利用矢量图研究抛体最大射程问题

利用矢量图研究抛体最大射程问题利用矢量图研究抛体最大射程问题鲁建全 (郑州外国语学校，河南郑州 450001) 最大射程问题是抛体运动中颇具挑战性的题目，一般是利用函数求极值的方 (但在遇到比较复杂的问题时，得出的函数表达式也比较复杂，对大多数法解决高中生来说，要想研究他们的极值，难度很大，数学成了他们解决此类问题的拦路虎(本文改变传统思维方式，利用矢量图研究最大射程问题，数形结合，不需要复杂的计算，希望对读者有所启发( 题目一:水平面上一个小球(可看作质点)，以初速度v斜向上抛出，初速0度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程...

利用矢量图研究抛体最大射程问题鲁建全 (郑州外国语学校，河南郑州 450001) 最大射程问题是抛体运动中颇具挑战性的题目，一般是利用函数求极值的方 (但在遇到比较复杂的问题时，得出的函数表达式也比较复杂，对大多数法解决高中生来说，要想研究他们的极值，难度很大，数学成了他们解决此类问题的拦路虎(本文改变传统思维方式，利用矢量图研究最大射程问题，数形结合，不需要复杂的计算，希望对读者有所启发( 题目一:水平面上一个小球(可看作质点)，以初速度v斜向上抛出，初速0度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程最远,最远射程是多少, 分析:设全过程经过时间t，小球落回水平面的末速度为v，由机械能守恒t可知，末速度大小v=v(全t00v过程速度矢量的改变量0vΔv=gt，方向竖直向下(画 Δv=gt出速度矢量图如图1所示( αxO小球水平位移x=vt，x 矢量v与v所构成矢量三0tvt角形面积图111S=Δvv=vgt，可得xx220v 2x=S(v方向不同，矢量三角形面积也不0Δv=gtg O同，如图2所示(当v朝某一方向使矢量三0 角形面积S最大时，小球水平射程x就达到最大(这样就把研究最大射程问题转化为研究三角形面积何时最大的问题了( vt 由矢量三角形可看出，当v与v垂直t0 图2时，v与v所构成矢量三角形面积最大( 0t 分析如下:我们可把v作为三角形的底边而固0 定不动，v作为三角形的一个腰，方向相对v改变t0vt时，三角形的高就相应改变，当v与v垂直时，三t0 角形的高达到最大等于v，此时三角形的面积达到t 112O最大值S=vv=v ，如图3所示( m0t0v022 图3通过上述分析，题目一的结论我们就不难得出了( 2v20结论:当v与v垂直时，小球水平射程有最大值x=S=(此时初速t0mmgg ,度方向与水平面夹角α=( 4 1 题目二:距水平面高为h处一个小球(可看作质点)，以初速度v斜向上抛0出，初速度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程最远,最远射程是多少, 分析:题目二的思路v0和题目一是一致的(由机械能守恒定律，有αO1122，mv，mgh,mvt022v0h 2x得v=，即末v，2ght0O′Δv=gt速度大小不变(速度矢量图如图4所示( vt 小球水平位移仍是图42x=S(v矢量末端在以0g v为半径的圆弧上，而v矢量末端0t 0在以v为半径的圆弧上，v方向变vt0 化时，v方向也相应变化，对应的t O三角形面积也跟着变化(与前题一Δv=gt样，当v与v垂直时，v与v所构t00t 成矢量三角形面积最大(最大面积 112S=vv=，如图5vv，2ghm0t0022vt所示( 结论:当v与v垂直时，小球t0图5水平射程有最大值 2vv2gh，200x=S=(此时v与水平方向夹角等于v与竖直方向夹角，可得mm0tgg vvv000tanα==(即初速度方向与水平面夹角α=arctan( 22vtv，2ghv，2gh00 题目三:与水平面夹v0 角为θ斜面上一个小球(可看作质点)，以初速度v0αO斜向上抛出，初速度方向与水平方向夹角α为多大v0x时，小球沿斜面方向上射程最远,最远射程是多少, θ 分析:小球落在斜面Δv=gtvt上的水平方向分位移最大图6 2 时，小球沿斜面方向上射程就达到最远，速度矢量图如图6所示( 小球末速度大小随初速度方向的不同而不同，这个矢量三角形有什么规律呢,我们把此抛体运动沿垂直于斜面和平行于斜面两个方向分解，垂直于斜面方向，小球做类似竖直上抛运动(垂直于斜面方向小球上升和下降时间相等，中点时刻小球离斜面距离最远，此时小球速度v方向平行于斜面(这也意味着前半中 1段时间和后半段时间小球速度矢量的变化量相等，即Δv=Δv=gt( 前后2 当v方向变化时，v方向及大0t 小也相应变化，对应的三角形面积也跟着变化(同样当v与v垂直时，0vt0 v与v所构成矢量三角形面积最0tv前=gt/2Δ大，如图7所示( v中O分析如下:v与v所构成矢量0t 三角形面积可分为上下两部分，上 θ半部分由v、v和Δv构成的矢量中前0Δv后=gt/21vt三角形面积S=S，我们只需研上2 究当v方向朝何处，使矢量三角形0图7面积S达到最大(我们可把v作上0 为三角形的底边而固定不动，v和Δv作为三角形的两中前Δv中v前个腰，可以看出，v和Δv所夹角度即三角形的顶角中前 β,ββ=-θ，是定值(从而可知角度改变时三角形的顶点始β2 终落在同一个圆周上，如图8所示(当v和Δv大小中前v0相等时，面积S达到最大(可以证明，此时v与v刚上t0 好垂直( 图8结论:当v与v垂直时，小球在斜面上的射程最t0 ,,,,,远(初速度方向与水平方向夹角α==， ,,,422 v,,,,0v,tan，小球落在斜面上的末速度v=， ,,t042,,,,,,tan,,,42,, 1,,1,,2vtan，v与v所构成矢量三角形最大面积S=vv=， ,,0tm0t02422,, 2v2,,,,0小球落在斜面上的水平方向分位移x =S=， tan，,,mmgg42,, ,,,,2vtan，,,0x42,,m小球在斜面上的最远射程d ==( mcos,gcos, 3

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