其基础为刚体，其质量用m来表示。又由于参与振动的衬垫质量较机 65 器及其基础要小得多，且衬垫较软，具有能耗作用，可视为弹簧和阻尼器，则图1-2所示的系统即可简化为图5-1(b)所示的单自由度系统。显然这种简化的结果只能用于研究机器及其基础在垂直方向上的整机振动。又如图5-2(a)所示安装在弹性梁上与图5-2(b)所示安装在防振垫(橡皮、木块等)上的电机若只研究电机在垂直方向上的振动也可简化为图5-1(b)所示的单自由度系统。 图5-3所示的连杆，当研究连杆的角振动ζ(t)时，若将连杆的分布质量演化为其质心在c处的集中质量m，则可简化为图5-l(d)所示的单摆系统。图5-7所示飞轮的扭转振动，由于飞轮的惯性矩相对于轴的惯性矩要大好多，可将轴简化为一扭转弹簧，从而得到单自由度扭振系统，该系统以角度ζ为坐标，又称为角振动系统。 o ,cG,IL mk L ,(t) 图5-3 连杆角振动 图5-4 飞轮扭转振动 下面介绍组成振动系统的各种理想元件的意义与性质。 一、弹性元件 1.弹性元件的意义与性质 在振动系统中，弹性元件(或弹簧)对于外力作用的响应，表现为一定的位移或变形。图5-5(a)为弹性元件的示意图。弹簧所受外力F是位移x的函数，即有: s Fsx ,1,,tgkoFsx 线性范围 (a) (b) 图5-5 弹性元件 F=f(x) (5-1) s 其关系如图5-5(b)所示。F在数量上等于弹簧的弹性恢复力，但方向相反。在一定的s 范围(称为线性范围)内，F是x的线性函数，即: s F=kx (5-2) s 式中，k称为弹簧刚度，其量纲为(力,长度)，通常取单位为N,m，N,cm，或N,mm。显然，由图5-5(b)，有: tg,k, (5-3) 即弹簧刚度k在数值上等于使弹簧产生单位位移所需施加的力。 对于弹性元件需要指出以下几点: 66 (1)通常假定弹簧是没有质量的。而实际上，物理系统中的弹簧总是具有质量的，在处理实际问题时，若弹簧质量相对较小，则可忽略不计;否则需对弹簧质量作专门处理或采用连续模型。 (2)(5-2)、(5-3)式所示关系，是对弹簧的一种线性化处理。工程实践表明，大参数振动系统的振幅不会超出其弹性元件的线性范围，因而，这种线性化处理符合一般机械系统的实际情况。 (3)对于角振动的系统，其弹簧为扭转弹簧，其刚度k等于使弹簧产生单位角位移所 2-2需施加的力矩，其量纲为〔MLT〕，通常取单位为Nm/rad。例如，图5-4所示的轴常可视为扭转弹簧。与(5-2)式相似，在线性范围内，扭簧所承受的外力矩M、转角ζ与扭转刚度k的关系为: M=kζ (5-4) (4)实际工程结构中的许多构件，在一定的受力范围内都具有作用力与变形之间的线性关系，因此都可作为线性弹性元件处理。例如图5-6所示的拉杆，根据材料力学，拉力P与杆的变形δ之间具有如下关系: PL,, EA 式中，L为杆长，E材料的弹性模量，A为杆的截面积。显然，若设k,EA,L，则有: P,kδ AE PP L,2,2 图5-6 拉杆的弹性变形 上式与(5-2)式的意义和形式完全一致。因此，拉杆相当于一个刚度为k,EA,L的线性弹簧。又如图5-4所示扭振系统，根据材料力学扭转力矩M与角位移ζ之间的关系为: ,,MLGJ 式中，L为轴的长度，G为轴的材料的剪切弹性模量，J为轴的截面极惯性矩。显然，如设k,GJ,L，则有式(5-4)所示关系。因此一段轴相当于扭转刚度为k,GJ,L的一个扭簧。实际机械系统中的弹性元件是多种多样的，例如，橡皮、木材、土壤、压缩空气等都经常作为弹性元件处理。 (5)从能量的角度来看，弹性元件不消耗能量而是以势能的方式贮存能量。 2.等效刚度 机械结构中的弹性元件往往具有比较复杂的组合形式，这时可用一个“等效弹簧”来取代整个组合弹簧，以简化分析。等效弹簧的刚度称为“等效刚度”，记为k，必须等eq于组合弹簧系统的刚度。 图5-7示出了弹簧的并、串联组合方式，其中图(a)为并联，图(a)为串联、图(c)为等效模型，其等效刚度的计算方法如下: 67 xx12 k1FFs1s1 FsFs(a)FkFs22s2 xxx102 kk12F(b)sFs keqFsFs(c) 图5-7 弹簧并、串联组合方式 对于并联弹簧如图5-7(a)，若设弹簧k、k所受到的力分别为F、F，则有F= k 12s1s2s11 (x-x)，F= k (x-x)。由于总的作用力F是F与F之和，故有: 21s2221ss1s2 F=F+F=(k+ k)(x-x)= k(x-x) ss1s21221eq21式中， k=k+k (5-5) eq12 将这一结论推广，若将n个刚度分别为k (i,l，2，„, n)的弹簧进行并联，则其等i 效刚度为: n k,k (5-6) ,eqi,1i 上式中如果k=k„=k=k，则有: 12n k=nk (5-7) eq 由上式可见，并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和，即并联弹簧较各组成弹簧 “硬”。 对于图5-7(b)所示串联弹簧，由于在整个串联长度上作用力F处处相等，即: s F= k (x-x)，F= k (x-x)， s101s220将以上两式联立，消去x，得到: 0 kk12F,(x,x),k(x,x) s21eq21k，k12 式中: kk12k, (5-8) eqk，k12 或 111,， (5-9) kkkeq12 将上式推广，若将n个刚度分别为k (i,l，2，„, n)的弹簧进行串联，则其等效刚i 度为: n11, (5-10) ,kkeqii,1 68 上式中若k=k„=k=k，则有: 12n k=k/n (5-11) eq 由上式可见，串联弹簧的等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹簧较其任何一个组成弹簧“软”。 需要指出，确定弹性元件的组合方式是并联还是串联，关键在于看他们是“共位移”还是“共力”。并联方式中各弹簧是“共位移”的，即各弹簧端部的位移相等;而串联方式中各弹簧是“共力”的，即各弹簧所受到的作用力相等。只要正确地确定了弹性元件的组合方式，按(5-6)、(5-10)式计算等效刚度是并不困难的。例如图5-8所示的两种组合方式中，图(a)中的弹簧k、k的位移相等，是“共位移”的，因此是并联，而图(b)中弹12 簧k与弹簧k中的弹性力F相等，即是“共力”的，因此，是串联。 12s x1 FkFks11s1 xx2FkFFks22s2 (a) (b) -8 弹簧串并联区别方式 图5 例5-1 图5-9是利用电动式激振器测某试件固有频率的示意图。试件简化为弹簧k1和质量m，试验时，激振器顶杆与试件m刚性联接，激振器的可动部分质量为m，弹112簧刚度为k，试计算系统的等效刚度。 2 k1 m1 m2 k2 图5-9 电动式激振器测某试件固有频率的示意图 解:由图5-9显见，m与m为刚性联接，该系统与图5-8(a)中系统是一致的，弹簧12 k、k是“共位移”的，为并联弹簧，由(5-5)式得系统的等效刚度为: 12 k=k+ k eq12 例5-2 确定图5-10所示混联弹簧的等效刚度。 k1 k3k2 图5-10 混联弹簧等效刚度 69 解:显然，k、k为并联，k再与之串联，由(5-5)、(5-9)式有: 123 111 ,，kk，kkeq123 化简得: ，k(kk)312,k eq，，kkk123 例5-3 确定图5-11(a)所示阶梯轴的等效扭转刚度。 ,2,2,1,,11(GJ)(GJ)11(GJ)(GJ)22 MMMLLLL1122 a) b) 图5-11 阶梯轴的等效扭转刚度 解:设ζ、ζ分别为两段轴的右端角位移，由于扭矩M沿轴向不变，根据材料力12 学有 MLML21,,,,,,， 211GJGJ1122由上两式化简得圆盘的角位移ζ为: 2 ,,LL12,,M ,，,2,,GJGJ1122,,显然，阶梯轴的等效扭转刚度即为: LL112 ,，kGJGJeq1122 上式表明，图示阶梯轴相当于串联弹簧的扭转刚度。 二、阻尼元件 振动系统的阻尼特性及阻尼模型乃是振动分析中最困难的问题之一，也是当代振动 研究中最活跃的方向之一。 1.阻尼元件的意义与性质 Fd ，x(t) ,1tgc，x coFd a) b) 图5-12 阻尼元件 在振动系统中，阻尼元件(或阻尼器)对于外力作用的响应，表现为其端点的一定的移 70 动速度。图5-12(a)为阻尼器的示意图。它所受到的外力F (或者其产生的阻尼力-F )，dd ，x是振动速度的函数，即: ， (5-12) F,f(x)d ，对于线性阻尼器，F是的线性函数如图5-12(b)所示。 xd ， (5-13) F,cxd-1式中，c称为阻尼系数，其量纲为MT，通常取单位为N?s,m，N?s,cm，或N?s,mm。阻尼系致c是使阻尼器产生单位速度所需施加的力。对于阻尼元件需要指出以下几点: (1)通常假定阻尼器的质量是可以忽略不计的。 ，,(2)对于角振动系统其阻尼元件为扭转阻尼器，其阻尼系数c是产生单位角速度所2-1需施加的力矩，其量纲为MLT，通常取单位为N?m?s,rad，且仍有与式(5-13)类似的关系: ， (5-14) ,,Mcd 式中，M为阻尼力矩。 d (3)与弹性元件不同的是，阻尼元件是消耗能量的，它以热能、声能等方式耗散系统的机械能。 2.非粘性阻尼 上述与速度成正比的阻尼，称为粘性阻尼，又称为线性阻尼。采用线性阻尼的模型使得振动分析的问题大为简化。工程实际中还有许多其它性质的阻尼，统称为非粘性阻尼。在处理这类问题时，通常将之折算成等效的粘性阻尼系数c，其折算的原则是:一eq 个振动周期内由非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼所消耗的能量。关于等效粘性阻尼系数c的计算，将在后续课程介绍。下面介绍几种常见的非粘性阻尼。 eq (1)库仑阻尼 库仑阻尼亦称为干摩擦阻尼，如图5-13所示。振动时，质量m与摩擦系数为μ的表 ，x面间产生库仑摩擦力F,μmg，F始终与运动速度的方向相反而大小保持为常值，即: cc x(t)， kmFc mg 图5-13 库仑阻尼 ，F,,,mg,sgn(x) (5-15) c 其中，sgn为符号函数，这里定义为 ，x(t)，sgn(x), (5-16) ，x(t) ，x(t)须注意，当,0时，库仑阻尼力是不定的，它取决于合外力的大小而方向与之相反。 (2)流体阻尼 71 流体阻尼是当物体以较大速度在粘性较小的流体(如空气，液体)中运动时，由流体介 ，质所产生的阻尼。流体阻尼力F始终与运动速度方向相反，而其大小与速度平方成x(t)s 正比，即， 2，， (5-17) F,,,x,sgn(x)s 式中，γ为常数。 (3)结构阻尼 由材料内部摩擦所产生的阻尼称为材料阻尼，由结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼称为滑移阻尼，两者统称为结构阻尼。试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线会成为一个滞后曲线，如图5-14所示。