高考数学数列经典题及答案解析

高考数学数列经典题及答案解析 f(0),12n55(设，定义，其中n?N*. f(x),f(x),f[f(x)],a,1n，11nn1，xf(0)，2n(1)求数列,a,的通项公式;(2)若， T,a，2a，3a，？，2na,n2n1232n ,56(设数列的前n项和为，点均在函数y,3x,2的图像上。 {}aS(,)()nSnN,nnn 3(?)求数列的通项公式;(?)设，是数列的前n项和，求使得{}b{}abT,nnnnaann，1 m,对所有都成立的最小正整数m。 nN,T,n20 57(在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，P(x,y),P(x,y)？,P(x,y)？n111222nnn 135y,3x，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，,1为公差的等差PP,nn42数列. ,,xn ?求点的坐标;子?设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，c,c,c,？,c,？Pxn123n 2第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜cPD(0,n，1)cDnnnnnn 111率为，求:. k，，？，nkkkkkk1223n,1n 258(已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点PPxy,411 11作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如PPP32224 1此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点( Pxy(,)PPnn，1nnnn2 (?)令，求证:数列是等比数列(并求数列的前项和为 bxx,,{}b{}bSnnnn2121，,nnn 159.已知数列,,中，在直线y=x上，其中n=1,2,3„. aanaa,,、点(、)2n11nn，2 (?)令 (?)求数列 ,,,,b,a,a,3,求证数列b是等比数列;a的通项;nn,1nnn ST，,,,nn(?)设的前n项和,是否存在实数，使得数列,,,,bS、T分别为数列a、,,,nnnnn,,为等差数列,若存在，试求出.若不存在,则说明理由。 , 1260(已知数列满足:. {a}a,2,a,2(1，)ann，n11n (1)求数列{a}的通项公式; n 2n (2)设，试推断是否存在常数A，B，C，使b,(An，Bn，C),2n ,对一切都有a,b,b成立,说明你的理由; n,Nnn，1n n，2 (3)求证: a，a，？，a,2,612n 0(x,0),61 f(x),,n[x,(n,1)]，f(n,1)(n,1,x,n,n,N*), (1)在[0，3]上作函数y=f(x)的图象 n1 (2)求证: 1,,2,fi()i,1 (3)设S(a) (a?0)是由x轴、y=f(x)的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当n?N* 1时，试寻求与的关系 S(n),S(n,1)f(n,)2 62(已知定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意实f(x)x0数总有恒成立. f(xx，xx),f(x)，f(x)，f(x)x,x010201212 (1)求x的值. 0 11a,,b,f()，1(2)若，且对任意正整数n，有，记f(x),1nn0nf(n)2 4S,aa，aa，？，aa,T,bb，bb，？，bb，比较与T的 Snn1223nn，1n1223nn，1n3 大小关系，并给出证明; 42(3)若不等式对任意a，a，？，a,[log(x，1),log(9x,1)，1]n，n，n122113522不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围. 63(在等差数列中，，，其中是数列的,,,,aS,,14S,a,,14Saan4455nn 22xy前项之和，曲线的方程是，直线的方程是。 y,x，3nC，,1lna4n (1)求数列的通项公式; ,,an (2)当直线与曲线相交于不同的两点，时，令ABClnnn ，求的最小值; ，，M,a，4,ABMnnnnn (3)对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小ll 值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，l 若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线CCllnn间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，Cn 求出该椭圆与直线的“距离”。 