中点坐标公式在直线方程中的应用
陕西汉中市405学校 侯有岐 723312
直线方程问题是学习解析几何的基础,涉及到的知识比较多,若能灵活应用,将收到事半功倍的效果.本文例谈中点坐标公式在直线方程中的应用,仅供参考.
一、 过一点直线夹在两条已知直线间的线段中点问题
例1:直线 被两条直线 和 截得的线l: 4x，y，3,0l: 3x,5y,5,0l12
段中点为P，求直线 的方程. (,1,2)l
分析
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: 本题同学们很可能设出 的斜截式,由方程组解得 l 与 l、l的交点 l12
,5,kk，85k，158k，6, 再由中点公式解得 ,代入斜截式A(,)、 B(，)k,,3k，4k，43,5k3,5k
即可,但计算过于繁琐.我们可利用中点坐标,设出A、B两点坐标来求.
: 设 l 与 l 交于A(a，b)，l 与 l 交于B解, 12
因为P是 AB 中点,所以B点为 , (,2,a,4,b)
4a，b，3,0a,,2,, 于是, 解得 即 A(,4， 2),,3(,2,a),5(4,b),5,0b,5,,
由两点式知所求直线 的方程为 . 3x，y，1,0l
l 与 l、l点评: 由本例可知,求出的交点,虽然思路简单,但计算过于繁琐.面12
l 与 l 交于A(a，b)，对此类问题,先设出再利用中点坐标公式表示出1
l 与 l 交于B(2m,a,2n,b)(设中点P(m，n))l、l,由 A、B两点分别在上，212通过解方程组求出点A，后由直线的两点式或点斜式即可求得所求直线(a，b)
方程.
二、 利用中点坐标公式求解决有关对称问题
例2:(1)已知点A(5，8),B(4,1),求A点关于B点的对称点C的坐标.
(2) 已知点A(,4,4),直线 方程为 3x，y,2,0, 求点A关于的对ll
,A称点的坐标.
,1 (3) 求 3x,y,4,0 关于点P (2,)对称的直线 的方程. l
分析: (1)可直接应用中点坐标公式解决;
(2)可根据点关于线对称的特点,利用垂直平分解方程组解决;
(3)可利用中点坐标公式,由中心对称的定义解决.
5，x,4,,x,3,,2解: (1) 设C(, 由中点坐标公式有 得 x,y),,8，yy,,6,,1,,2,
为所求. 所以点C(3,,6)
,,,,,AAA, (2) 设点,因为点A与关于 对称,所以 , 且中点A(x,y)lAA,l
,y,4,,(,3),,1,,x,2,,,x，4在 上,所以 解得 l,,,,,x,4y，4y,6,,3,，,2,0,22,
, 所以点为所求. A(2,6)
(3) 设 上任意一点为,关于P(2,1) 对称点()在直线(x,y)4,x,,2,yl
上, 所以 , 3x,y,4,03(4,x),(,2,y),4,0
所以 , 则所求直线 为 . 3x,y,10,03x,y,10,0l
点评: 涉及“点关于点对称”，“点关于线对称”，“线关于点对称”，“线关于线对称”等问题时，若能恰当应用中点坐标公式，就能使问题的解决更加简洁和富有创新。
,E(x,y) 一般情况下，点E关于直线 : 的对称点，Ax，By，C,0(a,b)l00可通过垂直平分的特点，利用中点坐标公式，解方程组
,ybA,0,(,),,1,,xaB,0 解决. ,，，xayb,00ABC,，,，,0,22,
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