此曲线所围的面积表示一个循环中单位体积的材料所消耗的能量，这部分能量以热能的形式耗散掉，从而对结构的振动产生阻尼。因此，这种阻尼又称为滞后阻尼。大量试验指出，对于大参数结构金属，材料阻力在一个周期内所稍耗的能量ΔE与振幅的平方成正比，而在相当大的范围内与s 振动频率无关，即有: 应力 加载卸载 应变 图5-14 结构阻尼 2 (5-18) ,E,,xs x其中，α是由材料性质所决定的常数，为振幅。 三、质量元件 1.质量元件的意义与性质 在振动系统中，质量元件(或质块)对于外力作用的响应，表现为一定的加速度，如 -15所示。 图5 ，，x(t) Fmm 图5-15 质量元件 ，，x(t)根据牛顿第二定律，质块所受外力F 与加速度间的关系为: m ，，Fmx(t), (5-19) m2式中，m称为质量块的质量，其量纲为M，通常采用的单位为kg、N或N?s,m或 72 2N?s,mm。对于质量元件，需指出以下几点: (1)通常假定质量元件是刚体(即不具有弹性特征)，不消耗能量(即不具有阻尼特性)。 (2)对于角振动系统其质量元件以其相对于支点的转动惯量I来描述。力矩M与角m ，，加速度仍具有类似于式(5-19)的关系: ,(t) ，， (5-20) MI,(t),m 综上所述，在对实际机械结构进行振动分析时，如果是突出某一部分的质量而忽略其弹性与阻尼，就得到没有弹性和阻尼的“质块”，同样可得到没有阻尼和质量的“弹簧”以及没有质量与弹性的阻尼器等各种理想化的元件。 5.1.2单自由度系统的振动 所谓单自由度振动系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参量的个数，这种独立参量称为广义坐标。在机械振动中，广义坐标可以是线位移、角位移，以至它们的组合。在单自由度振动系统中，只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x(线位移)或ζ(角位移)就可以决定振动质点的瞬时位置。 所有的单自由度振动系统经过简化都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量。所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧的刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论的单自由度系统中，所称的质量就是指当量质量，所称的刚度就是指当量弹簧刚度。 单自由度振动系统通常包括一个定向振动的质量m，联接于振动质量与基础之间的弹性元件(其刚度为k)，以及运动过程中产生的阻尼(阻尼系致为c)。振动质量m、弹簧刚度k、阻尼系数c是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P(可以是简谐的，也可以是任意的)。 ，x，，系统振动时，振动质量产生位移x、速度、和加速度，从而产生弹性力kx、阻尼x ，，，mx力和惯性力。它们分别与振动质量的位移、速度和加速度成正比，但方向均相反。 cx 应用牛顿运动定律或达朗贝尔原理可以建立单自由度振动系统的运动微分方程式。 根据牛顿运动定律:作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积。 ，cxsin,Pt，cxsin,Ptkxkx00 xx，，mx(a)(b) 图5-16 振动体受力情况 现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正(图5-16a)，则: 73 ，，， (5-21) mx,Psin,t,cx,kx0 或 ，，， (5-22) mx，cx，kx,Psin,t0 根据达朗贝尔原理，在一个振动体上的所有各力的合力必等于零，即: 惯性力，阻尼力，弹性力，激振力,0 质点的惯性力是作用于施力物体上的。现用动静法分析，可以认为，作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系(图5-16b)。则: ，，， ,mx,cx,kx，Psin,t,00 或 ，，， mx，cx，kx,Psin,t0 (5-22)式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。它又可以分为以下几种不同的情况: (1)单自由度无阻尼自由振动 ，，mx，kx,0 (2)单自由度有阻尼自由振动 ，，，mx，cx，kx,0 (3)单自由度无阻尼受迫振动 ，， mx，kx,Psin,t0 (4)单自由度有阻尼受迫振动 ，，， mx，cx，kx,Psin,t0 下面我们就来分别讨论这几种不同情况的振动。 ?5.2单自由度系统无阻尼自由振动 5.2.1系统的动力学模型和运动微分方程 无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。其动力学模型如图5-17所示。 klk,jmoo x(a)mx(b) 图5-17 无阻尼自由振动动力学模型 设质量块的质量为m，它所受的重力为W。弹簧刚度为k，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所需施加的力。 弹簧未受力时的原长为l，挂上质量块后，弹簧的静伸长为λ。此时系统处于静平衡j状态。平衡位置为o-o。由静平衡条件得: 74 k,,W (5-23) j 当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标原点，以x表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位置x k(,，x)时，质量块所受的作用力是重力W和弹性力。由于受力不平衡，质量块即产生j 加速运动。 ，，mx,W,k(,，x),,kx j 即 ，， (5-24) mx，kx,0 上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。式中-kx是重力与弹性力的合力，其大小和位移x成正比，其方向始终和位移方向相反，即始终指向静平衡位置，故称其为弹性恢复力。 现求解上列微分方程。先将(5-24)式改写成: k，，x，x,0 m 令 k2,, (5-25) nm 则 2，， (5-26) x，,x,0n stx,e这是一个二阶齐次常系数线性微分方程。显然是方程的一个解，将其代入(5-26)得: 22st (s，,)e,0n 即 22s，,,0 n s,,i, n 故方程(5-26)的通解为: i,t,i,tnn x,ce，ce12 ,c(cos,t，isin,t)，c(cos,t,isin,t) 1nn2nn ,(c，c)cos,t，i(c,c)sin,t 12n12n ,bcos,t，bsin,t (5-27) 1n2n 式中: 75 ; b,c，cb,i(c,c)212112 (5-27)式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两 个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动。即: (5-28) x,Asin(,t，,)n 式中: 22 A,b，b12 b,11,,tg b2 A和是两个待定常数，取决于振动的初始条件。 , 设振动的初始条件为: ，，t=0时， x,x,x,x00 代入(5-28)式中得: ，; x,Asin,x,A,cos,00n 解之得: 2，x20 (5-29) Ax,，02,n ,x,1n0,tg, (5-30) ，x05.2.2振动特性的讨论 1.振动的类型 (5-28)式表示了单自由度系统无阻尼自由振动的时间历程，它是一个正弦曲线，所以 无阻尼自由振动是简谐振动。 2.系统的频率和周期 系统振动的圆频率可由(5-25)式求得: k2,, (5-31) nm 系统的振动频率为: ,1knf,, (5-32) n2,2,m 系统的振动周期为: 1mT,,2, (5-33) fkn 由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质(弹性和惯性)有关。因此当 振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何， ,f也和振幅的大小无关。所以由(5-31)式和(5-32)式所确定的和分别称为系统的固有圆nn 76 频率和固有频率。 这种线性系统自由振动所具有的性质称为“等时性”。根据这一性质可以判断:刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。 换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降，反之，要提高系统的固有频率，就应减小系统的质量和增大系统刚度。这一性质在定性研究振动，特别是调整系统的固有频率时是极其重要的。 3.系统的振幅和初相位 从(5-28)式可以看出，A是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置的最大位移，则是初相位，表示质量块的初始位置。若用直角坐标表示，则如图5-18所示。 , x A to , , T 图5-18单自由度振动系统的振幅和初相位 ，的大小取决于、、的数值。这从(5-29)式及(5-30)式可知，振幅A和初相位,xx,n00就是说，振幅A和初相位不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件, 有关。例如: ，当时，，。即用外力将质量块拉开一个距离后，除去外力，则Ax,0x,0xt,0000 ,,，,。 x,02 ，x,0当时，x,0，。即在平衡位置给质量块一个初速度使其运动，则 t,000 2，，xxm00，A,,,x，,0。 ,02,k,nn 振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。 4.常力对振动特性的影响 常力(如重力W)作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。 所以，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。今后我们将不去研究振动系统是水平安置还是垂直安置中重力对振动性质的影响。对于其它类型的常力，在振动分析中一般也可不加考虑。 例5-4 一质量块m安放在长度为l的简支梁的中点，梁的弯曲刚度为EJ，若忽略梁的质量，试求该系统的固有频率(图5-19)。 77 m l2l2 图5-19 中点安放质量块的简支梁 解:将上述系统简化为一个单自由度自由振动系统，简支梁相当于一根弹簧。