数学高考综合能力题选讲22
参数范围型综合问题
题型预测
参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。
范例选讲
例1．对于满足
的一切实数，不等式
恒成立，试求
的取值范围。
讲解：将
视为主元，设
，则
当
时，
>0恒成立。
等价于：
。即
。
解得
。
点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。
例2．已知函数
。
（Ⅰ）将
的图像向右平移两个单位，得到函数
，求函数
的解析式；
（Ⅱ）函数
与函数
的图像关于直线
对称，求函数
的解析式；
（Ⅲ）设
，已知
的最小值是
，且
，求实数
的取值范围。
讲解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）设点
是函数
上任一点，
点
关于
的对称点是
由于函数
与函数
的图像关于直线
对称，所以，点
在函数
的图像上，也即：
。
所以，
；
（Ⅲ）
要求m的取值范围，可以通过构造关于m的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出
的最小值，再令其大于
即可。
解法一。为求
的最小值，注意到
的
表
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达式形同
，所以，可以考虑从
的正负入手。
（1）当
，即
时，由
的值域均为
，可得
。这与
矛盾；
（2）当
，即
时，
是R上的增函数，此时
无最小值，与题设矛盾；
（3）当
，即
时，
是R上的减函数，此时
也无最小值，与题设矛盾；
所以，由（1）（2）（3）可得：当
，即
时，
。
等号当且仅当
，即
时成立。
由
及
，可得：
。
解之得：
。
从另一个角度考虑，“
的最小值是
且
”，也就是说
恒成立。于是，我们可以得到下面的解法：
解法二。由
可得：
。
令
，则命题可转化为：当
时，
恒成立。
考虑关于
的二次函数
。
要使
时，
恒成立。首先必须要求
，此时由于函数
的对称轴
，所以，需且只需
解之得：
。
此时，
，故
在
取得最小值
满足条件。
点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取值范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中，常常要用到一元二次方程的判别式。
例3．设直线
过点P（0，3）且和椭圆
顺次交于A、B两点，求
的取值范围.
讲解：首先，不难得到：
=
。要求
的取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发，可得到下面的两种解法。
解法1: 在
=
中，有两个变量
，但这两个变量的范围很难确定，故需要利用第3个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率k”。于是，问题就转化为“如何将
转化为关于k的表达式”。
只需将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于
的一元二次方程，利用求根公式即可。
当直线
垂直于x轴时，可求得
;
当
与x轴不垂直时，设
，直线
的方程为：
，代入椭圆方程，消去
得
解之得
由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑
的情形.
当
时，
，
，
所以
=
=
=
.
由
, 解得
，
所以
，
综上
。
解法2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定
的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与
联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于
不是关于
的对称式. 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于
的对称式：
。简解如下：
设直线
的方程为：
，代入椭圆方程，消去
得
（*）
则
令
，则，
在（*）中，由判别式
可得
，
从而有
，
所以
，
解得
。
结合
得
。
综上，
。
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
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