根据 材料力学简支梁的挠度公式，在梁的中点作用一个垂直力P时，该点的挠度为: 3Pl y,48EJ 故简支梁的弹簧刚度为: P48EJ k,,3yl 所以系统的固有圆频率即可根据(5-31)式算出: kEJ,,,6.93 n3mml系统的固有频率为: ,EJnf,,1.1 n3,2ml例5-5 试确定图5-20中各个系统的固有频率。 k1 k1 k2m kkk123k3k2m m(a)(b)(c) 图5-20 求固有频率 解:(1)在图5-20(a)所示的系统中，根据前面章节所学的等效刚度理论，我们可知， 该系统为三个弹簧并联，其等效刚度为: k,k，k，k 123 由此可以得到系统的固有圆频率: kkk，，k123,,, nmm (2)图5-20(b)所示的系统，为两个弹簧并联，其等效刚度为: k,k，k 12 所以整个系统的固有圆频率为: kk，k12,,, nmm 78 (3)图5-20(c)所示的系统，为三个弹簧串联，故等效刚度为: kkk1123 k,,111kk，kk，kk122331，，kkk123 所以整个系统的固有圆频率为: kkkk123 ,,,nm(kk，kk，kk)m122331 由本例可以看出，系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度(称为等效弹簧刚度)。 5.2.3扭转振动 以上讨论的是直线振动的情况。但在工程技术上常常碰到另一种需要用角位移ζ作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。对扭转振动也可应用牛顿运动定律来建立其运动微分方程式。此时，牛顿定律的表达式为: ，，,,MI (5-34) , 施加于转动物体上的力矩; M—— I——转动物体对于转动轴的转动惯量; ，，,——角加速度。 如图5-21所示，在一根垂直轴下端固定着一个圆盘。圆盘转动惯量为I，轴的扭转刚度为，轴的长度为l，直径为d。 k, ld I, D 图5-21 扭转振动系统 当系统受到某种干扰后即作扭转自由振动。现取为广义坐标(为圆盘上任一半径,,从它静平衡位置量起的角位移)，并以逆时针为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、 k,与方向相反的弹性恢复力矩,。 ,, 根据(5-16)式，可建立上述系统的扭转振动运动微分方程式: ，，I,,,k, , 即 79 ，， (5-35) I,，k,,0, 令 k, (5-36) ,,nI 则(5-35)式可写成: 2，， (5-37) ,，,,,0n 可见，扭转自由振动的微分方程与直线自由振动的微分方程完全相似，故可根据直线自由振动微分方程的通解，直接写出(5-37)式的通解: (5-38) ,,Asin(,t，,)n 所以单自由度系统扭转自由振动也是一个简谐振动。其固有圆频率、固有频率及周期分别为: k,,, (5-39) nI k1, (5-40) f,n2,I I (5-41) T,2,k, ，，振幅A和初相位决定于扭转振动的初始条件。若t,0时，,，，则: ,,,,,00 2，,20, (5-42) A,，02,n ,,1,0n, (5-43) ,tg，,0 5.2.4计算系统固有频率的其它方法 在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。计算系统的固有频率除了可以按照(5-31)式和(5-32)式进行外，还有以下几种常用的方法，即静变形法和能量法，现分别加以介绍。 1.静变形法 如前所述，当单振子此处于静平衡状态，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式: k,,W j 由上式可得: 80 Wmg k,,,,jj 故系统的固有频率为: 11kg (5-44) ,,fn2,2,,mj ,由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形，就可以计算出系统的固有频率。在j 有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。 例5-6 设一悬臂梁长度为l，抗弯刚度为EJ，自由端有一集中质量m。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率(见图5-22)。 mEJ ,j l 图5-22 自由端有集中质量的悬臂梁 解:悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为: 3mgl,, j3EJ 所以: 13EJ,f n3,2ml 当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按(5-44)式计算系统固有频率。 2.能量法 在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。 在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。 T，U,常数 或 d(T，U),0 (5-45) dt 式中T——系统中运动质量所具有的动能; U——系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为: 81 12， T,mx2 系统的势能则由以下两部分组成: 1)重力势能。当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。 PR mg，kx 2kxkx 2mg mgxmg xox 图5-23 单自由度振动系统的弹性势能 2)弹性势能。当质量块m运动至离静平衡位置+x距离时，弹簧的弹性力对质量块所 作的功，即为系统此时的弹性势能。如图5-23所示，系统的弹性势能为: 1x2mgx，kxdx,mgx，kx ,02 故系统的势能为: 1122U,,mgx，mgx，kx,kx 22 所以: 1122，mx，kx,E(常数) (5-46) 22 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，无阻尼自由振动 系统的能量关系是振动体的动能与弹簧势能的相互转化过程，而无能量的消耗。但在振 动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹簧势能的互相转化过程中，有一部分能 量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。 x,Asin,t若将无阻尼自由振动的时间历程代入系统的能量方程(5-46)式，可得: n 1122222m,Acos,t，kAsin,t,E nnn22 ,,2当t,0，或、„等时， ,,nn 122T,m,A,E， U,0nmax2 ,,,35当t,0，或、、„等时， 2,2,2,nnn 12U,kA,E， T,0max2 这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总动能，且动能与势能的最大值相 82 等，即: T,Umaxmax 或 11222mAkA,, (5-47) n22 根据上式即可算出系统的固有频率: k (5-48) ,,nm 这就是(5-31)式。因此，对弹簧质量系统(单振子)用上述能量法意义不大，但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率就比较方便。 例5-7 一根矩形截面梁，上面承受质量为m的物体(如图5-24所示)。若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。 解:梁的刚度可用静变形法求出: mxBA ,jab ly 图5-24 承受质量的矩形截面梁 mgk, ,j 而梁的静挠度可根据材料力学公式计算: m22mgab,, j3EJlKKL故 3EJl k,a122abO代入(5-47)式即可求出该系统的固有圆频率: 3EJl图5-25 无定向摆 ,, n22mab 例5-8 图5-25所示为测量低频振幅用的传感器中的无定向摆，摇杆1长度为L，其质量不计，摇杆一端用铰链O固定，另一端装一敏感质量m，并在摇杆上连接刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置，系统作微振动，对O点的转动惯量为I。 0 ,(t),Asin(,t，,)解:设摇杆1偏离平衡位置的角振动为，则对于简谐振动而言，n 摇杆经过平衡位置时，速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零，即 11222，TIIA,,,, nmax0max022 系统势能分为两部分:弹簧变形后存储的势能和质量块m的重心下降到最低点时所失去的势能。 83 弹簧变形后存储的势能: 12222V,2ka,kaA, 1maxmax2 质量块m的重心下降到最低点时所失去的势能: ,2max(1cos)2sin V,,mgL,,,mgL,2maxmax2 111222,,mgLsin,,mgL,,mgLA,, maxmax222 1222V,V，V,kaA,mgLA系统最大势能为: max1max2max2 根据能量法:，则 T,Umaxmax 1122222IAkaAmgLA,,, n022 故 22ka,mgL ,,nI0 ?5.3单自由度系统有阻尼自由振动 5.3.1系统的动力学模型和运动微分方程 单自由度有阻尼自由振动系统的动力学模型如图5-26所示，与无阻尼自由振动系统 相比较，只是多了一个阻尼器。当质量块m静止时，阻尼器不起作用。当质量块运动时， ，cx阻尼器就产生阻力，其方向与质量块的速度方向相反。 ck oox x 图5-26 单自由度有阻尼振动系统动力学模型 当质量块离开静平衡位置o-o的距离为x时，作用于质量块上的力有弹性恢复力kx ，cx及阻尼力。现取静平衡位置为坐标原点，质量块振动位移x为广义坐标，且向下为正， 则根据牛顿运动定律可得: ，，，mx,,cx,kx 即 ，，，mx，cx，kx,0 (5-49) 令 84 k2,, nm c, (5-50) ,2m则(5-49)式可改写成如下形式: 2，，， (5-51) x，2,x，,x,0n上式即为单自由度系统有阻尼自由振动的运动微分方程式，也是一个齐次二阶常系 数线性微分方程式。故可设其解为: stx,e 代入(5-51)式可求得这一微分方程式的特征方程: 22 (5-52) s，2,s，,,0n这一方程的两个根为: 22 (5-53) s,,,,,,,1,2n故微分方程(5-51)的通解为: 2222tt,,,,,,,ststt,,nn12x,ce，ce,e(ce，ce) (5-54) 1212上式就是单自由度有阻尼自由振动的运动方程式(时间历程)，其性质取决于根式 22。 ,,,n 为了下面讨论的方便，先引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数，或阻尼比。 , ,cc,,,, ,2m,cnnc其中，c——临界阻尼，则(5-53)式可以改写成: c 2 (5-55) s,(,,,,,1),n1,2 ,由上式可见，特征根s、s与、有关，但其性质主要取决于，下面分别讨论,,12n 对于的不同取值的情况。 , 1.无阻尼(,0)情况 , 显然，,0即是c,0，即是上一节所讨论的问题。此时(5-52)式两特征根为虚数: , s,,i, 1,2n单自由度无阻尼自由振动的运动方程式为: x,Asin(,t，,) n 85 这种情况下特征根，在复平面的虚轴上，且处于与原点对称的位s,i,s,,i,1n2n 置，见图5-27。此时x(t)为等幅振动，如图5-28(a)所示。 s,,,0I1m s,0,,,1121,,,n s,,,1R2e os,,,11 s,0,,,12 s,,,02 图5-27 特征根分布 x(t)x(t)T=2nωπ tω-ζn Ae0,ζ,1 tt -AT=2dωπζ,0 (a) (b) x(t) ζ,1 t (c) 图5-28 有阻尼振动运动规律 2.欠阻尼(0<<1)情况 , 欠阻尼状态，也称弱阻尼、小阻尼状态，此时(5-52)式两特征根为共扼复根: 2 s,(,,,i1,,),n1,2 或 s,,,,,i, 1，2nd 86 式中 2 (5-56) ,,1,,,dn 称为有阻尼自然频率，或有阻尼固有频率。则 ,,t,n,,x(t),e(ccost，csint)dd12 (5-57) t,,,n,eAsin(,t，,)d ，，式中，A和是待定常数，由运动的初始条件决定。设t,0时，，,则 x,xx,x,00 c,x10 ,,，x，x00nc, 2,d 2，,,,,x，x2n00,,,，Ax (5-58) 0,,,d,, ,x,10d,,tg (5-59) ，x，x,,00n 将、和A、分别代入(5-57)式，即得到系统对于初始条件的响应: cc,12 ，,,x，x,,,t00nnx(t)e(xcos,tsin,t),， dd0,d 2，,,,,,x，xxt,,,21,00n0dn,,,x(t),ex，sin(t，tg) (5-60) 0d,,，,x，x,,d00n,, 当=0时，系统对于初始条件的响应为: x,Asin(,t，,),n 2,，xx,1n020,tg,其中，， Ax,，02，x,0n 此即无阻尼自由振动对初始条件的响应规律。 分析上述结果，有: (1)系统的特征根s、s为共扼复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对12 称的位置上，如图5-27所示。 ,,,tnAe(2)若将视为振幅，则表明有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按 ,指数规律衰减。阻尼率值越大，振幅衰减越快。其时间历程如图5-28(b)所示。表现在 旋转向量图中，则是旋转向量的长度按指数规律缩短，其端点划出一对数螺线。而且， 振幅的衰减程度完全由系统本身的特性所决定。 (3)特征根虚部的取值决定了自由振动的频率，由(5-56)式可知，有阻尼自然频率也完 ,,,全由系统本身的特性所决定，并且，即阻尼自然频率低于无阻尼自然频率。表现dn 在旋转向量图中，则是由于阻尼的作用减慢了向量旋转的角速度。 ，x(4) 有阻尼自由振动的振幅A与初相角受初始条件x，影响。 ,00 87 3.过阻尼(,1)情况 , 此时，(5-52)式的特征根为两个实数: 2 s,(,,,,,1),n1,2 则由(5-54)式有: 22,,,,,,,1t,,1t,tststnnn12x(t),ce，ce,e(ce，ce)1212 ,,t,,,n,e(Ach,t，Ash,t)12 (5-61) ,2其中，，待定系数，由初始条件确定如下: AA,,,,,112n ,,，x，x0n0， (5-62) A,xA,102,, 代入(5-61)式得: ，,,xx，,,,t,,0n0n x(t)e(xch,tsh,t),，0,, (5-63) 这种条件下s、s均为负实数，处于复平面的实数轴上，如图5-27所示。这时系统12 (c)所示。从物理意义上来看，表明阻尼不产生振动，很快就趋近到平衡位置，如图5-28 较大时，由初始激励输入给系统的能量很快就被消耗掉了，而系统来不及产生往复振动。 4.临界阻尼(,=1)情况 临界阻尼状态是前述两种情况之间的分界线，(5-52)式的特征根为两重根，可以,,n得到此时微分方程式(5-51)的解为: ,,tn x(t),e(A，At)12 (5-64) 式中，A、A是待定常数，显然，这种情况下的运动也是非周期性的。以初始条件12 ，xx，代入上式，得: 00 ，A,xA,x，,x， (5-65) 1020n0 将(5-65)式代入(5-64)式可得系统对初始条件的响应为: t,,n，x(t),e[x，(x，,x)t]00n0 (5-66) ,,tn式中，等式右边第一项是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级Ae1 数展开成以下形式: AA,t,22nAte,, 2t,232nett,,1nn，，，，,,,，n!,ntt2!3! 88 ,,tn从上式即可看出，当时间t增长时，第二项也趋近于零。 Ate2 因此(5-54)式所表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。这是系统从振动过渡到不振动的临界情况，故此时的粘性阻尼系数称为临界粘性阻尼系 k数，简称临界阻尼，以表示。。 c,2m,2kmcccm 可见，临界阻尼之值只决定于系统本身的物理性质。 cc 此外，还有一种负阻尼(,0,情况，这时s、s处于复平面的右半平面(图5-27上,12 未画出)，而x(t)表现为一种增幅振动。这种情况在本课程中不予介绍。 由上述分析可以看出，阻尼的作用对单自由度系统自由振动的影响存在以下两方面: (1)改变了振动频率; (2)使振幅衰减。 在上述各种情况中，振动分析所关心的主要是小的正阻尼系统的振动。 5.3.2振动特性的讨论 1.有阻尼自由振动的运动规律 如前所述，在系统存在阻尼的情况下，自由振动不再是简谐振动。根据阻尼的大小，可分为下列三种情况: (1)在欠阻尼状态下，系统对于初始条件的响应由(5-60)式表示。而此式中包含有两个因素，一个是下降的指数曲线，一个是正弦曲线。故系统振动已不再是等幅的简谐振动， ,,,tn,Ae而是振幅被限制在曲线之内的，且随时间而不断衰减的衰减振动，或称“似简谐运动”，如图5-28b)所示。 (2)在临界阻尼状态下，系统的运动已不是振动，而是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。 (3)在过阻尼状态下，系统的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。 上述三种情况下系统的运动如图5-29所示。 x(t) 阻强尼 临界阻尼 t 阻弱尼 图5-29 似简谐运动和非周期运动 89 2.有阻尼自由振动的固有频率及周期 如前所述，只有在欠阻尼状态下系统才作衰减振动，才存在频率和周期，衰减振动 的固有圆频率、固有频率和周期分别为: 2 ,,1,,,dn 2,,1,nf, d2, ,211 T,,Td22,n1,,1,, ,2T,式中，，是无阻尼自由振动的周期。 ,n 可以看出，由于阻尼的存在，使系统的固有频率下降了，振动的周期延长了。但在 一般工程问题中，都比小得多，或者说很小，即多属于小阻尼的情况，故对系统,,,n 的固有频率和周期的影响很小。因此在小阻尼情况下，可以近似地认为有阻尼自由振动 的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。 3.有阻尼自由振动的振幅 只有系统作衰减振动时才存在振幅，而且振幅是随着时间不断衰减的，其顺次各个 振幅是: t,,,n1时， t,tA,Ae11 ,,,(t，T)n1d时， t,t，TA,Ae1d2 ,,,(t，2T)n1dt,t，2T时， A,Ae1d3 可见，相邻两振幅之比是个常数即: A,,Tind,,,e (5-67) Ai，1 式中，称为减幅系数，或振幅衰减率。 , 在工程上通常取上式的自然对数以避免取指数值的不便。即: A,,Tind,,ln,lne,,,T (5-68) ndAi，1 式中，称为对数减幅，或对数衰减率。 , 若测出振幅A，经过n次振动，再测出振幅A，即可得出。 ,0n 因为 AAAA,n,n00n,11,？,(e),e AAAAn12n 故 90 A10,,ln (5-69) nAn ,21若将代入(5-68)式，则得: ,Td2,n1,, ,,2 (5-70) ,,21,, 当很小时，可以认为 , (5-71) ,,2,, 由(5-70)式可得: ,,, (5-72) 224,，, ,当很小时: ,,, (5-73) 2, 也就是说可由对数衰减率求得阻尼比，继而得到阻尼系数。 及均表示每隔一个周期，振幅A衰减的快慢程度。及越大，则振幅衰减T,,,,d 越快。从(5-67)式还可以看出衰减振动的振幅是按几何级数衰减的，其公比就是衰减率,Tde。因此即使系统在小阻尼的情况下，其振幅还是衰减得非常快的。例如，当,,,,0.05时，可以算出。这就是说，经过一次振动，振幅就要减少原A,0.7301Ai，1i,n 来的27,。经过十次振动后，振幅就减少到原来的0.04304倍，即只剩下4,了。所以只要有阻尼存在，自由振动是难以长期维持下去的。 例5-9 已知一单自由度系统，其自由振动的振幅在5个整周期后衰减了50,，试计 ,算系统的粘性阻尼率。 A0解:由题意知,2，根据(5-69)，得对数衰减率为 A5 11,,ln2,，0.69315,0.13863 55 而由(5-72)式得: 0.13863,,=0.022058 224,，0.13863 或者，由δ的取值可见，δ相当小，也可按近似公式(5-73)计算出 0.13863,,,0.022064 ,2 91 例5-10 龙门起重机 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 中，为避免连续起动和制动过程中引起振动，要求由起动或制动引起的振动的衰减时间不得过长。若有15吨龙门起重机其示意图如图5-30所示， 2在作水平纵向振动时，其等效质量m,273.42N•s,cm，水平方向的刚度为19.6kN,cm，eq 实测对数衰减率δ,0.10，若要求振幅衰减到最大振幅的5%，所需的衰减时间应小于30秒，试校核该设计是否满足要求。 meq 图5-30 龙门起重机示意图 解:由式(5-69)，有 A10,lnn A,n 将已知条件代入上式，可解得振幅衰减到最大振幅的5%时需经过的周期数n为 11n,ln,29.95732,30 0.10.05 ,,k/m而由，得起重机纵向振动的自然频率为: 19600,,,8.46668 273.42 则其周期为: ,,22T,,,0.74211 ,,dn 经过30个周期后所需时间为: t=s<30s 0.74211，30,22.2632 可见，设计满足要求。 ?5.4 单自由度系统受迫振动 在外界激振力的持续作用下系统被迫产生的振动称为受迫振动。例如，在切削沿轴向开槽的工件时，车刀在每一转中都要受到沟槽的冲击;磨床的砂轮没有平衡好，飞速旋转的砂轮会给工件周期性变化的压力;用有接扣的皮带进行传动，皮带接扣周期性地给传动轴冲击;机床附近有冲床时，冲床周期性的冲击力会通过地基传到机床上来。这些都是生产中常遇到的激振因素。这些因素周期性地不断地给振动系统扰动，而不是象自由振动那样只在振动开始时瞬时给系统扰动。这些连续变化的力所激起的振动就是受迫振动。 作用在系统上的激振力，按它们随时间变化的现律可以归纳为三类: (1)简谐激振力，即按正弦或余弦函数变化的力。如回转零件不平衡所产生的离心力; 92 切削负荷不均匀或传动不均衡所引起冲击力;液压系统的脉动或工作台换向时所造成的 冲击力等等。 (2)非简谐周期激振力。它可用谐波分析法分解为若干个频率成整倍数关系的简谐激 振力。 (3)随时间任意变化的激振力。 对系统的激振则有两种不同的情况: (1)力干扰，即直接以一个激振力作用到系统上。 (2)位移干扰，即以交变位移形式作用到系统上。如持续的支承运动、地基运动等。 而且这种交变位移运动也可以是简谐的、非简谐周期的和任意的。 外界激振所引起的系统的振动状态称为响应。系统的响应一般以位移形式来表达。 5.4.1简谐激振力引起的受迫振动 一、系统的动力学模型及运动微分方程 单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图5-31所示。在此系统上除了有弹性 ，恢复力kx及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐激振力。 Psin,tcx0 若以静平衡位置为坐标原点，取质量块m的振动位移为广义坐标，且向下为正，o,o 则可按牛顿运动定律直接写出该系统的运动微分方程式: kcP,Psin,t0oo x 图5-31 单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型 ，，，mx，cx，kx,Psin,t (5-74) 0 Pkk20,,,,q,令:,, nmmm 则(5-56)式可改写成以下形式: 2，，， (5-75) x，2,x，,x,qsin,tn 这是一个非齐次二阶常系数线性微分方程式，其通解应为: x(t),x(t)，x(t) 12 x(t)其中，是对应于(5-75)式中右端为零的齐次方程的通解(即(5-49)式的通解)，在1 弱阻尼状态下，这一通解即如(5-57)式所示: t,,,n x(t),Aesin(,t，,)1d x(t)是方程(5-75)式的一个特解，因为这一方程的非齐次项为正弦函数，故其特解也2 为简谐函数，且共频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。即: x(t),Bsin(,t,,) 2 所以方程(5-75)式的通解为: 93 t,,,n (5-76) x,Aesin(,t，,)，Bsin(,t,,)d 上式中，等式右边第一项表示有阻尼的自由振动(即衰减振动)，后一项表示有阻尼的受迫振动。因此在开始振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振动的暂态过程，这—过程中的振动称为瞬态振动，如图5-32所示。经过一段时间后，衰减振动很快就衰减掉了，而受迫振动则持续下去，形成振动的稳态过程，这一过程的振动称为稳态振动。 x(t)x(t) t(b)t(a) 振动受迫 自由振动 x(t) t(c) 总运动 图5-32 单自由度系统有阻尼受迫运动的响应 一般我们不研究振动的暂态过程，因为它只是一个过渡现象，而只研究振动的稳态过程，即持续的稳态振动。因此我们可以只分析(5-76)式中的第二项，即: x,Bsin(,t,,) (5-77) 式中，——的振幅; B ——受迫振动的圆频率; , ——振动体位移x与激振力P之间的相位差。 ,x 其中，和是两个待定常数，可用下法求得( B, 对(5-77)式求一阶及二阶导数得: ，x,B,cos(,t,,) 2，，x,,B,sin(,t,,) 将以上两式代入(5-75)式得: 22,B,sin(,t,,)，2,B,cos(,t,,)，,Bsin(,t,,),qsin,t n 将上式右端改写成如下形式: qsin,t,qsin[(,t,,)，,],qcos,sin(,t,,)，qsin,cos(,t,,) 将其代入前式并加以整理得: 94 22 [B(,,,),qcos,]sin(,t,,)，(2,B,,qsin,)cos(,t,,),0n 因为和不为零，故要使上式成立则必须有: sin(,t,,)cos(,t,,) 22,,,,B(,),qcos,0,n (5-78) ,,2,B,,qsin,,0,解上列联立方程式，将两式平方相加得: 22222222 B(,,,)，4,B,,qn 故 q, (5-79) B22222(,,,)，4,,n 又 ,,2, (5-80) tg,22,,,n PmPq00令，称为静变位; B,,,02kmk,n ,,,，称为频率比; ,n ,c,,,，称为阻尼比。 ,cnc 则(5-79)及(5-80)式可改写成下列形式: B0B, (5-81) 222(1,,)，(2,,) ,,2,tg, (5-82) 21,,二、振动特性的讨论 1.受迫振动的运动规律 Psin,t如前所述，当作用在系统上的干扰力是简谐激振力时，则系统的响应为: 0 B0 (5-83) x,Bsin(,t,,),sin(,t,,)222(1,)，(2),,,这就是说，系统受迫振动的稳态过程是简谐振动。而且只要有激振力存在，这—振 动就不会被阻尼衰减掉。 2.受迫振动的频率 ,由(5-83)式即可看出，受迫振动的频率和激振力的频率相同。 95 3.受迫振动的振幅 受迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。若振幅超过允许的限度，机器零件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者会影响机器及仪表的精度。因此必须搞清楚影响振幅的各种因素。 1)初始条件的影响——将受迫振动振幅计算公式(5-83)式与自由振动振幅的计算公式(5-60)式相比较即可看出，自由振动的振幅与初始条件有关，而受迫振动的振幅与初始条件无关。 2)激振力幅的影响——从(5-83)式可以看出，受迫振动的振幅B与静变位B成正P00 P0比。而静变位B表示在与激振力幅值相等的静力作用下系统产生的变位，即B,。P000k所以振幅B与激振力幅成线性关系，越大，则B越大。 PP00 4,,0 ,,0.10 3,,0.15β,,0.20 2 ,,0.25 ,,0.50 1 ,,0.70 ,,1.0000.00.51.01.52.0 λ 图5-33 幅频响应曲线 3)激振力频率及系统固有频率的影响——为了说明及对振幅B的影响，,,,,nn ,B我们以振幅比为纵坐标，以频率比为横坐标，以阻尼比为参变量，将(5-83)式作,B,n0 成如图5-33所示的幅频响应曲线，它表示了系统位移对频率的响应特性。 令 B1,,, (5-84) 222B0(1,,)，(2,,) ,将称为振幅的放大因子。从(5-84)式或图5-33中均可看出: ,P当,,0，或<>l时，，即振幅越来越小，,,0,,, 最后振动趋于消失。这是因为当激振力变化太快时，振动系统由本身的惯性来不及跟上迅速变化的激振力，故不再振动。 当,2时，,1，即系统振动的振幅将小于静变位。这是隔振设计的理论基础。,, 有些高速旋转的机器(如汽轮机、离心机等)其振动反而很小，就是上述道理。 4)阻尼的影响——由图5-33中可以看出，阻尼增大可以有效地降低共振时的振幅。当阻尼为零时，共振振幅趋于无穷大。增大阻尼将使相应减小。当,0.5时，将BB,nn 使处,B。这说明，阻尼增大虽不能使受迫振动停息下来，但却可使它的振幅减小。B0n 若阻尼足够大时，则可使共振现象不再出现，而将受迫振动维持在一个不大的振幅上。 由图5-33中还可以看出，阻尼仅在共振区域附近对降低共振振幅的作用大。在共振区以外，阻尼对降低振幅的作用却很小。此外，阻尼增大时不但使共振振幅降低，而且使最振幅的位置向左移动。所以在图5-33中，最大振幅B不出现在,l处，而是出,max 现在较小于1的位置。最大振幅B的求法如下:将(5-79)式中的B对求偏导并令其,,max 等于零，即可求出得到B时的。再代入(5-79)式中即求得B。 ,maxmax 3,,B1222222222,q(,)[(,,,)，,4,][2,(,,)(,2,)，8,,],0 nn,2, 要使上式为零，则后一括号必须等于零，即: 222 ,4,(,,,)，8,,,0n 即 222 ,,,，2,,0n 所以 2,222,,,,2,,,1,2,,1,2, (5-86) nnn2,n 将(5-86)式代入(5-79)式中即得: qq,, (5-87) Bmax222222222,(,,，2,)，4,(,,2,)2,,,,nnnn ,,可见，出现最大振幅时的略小于，其值大小取决于系统阻尼的大小。由于实际n ,,的振动系统的阻尼一般均很小，故可近似地认为出现B时的就等于，从而也可将maxn,1时出现的共振振幅B看作是系统的最大振幅B。 ,nmax 如前所述，受迫振动的振幅B与静变位B之比值称为“振幅放大因子”。(或称动力0 ,放大系数)。但由于在不同的激振频率下振幅的大小不同，故振幅放大因子的数值也不同。显然当振幅为最大振幅B时，放大因子的数值也最大，即 max 97 2,B1nmax (5-88) ,,,,max222B02,,,,2,1,,n 22设,0.05，则,0.9975。 ,,,,,,,2(0.05,)nnnn 2,n,,,10.0125故 max,,2，0.05，0.9975nn 这就是说，最大振幅比静变位放大了十倍。可见，受迫振动之所以引人注意就在于共振。为了避免共振，往往 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 在固有频率前后各20-30,的区域作为禁区，使激振,n 力的频率避免在这一频率区域内出现。 5)受迫振动的相位差 ζ,0 ζ,0.13.12πζ,0.2ζ,0.52.60ζ,0.7ζ,1.0ψζ,2.02.08ζ,4.0π/2 ζ,4.01.56ζ,?ζ,2.0 ζ,1.01.04ζ,0.7ζ,0.50.52ζ,0.2ζ,0.101230.00λ 图5-34 相频响应曲线 由(5-82)式得知，受迫振动的位移对激振力的相位差与频率比及阻尼有关。若,,,以为纵坐标，以频率比为横坐标，以阻尼比为参变量，将(5-82)式绘成如图5-34所,,, 示的曲线，则该曲线即称为相频响应曲线。从图中可以看出:始终是正值，故受迫振, 动的位移总是滞后于激振力;而且不论阻尼比的大小如何，当,1时，,90?，即,,, ,,0,当,时，振动系统的位移对激振力的相位差总是90?。从图上还可以看出，若，,n ,,0则当,1，在0?,90?之间;当,1时，在90?,180?之间。若，即系,,,, 统无阻尼存在时，相位差在,1处有一个突变，即,1时，,0;,l时，,,,,,,, ,,180?。这就是说在,<时，受迫振动的位移与激振力同相;在,>时，受迫振动的nn位移与激振力反相。即受迫振动的位移在共振点前后出现突然的相位变化。若系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋平缓。所以，当系统阻尼很小时，我们可以利用上述相位差突然出现的反向现象，作为判断出现共振的一种标志。 例5-11 在刚度k,107N,cm的弹簧上悬挂着一个重W,45.4N的物体。在物体上作 Psin,tP用着一个简谐激振力，其力幅,36.4N。系统的阻尼系数c,1.176。N,s/cm00 试计算该系统的共振频率、共振振幅及共振时的振幅放大因子。 解:系统固有频率为: 98 kg107，980 ,,,,15.2rad/snW45.4 所以系统的共振频率为: ,,,,15.2rad/sn 系统的共振振幅为: P0Pq36.4m0 B,,,,,2.04cmnc,,c,21.176，15.2nn2,nm2 所以共振时的振幅放大因子为: BkB107，2.04nn,,,,,6 BP36.400 在分析和掌握了单自由度系统受迫振动的特性之后，我们就可以通过振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值的参数。如系统的质量m、弹簧刚度k、阻尼比以,及固有圆频率等。其方法如下: ,n 对系统施加力幅为P、频率为激振力，并保持力幅P不变，逐次改变频率，测,,00得对应于不同的振幅B和相位差，即可绘出幅频响应曲线和相频响应曲线。在激振,, 试验中出现共振时的频率就近似等于系统的固有频率。在幅频响应曲线上，频率为,,n 的虚线两测，曲线可近似地认为是对称的，如图5-35所示。 ,n B Δω ab BmaxBmax2? ωaωωωnb 图5-35 幅频响应曲线 Bn,B在图5-35上，,,处的曲线高度显然就是共振振幅。在高度为处作平行nn2 ,,于横坐标的直线和幅频曲线相交于a、b两点，读出a、b点对应的激振频率、。则ab系统的阻尼比可用下式计算: , ,,,ba,, (5-89) 2,n 上式的证明如下: B1n,,由(5-84)式得知，当,1时，。而a、b两点的振幅均等于。所以a、b,2,2两点的振幅放大因子为: 99 ,1,, ,,,ab222,将上式代入(5-84)式可以解出及: ,,ab 11 ,222,22(1,,)，(2,,)即 22222 8,,(1,,)，4,,或 4222 ,,2(1,2,),，(1,8,),0解之得: 222 ,,(1,2,),2,1,, 2当系统阻尼很小时，c<<1，即可略去项，上式变成: , 2 ,,1,2,上式的两个根即为和，因为>，所以 ,,,,abba 2 ,,1,2,a 2 ,,1，2,b 故 22 ,,,,4,ba即 22,,,ba ,4,2,n ,,,,,一般情况下，应当介于及的当中，并接近于和的平均值，即: nabab ,，,ba,, n2因此 22,,,,,,,,,，,,babababa ,,,22,,,,nnnn 故: 100 ,,,ba,4,2 ,n 即 ,,,ba,, 2,n 这就是我们要证明的(5-89)式。由于在证明过程中曾假设<<1，所以这个式子只是, 小阻尼情况下的近似表达式，但大多数工程实例中都可以适用。此外，在a、b两点上可 2B22max得，而表示功率，所以我们称这两点为“半功率点”。 BB,2 求出后，即可利用(5-85)式来计算系统的弹簧刚度k。因为 , BP00,,B n22k,, 所以 P0,k (5-90) 2B,n 在得知和k以后，就可直接计算出系统的质量m: ,n k (5-91) m,2,n 三、位移干扰引起的受迫振动 以上分析的受迫振动，其产生的原因是有外界的激振力作用于振动系统，故称之为力干扰。此外还有一种极为重要的干扰也可使系统产生受迫振动，这就是位移干扰。支承点的运动就是种位移干扰，例如地基的振动引起机器的振动，机器的振动引起仪器的振动，汽车驶过不平的路面而产生的振动等等。 mm xkcc(x,x)，，k(x,x)ss xs 图5-36 位移干扰的受迫振动的动力学模型 图5-36是位移干扰的单自由度受迫振动系统的动力学模型。设支承点作简谐运动，即 x,asin,t s 若仍取质量块m的位移x为广义坐标，并向下为正。则当质量块离开静平衡位置的 ，，x,xx,x距离为x时，弹簧的变形应为，而质量块与支承的相对速度则为。从而在质ss ，，k(x,x)c(x,x)量块上作用有弹性恢复力和阻尼力。按牛顿运动定律即可列出系统振动ss 的运动微分方程式: ，，，，mx,,k(x,x),c(x,x) ss 或 ，，，，mx，cx，kx,cx，kx (5-92) ss 101 从(5-92)式可以看出，支承点运动时相当于在系统上作用了两个激振力，一个是经过 ，弹簧传递过来的力，另一个是经过阻尼器传递过来的力。两者相位不同，力与kxcxkxsss ，，，同相，力则与同相。由于支承点作简谐运动，所以其速度的相位要比位移的xcxxxxsssss ,，相位超前，因此力比力超前90?。 cxkxss2 现用复数法解微分方程(5-92)式: i,t设 x,aes i(,t,,)x,Be i,t，则 x,ia,es i(,t,,)，x,iB,e 2i(,t,,)，，x,,B,e 将以上各式代入(5-92)式得: 2i(,t,,)i(,t,,)i(,t,,)i,ti,t,mB,e，icB,e，kBe,kae，ica,e 或 2i(,t,,)i,t [(k,m,)，ic,]Be,(k，ic,)ae所以 2223,,,,a(k，ic)[k(k,m)，c],imc,i,Be,,a 22222(k,m,)，ic,(k,m,)，c, ,i,Be由于振幅B就是复数矢量的模，故: 2222,,,k，c1，(2)B,a,a (5-93) 2222222(k,m,)，c,(1,,)，(2,,) ,i,Be而相位差就是复数矢量的辐角，故: , 23,,,2mc,tg,a, (5-94) 222222k(k,m,)，c,1,,，(2,,)因而，振幅放大因子为: 2,,B1，(2),,, (5-95) 222a(1,,)，(2,,) ,若以为横坐标，为纵坐标，为参变量，则可根据(5-95)式作出如图5-37所示的,, ,,2幅频特性曲线。它与简谐激振力作用下的幅频响应曲线(图5-33)基本相同。只是在 102 处，系统的振幅B均等于支承运动的振幅a。而当时，振幅B就小于支承运动振,,2 幅a，而且阻尼大的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些。当时，受迫振动,,,2的振幅趋向于零。这一特性在研究隔振和测振时是很有用的。 3ζ,0.05ζ,0.1ζ,0.15ζ,0.252ζ,0.375βζ,0.5 ζ,1 1 02012345?λ 图5-37 位移干扰的幅频特性曲线 位移干扰的相频特性比较复杂，而且用处不太大，这里就不去讨论了。 四、等效粘性阻尼 在上面章节中曾经提到，在通常情况下我们都假设系统的阻尼为粘性阻尼(线性阻尼)，而在遇到非粘性阻尼时，则用等效粘性阻尼来代替。所谓等效粘性阻尼是指和非粘性阻尼在振动的一个周期中消耗相等能量的粘性阻尼。只要我们掌握了受迫振动中的能量关系，就能计算出各种非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数c。 在受迫振动中，激振力不断对系统作功，即不断地输入能量。简谐激振力P,Psin,t0在一个振动周期所作的功是: T2,/,，,,,WPxdtPB,sin,tcos(,t,)dt ,,P000 ,2,,PBsintcos(t,)d(t),,,, 0,0 ,,PBsin, (5-96) 0 ，F,cx粘性阻尼力在—个周期内所消耗的能量，即—个周期内所作的功是: c ,2T2222,，W,Fxdt,cB,cos(,t,,)dt,,cB, (5-97) cc,,00 WW可见，输入的能量随着振幅B成线性增大，而消耗的能量却按振幅的平方而pc 增大。在(5-96)和(5-97)式所表示的两条曲线相交处，输入和输出的能量相等(见图5-38)。这时，系统作稳态振动，振幅保持稳定。我们也可以从(5-96)和(5-97)式求得受迫振动的稳态振幅B。 103 W We Wp oB 图5-38 振动系统的能量变化情况 令 W,W pc 则 ,Psin0 (5-98) B,c, ,,系统共振()时，相位差，故共振振幅为: ,,,,n2 22,,PPmqBnn000 ,,,,Bn22,2,c2,,,,cmnnnn 可见，用能量关系推出的共振振幅计算公式与前面用另一种方法得到的公式(5-85式) 是一致的。 根据能量消耗等效的办法，就可以计算出非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。 ce设为非粘性阻尼力在一个周期内所作之功;为非粘性阻尼的等效阻尼系数;WcWcee 为等效阻尼力在一个周期内所作之功。并设系统在以等效粘性阻尼代替原来的非粘性阻 尼后仍作简谐振动，则根据(5-97)式可得: 2 W,,cB,ee 而 WW= ce 故 2W,,cB, ce 所以 Wcc, (5-99) e2,,B 因此，只要计算出非粘性阻尼力在振动的一个周期内所作的功，就可以计算出这种 非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。 下面来计算几种典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。 (1)干摩擦阻尼 104 干摩擦阻尼又称为库仑阻尼，其阻尼力F一般说来是个常力，在系统振动过程中F 1力大小不变，但方向始终与运动力向相反。在振动的每一个周期内，阻尼力所作的功4 为FB。因此在一个周期内阻尼力所作的功为: W,4FBc 代入(5-99)式即得干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数: F4 (5-100) c,e,,B (2)流体阻尼 如前所述，当物体以较大速度(3,15m,s)在粘度较小的流体中运动时，其阻力与物 2，F,bx体运动的速度平方成正比()，方向与速度相反，流体阻尼力在一个振动周期内所作之功是: ,,8TT，44333332，，44cos()W,Fxdt,bxdt,bB,,t,,dt,bB, ,,2,,,cc00,3, 代入(5-99)式得流体阻尼的等效粘性阻尼系数: 8b (5-101) ,c,Be3, (3)结构阻尼 结构阻尼是由于不完全弹性的结构材料中内摩擦引起的，这种材料在产生交变应变时，单位体积所消耗的能量可用如图5-14所示的滞后回线所包的面积来表示。结构材料在振动过程中，每一个周期也形成一次滞后回线，因而也消耗系统能量。许多实验表明，振动一个周期内结构阻尼所消耗的能量(亦即滞后回线的形状)与振动频率无关，而与振幅的平方成正比，即: 2 W,aBc 式中a——常数，随材料不同而变化。 将上式代入(5-99)式即得结构阻尼的等效粘性阻尼系数: a (5-102) ,ce,, (4)多阻尼系统 在系统中存在几种性质不同的阻尼时，也可以把它们折算成等效粘性阻尼。 设系统中同时起作用的几种性质不同的阻尼在一个周期中所消耗的能量(或所作的功)分别为W、W、W„，则系统阻尼在一周中所消耗的总能量为: 123 WW,W，W，W，„, ,c123i 代入(5-99)式即可求得多阻尼系统的等效粘性阻尼系数: 105 Wi, (5-103) c,e2,,B 计算出系统的等效粘性阻尼系数后，就可以将非粘性阻尼系统受迫振动的微分方程写成与粘性阻尼系统受迫振动微分方程相同的形式: ，，， (5-104) mx，cx，kx,Psin,t0 其特解仍为: x,Bsin(,t,,) 其振幅和相位差分别为: P10B, (5-105) 2k2，，,,c,,e,,,,1,，,,k,,,n,,，， ,ce, (5-106) tg,22m(,,,)n 5.4.2周期激振力引起的受迫振动 前面讨论的都是在振动系统上只作用着一个简谐激振力或支承只有一种简谐运动的情况。但在实际的工程问题中常常遇到的是系统受到非简谐的周期激振力或支承运动面引起受迫振动。下面我们就对这两种情况所引起的受迫振动进行分析。 1.非简谐周期激振力引起的受迫振动 P(t)设在一个有阻尼的弹簧——质量系统上作用着一个非简谐周期激振力，如图5-39所示。而 ckF(t) 图5-39 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统 P(t),P(t,jT)(j,1,2,3,？n) 则系统的运动微分方程为: ，，，mx，cx，kx,P(t) (5-107) 应用谐波分析法，可将非简谐周期激振力展开为一系列的不同频率的简谐激振力。即 na0P(t),，(acosj,t，bsinj,t) (5-108) jj,2,1j 将上式代入(5-107)式得: 106 na0，，， (5-109) mx，cx，kx,，(acosj,t，bsinj,t)jj,2,1j a0上式右边第一项表示一个常力，当取静乎衡位置为坐标原点时，这一项就不出现2 在微分方程中。 上列微分方程的通解也由两部分组成:一部分是对应于(5-109)式右端为零的齐次方程的通解，它表示一个衰减振动;另一部分则是(5-109)式的一个特解，它表示一个受迫振动。若只考虑稳态振动则可将第一部分略去。因为线性系统存在叠加原理，因此可以对(5-109)式右边的每一项分别单独地求方程的特解，然后将所有特解叠加就可得到系统在非简谐周期激振力作用下的稳态响应。 如前所述，单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的稳态响应为: P0 x,Bsin(,t,,),sin(,t,,)222k(1,)，(2),,, 根据上式再应用叠加原理就可直接写出在非简谐周期激振力作用下系统的稳态响应: n,,,,acos(jt,)，bsin(jt,)jjjjx(t), (5-110) ,222k(1,,)，(2,,),1jjj ,,0当系统阻尼较小时，可忽略不计，此时。则(5-110)式简化为: ,j n,,acosjt，bsinjtjjx(t), (5-111) ,2k(1,,),1jj ,j,,式中，，为第j个谐波的频率比。 j,n 2.非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动 x m x(t)sck 图5-40周期支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统 设一个有阻尼的弹簧——质量系统在周期性支承运动作用下而产生受迫振动，如图5-40所示。而支承运动的规律为: 107 n x(t),(acosj,t，bsinj,t)sjj,,1j 如前所述，单自由度系统在支承运动的作用下的稳态响应为: x,asin,ts 2,,1，(2) x,Bsin(,t,,),asin(,t,,)222(1,)，(2),,, 根据上式再应用叠加原理，也可以直接写出在非简谐周期性支承运动作用下系统的稳态响应为: 2n,,1，(2)j (5-112) x(t),[acos(,jt,,)，bsin(j,t,,)]jjjj,222(1,)，(2),,,,1jjj ,,0若忽略阻尼，则,,0，，则上式简化为: j n,,cos，sinajtbjtjj(), (5-113) xt,21,,,1jj 5.4.3任意激振力引起的受迫振动 在许多工程实际问题中，振动系统所受的干扰力可能是非周期性的，而是任意的时间函数，这种随时间任意变化的激振力无法用谐波分析法来展开。对于这类干扰力作用下的振动，常用的研究方法是将这些干扰力看成是一系列脉冲的作用，先分别求出系统对每个脉冲的响应，然后将它们叠加起来就得到系统对任意微振的响应。这种方法称为Duhamel积分法。 在任意激振的情况下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在激振作用停止后，系统即按固有频率继续作自由振动。我们把系统在任意激振下所产生的瞬态振动，以及激振作用停止后的自由振动，统称为系统对任意激振的响应。 下面我们先分析系统对脉冲的响应，进而研究系统对任意干扰力的响应。 1.脉冲响应和杜哈梅积分 P(,)如图5-41所示，在一个有阻尼的弹簧质量系统上，作用有一个任意激振力，其变化曲线如图5-42所示。其中0?,?t。 P P(,) ckP(,) to,t 图5-41 作用有任意激振力的有 图5-42 任意激振力 阻尼的弹簧,质量系统 108 则系统的运动微分方程式为: ，，， (5-114) mx，cx，kx,P(,) 因为是非周期性的，故上述微分方程无法直接求解。因此，我们把任意激振力P(,) 看成是由无限多个脉冲所组成，而每个脉冲的宽度均为无限小，各脉冲的大小和作P(,) 用时间则由决定。先求出每个脉冲单独作用时系统所产生的响应，然后叠加起来，P(,) 就可求出系统对任意激振力的响应。 P(,) 脉冲的大小用冲量I来表示。若在t,0时的极短的时间间隔内，系统质量m上受d,到一个冲量I的作用。而 I,P(,)d, ，则质量m将产生一个初速度。但因为时间很短，系统还来不及产生位移。因xd,0 此，系统将在下列初始条件下作自由振动: 0x,,0,IP (5-115) ,，xd,,,0,mm, 如前所述，有阻尼自由振动的时间历程(即系统对初始条件的响应)应为: 2，,,,,,x，xx,,t,2,100n0dn,,, ()sin()xt,ex，t，tg0d,,，,x，x,,d00n,, 因而，图5-41所示系统对(5-97)式所表示的初始条件的响应(也就是系统对冲量I的 响应)可写成: ，x,Pd,,,t,,,t0nndx,esin,t,esin,t,Ih(t) (5-116) ddm,,dd 式中 1t,,,nh(t),esin,t (5-117) dm,d 若脉冲的冲量I,1，则这样的脉冲称为单位脉冲，记作,(t)，又称函数。它在数,学上的定义是: ,当t,0,(t), ,,0当t,0, ,,(t)dt,1 (5-118) ,,, ,(t)由(5-115)式可知，系统对单位脉冲的响应为: dx,h(t) (5-119) 所以，h(t)可称为单位脉冲响应。 t,,若单位脉冲不是作用在时，而是作用在时，则相当于把图5-42的坐标原点t,0 向右移动,，此时(5-119)式应改写成: 1,,,(t,,)ndx,h(t,,),esin,(t,,) (5-120) dm,d 109 求出系统对单位脉冲的响应后，就可以确定系统对任意激振力的响应。 P(,) 如前所述，我们可将任意激振力看成是一系列脉冲的作用，若在时，系统P(,)t,,受到冲量的脉冲的作用，则根据(5-115)和(5-120)式可得系统在时刻的响应为: ,I,Pd, (5-121) dx,Pd,h(t,,) 在激振力由到的连续作用下，系统的响应应是时刻t以前所有脉冲作P(,),,t,,0 用的结果，因此可以通过对上式积分求得: 1()ttt,,,t,,n (5-122) x,dx,P,()h(h,,)d,,Pesin,(t,,)d,,,,d000m,d 上式积分即称为杜哈梅(Duhamel)积分，或称为卷积。积分时应注意，t是考察位移响应的时间，是个常量;则是每一个微小冲量作用的时间，是个变量。 , (5-122)式就是(5-114)式所表示的系统振动微分方程式的全解，它包括了任意激振力作下的瞬态振动和激振作用停止后的自由振动。 若系统阻尼可忽略不计，则,,0，。此时(5-122)式可简化为: ,,,dn t1x,Psin,(t,,)d, (5-123) n,0m,n 杜哈梅积分是系统在零初始条件下得到的，一般情况下，系统的完整响应还应包括由初始条件引起的响应部分，即 ，,,，xx1(),,,tt,,,t,,00nnnxe(xcos,tsin,t)Pesin,(t,)d,,，，, (5-124),0ddd0m,,dd 2.拉普拉斯变换法 与前面的讨论相同，对于单自由度系统，设其在受到任意激励F(t)的作用，则系统的运动微分方程如下: ，，， (5-125) mx，cx，kx,F(t) ，，设系统的初始位移和速度分别为:x(0),x，x(0),x。则对方程(2-125)两边分别取00 拉普拉斯变换得: 2， (5-126) m[sX(s),sx,x]，c[sX(s),x]，kX(s),F(s)000 由方程(5-126)解得: F(s)s1，X(s),，mx，(mx，cx)000222 (5-127) ms，cs，kms，cs，kms，cs，k ,X(s)，X(s)，X(s)123 式中 ,,1dX(s),F(s),,122,,,,m(s，)，dnd,s,X(s),x, (5-128) ,20,,,,,,[s,(,，j)][s,(,,j)]ndnd,1,，,,X(s),(x，2x),30n0,s,,,js,,j,[,(,，)][,(,,)]ndnd, 对(5-128)式进行拉普拉斯反变换，利用如下的拉普拉斯反变换公式: 110 ,11atbt,,(ee),,,,(sa)(sb)ab,s1,atbt,(ae,be) (5-129) ,,,,(sa)(sb)ab,1,,ctesindt,22,，，(sc)d, 得到系统对任意激励的响应为: ，,,x2x，1t,,,t,,,,,t()0n0nnx(t),F()esin,(t,),de(xcos,tsin,t),,，， ,ddd00m,,dd (5-130) 上式中，若系统的初始位移和速度均为零，则变为: 1tt,,,(,,)nx(t),F(,)esin,(t,,)d, (5-131) ,d0m,d 例5-13一弹簧质量系统受到一个常力P的突然作用，这一个力和时间的关系如图o 5-43(a)所示。试求系统的响应。 2P0k PP0k tot3τττ2o, 图5-43 作用于弹簧,质量系统上的常力和系统的响应 解:设系统无阻尼，则根据(5-114)式即可求出系统的响应为: PPt00x,sin,(t,,)d,,(1,cos,t),B, ,nn00mk,n P0式中:，为系统的静变位; B,0k ,,1,cos,t ，为位移响应的放大因子。 n ,,2显然，，即系统受常力P突然作用时，其位移响应的峰值等于P为静载荷oomax 时系统静位移值的两倍，如图5-43(b)所示。 若系统有阻尼时，读者可自行求得。 5.4.4受迫振动理论的应用 1.振动的隔离 机器设备所产生的振动，一方面会影响机器本身的工作精度和使用寿命，甚至引起零部件的损坏，另一方面也会传给周围的机器设备使它们也产生振动。因此必须很好地研究怎样才能有效地进行振动的隔离。 所谓隔振，就是在振源与要防振的设备之间安放具有弹性性能的隔振装置，使振源 111 所产生的大部分振动由隔振装置来吸收，以减小振源对设备的干扰。 根据振源的不同，隔振可分为两类:一类为主动隔振(积极隔振)，一类为被动隔振(消极隔振)。无论是主动隔振还是被动隔振，它们的原理都是相似的，都是把需要隔离的设备安装在合适的弹性装置(隔振器)上，使大部分振动为隔振装置所吸收。图5-44为单自由度隔振系统的动力学模型，其中(a)为主动隔振，(b)为被动隔振。图中，m为被隔振设备的质量，k为隔振器刚度，c为隔振器阻尼。 Psin,t0 mm xx kckc i,tx,Ue 图5-44 单自由度隔振系统的动力学模型 (1)主动隔振 对于本身是振源的设备，为了减小它们对周围其它设备的影响将它们与地基(或支承)隔离开来。这种将振源进行隔离，防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。 在主动隔振的情况下，振源是设备本身的激振力。未隔振时，设备与支承之Psin,t0 )，故设备传给地基的最大动载荷即为。在有弹性元件和阻尼元件间为刚性接触(Pk,,0 隔振时，设备传给支承的最大动载荷应为通过弹簧传到支承上的最大动载荷与通PPTkmax过阻尼元件传到支承上的最大动载荷的合力。即 Pcmax P,P，PTkmaxcmax 因为 P,kx k ，P,cx c 而 x,Bsin(,t,,) ，x,B,cos(,t,,) 故 P,kB kmax P,cB, cmax 由于单自由度系统受迫振动为简谐振动，其振动位移与速度之间相位差相差90?。因而P力与P力之间也具有90?的相位差。故它们的最大合力应为: kc 22222P,P，P,(kB)，(cB,),kB1，(2,,) (5-132) Tkcmaxmax 由(5-81)式知，单自由度系统受迫振动的振幅计算公式为: P0B, 222k(1,,)，(2,,) 112 代入(5-132)式得: 2,,P1，(2)0 (5-133) P,T222(1,,)，(2,,) 主动隔振的隔振效果用隔振系数来获表示。为设备隔振后传给支承的动载荷P,,T 与未隔振时设备传给支承的动载荷的比值。 P0 2,,1，(2)PT, (5-134) ,,222P0(1,,)，(2,,)(2)被动隔振 对于需要防振的设备，为了减小周围振源对它的影响，需要将它与整个地基(或支承) 隔离开来。这种将设备进行隔离，防止周围振源传给设备的隔振称为被动隔振。 i,t在被动隔振情况下，振源是支承的垂直振动。此时，设备也将产生受迫振x,Ues ，，动。设设备的振动位移为x，则设备与支承之间相对位移为，相对速度，且 x,xx,xss i(,t,,)x,Be 式中:——设备位移与支承位移的相位差。 , ，，作用于设备的弹性恢复力与阻尼力分别为、。故被隔振设备的运动k(x,x)c(x,x)ss 微分方程式为: ，，，， mx,,c(x,x),k(x,x)ss 即 ，，，， mx，cx，kx,kx，cxss kc2,,,,因为， nm2m 故前式可改写成: 222i,ti,t，，，， x，2,x，,x,,x，2,x,U(,e，2i,,e)nnssn i(,t,,)，，，x,Be将及及的关系式代入上式，经过运算可得出设备振幅A的计算公式: xx 2,,U1，(2)B, (5-135) 222(1,,)，(2,,) 被动隔振的隔振系数用被隔设备的振幅B与振源的振幅U的比值来表示。 , 2,,1，(2)B,,, (5-136) 222U(1,,)，(2,,)可见当振源是简谐振动时，主动隔振与被动隔振的隔振原理及隔振系数均相同。 (3)幅频响应曲线 以频率比为横坐标，隔振系数为纵坐标，阻尼比为参变量，根据(5-134)或(5-136),,, ,,,式作出如图5-45所示的曲线，也称为幅频响应曲线。 113 10,,0,,0.05 ,,0.1 ,,0.2 ,,0.5,,11ε ,,0.5 ,,0.2 ,,0.10.1,,0.05 ,,0 0.1110λ 图5-45 ,,,曲线 ,,1从图中可以看出:当<<1时，。即当隔振器的固有频率远大于激振频率时，, 没有什么隔振效果。在<的区域内，>1。因而不但没有什么隔振效果，反而会将2,, 原来的振动放大，而且当时，系统还要发生共振。因此把这一区域称为放大区。设,,1 备在启动和停止过程中必定要经过这—放大区，因而在隔振器内应有适当的阻尼，以减小设备在启动和停止过程中经过共振区时的最大振幅。在>2的区域内，<1。这时,,才有隔振效果，故称为隔振区，而且随着的增加，隔振效果增大。 , 若以被隔振器所隔离掉的振动的百分率来计算，则 ,,(1,,)，100, (5-137) ,,81~96,当时，。因此在实用中取已经足够。 ,,2.5~5,,2.5~5 在放大区内增大阻尼可减小共振振幅。但在隔振区内增大阻尼却使隔振效果降低。因此，隔振器阻尼的选择，应综合考虑放大区和隔振区这两方面的要求。 (4)隔振设计步骤 首先要确定按隔振设备的原始数据，如设备的质量、重心、转动惯量，以及振源的大小、方向、频率等。 ,其次，按的要求，来计算隔振系统的固有额率。若设备上作用着几个,,2.5~5m ,振源，在计算时应取激振频率,的最小值。对于多自由度系统，因为有多个固有频率， ,在计算时，则应取系统的最高固有频率。这样才能保证对于各个激振频率和固有频率都能满足隔振效果。 2k,m,然后，计算隔振器的刚度()，并确定隔振器的阻尼大小。 n 在确定了隔振器的参数后，还要进行隔振效率的验算。若不能满足隔振要求，可适当增加设备安装底座的重量，或改变隔振器的参数。 最后，要根据使用要求来选择隔振器的类型，计算隔振器的尺寸和进行结构设计。 114 例5-14 有一精密仪器在使用时要避免振动的干扰，为此用8个弹簧(每边4个并联) 2作隔振装置，已知地板的振动规律为，仪器的质量。仪m,800N,s/mx,0.1sin,t(cm)s 器的容许振幅[B]=0.01cm。试计算每个弹簧应有的刚度。 解:按隔振要求，隔振系数应为: [B]0.011,,,, U0.110 在忽略系统阻尼的情况下，隔振系数的计算公式为: 11, ,,2101,, 故 ,,11 而 ,, ,,,,kn m 所以 , ,11k m 则系统的等效弹簧刚度为: 22800，3.14m,,,,717N/m k1111 所以每根弹簧应有的刚度应为: k717k,,,89.6N/m,0.896N/cm 188 2.轴的临界转速 在工程实践中常常发现，当转轴在某个转速或其附近运转时，会引起剧烈的振动，甚至造成轴承和轴的破坏。而这个转速在数值上一般非常接近于转轴横向振动的固有频 ,n率。这些引起剧烈振动的特定转速称为轴的临界转速，以或来表示。 kk 为了说明这个问题，先分析图5-46所示的单盘转子(它是在一根支承在两个轴承上的竖轴中间，安装一个质量为m的圆盘。圆盘的几何中心在S点，而重心在G点，偏心e,SG距。轴承中心连线则穿过圆盘平面的O点。当转子静止时，圆盘的几何中心S与O点重合。转子开始转动后，轴呈弓形变形，轴中点的动挠度为OS。这时转子有两种运动，一是转子在轴线弯曲后的自身转动，一是弯曲了的轴和轴承中心连线所组成的平面的转动。我们把后一种运动称为弓状回旋。这里仅讨论最简单的所谓同步弓状回旋。即 ,上述两种运动的转速相等，均为的情况。 115 图5-46 单盘转子 取xOy坐标系如图5-46所示，以(x，y)表示圆盘几何中心S的位置，则圆盘重心的坐标为()与()。设轴及其轴承的刚度在x和y方向上均为k，系统的y，esin,tx，ecos,t 阻尼为粘性阻尼，其阻尼系数为c。则在x和y方向的运动微分方程为: 2d， m(x，ecos,t),,kx,cx2dt 2d， m(y，esin,t),,ky,cy2dt 或 2,，，，,,mx，cx，kx,metcos (5-138) ,2，，，my，cy，ky,me,sin,t, 求解这一微方程可得: 22,,,,,,,cos()cos(),,metet,,x,222222,,,,,()()(1)(2),，,，kmc, (5-139) ,22,,,,,,sin(,)sin(,)metet,,,y222222,(,)(,)(1,)(2,,),，,，kmc,由上式即可求得轴的中点的动挠度为: 22,,mee22OS,x，y,, (5-140) 222222(k,m,)，(c,)(1,,)，(2,,)(5-139)式中的是线段SG比线段OS所导前的相位角，它可由下式计算: , ,,,c2,tg,, (5-141) 22k,m,1,, ,可见相位角的大小不仅与系统的阻尼值有关，而且还与转子的转速有关。图5-47, 表示了三种不同转速情况下圆盘重心G和几何中心S之间的相对位置: ,,,11,时，,,时，,,,1时，,,,,,,,,;;。 222 若忽略系统阻尼则(5-140)式可简化为: 116 2,e (5-142) OS,21,, 图5-47 圆盘重心G和几何中心S间相对位置 根据上式，可以看出，当转速很低时，动挠度很小。但当,1，即转速等于系统,, 横向振动的固有频率时，即使转子平衡得很好，e很小，动挠度OS也会趋向无穷大。显然实际上由于轴承产生的阻尼将把挠度限制在一定的有限值，但轴的动挠度仍将比较大而导致破坏。因此我们将这时的转速称为临界转速。即 k,,,, (5-143) knm 若以每分钟转数来表示，则临界转速可表达为: ,60k (5-144) n,rpmk,2 ,1时，动挠度OS即为负值，这意味着动挠度与偏心距反相。当时，当,,,, 。这时，轴围绕其重心旋转，重心G与O点重合，称为自动定心。这时转子运OS,,e 动平稳，没有振动。所以在工程上有不少轴是设计在临界转速以上工作的，这种轴称为超临界轴或柔性轴。 117