l 65(设向量， (n为正整数)，函数在a,(x，2)b,(x，n，2x,1)y,a,b [0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足: b a,,nn nn,,12999,,,,( nbnbbb，,，,,,，，,，，,,,，，121，，,,,,121nn,101010,,,, (1) 求证:( a,n，1n (2) (2)(求的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式( bn (3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对c a b,,, c k,,nnnn 于任意的正整数，都有成立,证明你的结论((注:nc c,nk 与表示意义相同) ,,a,(a，a)a,a，a1212 266(已知函数. fxxx,，，， n11,(1)数列满足: ,,若对任意的aafa,a,0nN,,,,，，,n1nn，1a，12,1ii恒成立,试求的取值范围; a1 1(2)数列满足: ,,记,为数列bbfb,nN,b,1Sc,,,，，，，n1nn，1kn，b1n nT7k的前项和, 为数列的前项积,求证. ccTkk,,,,,,nnk，ST10,1kkk x,0, ,y,0设不等式组所表示的平面区域为D，记D内的格点67(nn, ,y,,nx，3n, (格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点)的个数为f(n)(n?N*). (1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式; n (2)设b=2f(n)，S为{b}的前n项和，求S; nnnn f(n)f(n，1) (3)记，若对于一切正整数n，总有T?m成立，T,nnn2 求实数m的取值范围. ,68(已知数列,,中，且点在直线上. a,1,x,y，1,0a，，Pa,a，，n,Nn1nn1， (1)求数列的通项公式; ,,an 1111 (2)若函数求函数，，f(n),，，，？，n,N,且n,2,n，an，an，an，a123n 的最小值; f(n) 1 (3)设表示数列,,的前项和。试问:是否存在关于的bnb,,Snnnan 整式，使得 ，，gn 对于一切不小于2的自然数恒n，，，，S，S，S，？，S,S,1,gn123n,1n 成立, 若存在，写出的解析式，并加以证明;若不存在，试说，，gn 明理由( 69.一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上n(n?4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推(记数表中第i行的第j个数为f(i,j)( (1)若数表中第i (1?i?n,3)行的数依次成等差数列，求证: 第i+1行的数也依次成等差数列; (2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式; 1 在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a,1)，b= ，试求一(3)iiaaii+1 n111个函数g(x)，使得S=, ，m?( , )，均存在实数，使,bgi()n,i343,1i 得当n,时，都有 Sm,,n n，1n70(已知数列中，，，，,,，，a,0q,0aa,a,q，qb,a，2n1nnn，1n . n,1,2,3,？ ,,an(I)求证数列是等差数列; ,,nq,, 2(II)试比较与的大小; bbb132 bbkn(III)求正整数，使得对于任意的正整数，?恒成立. nkbbk，1n，1 71(已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足:S{a}nd,0nn ，( a,a,45a，a,142314 (?)求数列的通项公式; {a}n Sn (?)通过公式b,构造一个新的数列(若也是等差{b}{b}nnnn，c 数列，求非零常数; c b*n(?)求()的最大值( f(n),n,N(n，25),bn，1 2,R72(已知二次函数f (x)=x+ax()( a 16(1)若函数y = f (sinx +cosx) ()的最大值为，求,Rfx()3x3的最小值; nn，13n,13n，，？，，(2)当a = 2时,设n?N*, S= , 求f(n)f(n，1)f(3n,1)f(3n) 3证:< S < 2 ; 4 (3)当a > 2时, 求证: 2222f (sinxlogsinx+cosxlogcosx) ?1 – a , 其中x?R, x , 22 ,k,且x , k,(k?Z) ，2 73(已知公差大于零的等差数列的前n项和为S，且满足:{a}nn a,a,117a，a,22，( 3425 (1)求数列的通项公式; {a}ann Snb,(2)若数列是等差数列，且，求非零常数c; {b}nnn，c 64bn(3)若(2)中的的前n项和为，求证: {b}2T,3b,Tnnnn,1(n，9)bn，1 2112,55解:(1),2，，， f(0),f[f(0)],f(0)a,,11n，11n2241，f(0)，n 2,1f(0),11，f(0)1,f(0)f(0),111n，1nnna,,,,,,,,a? nn，12f(0)，24，2f(0)2f(0)，22，1nnn，21，f(0)n a11111n,1n，1?，?数列,a,上首项为，公比为的等比数列， a,(,),,,nn42a242n (2) T,a，2a，3a，？，2na,2n1232n11111 ,T,(,)a，(,)2a，(,)3a，？，(,)2na,2n1232n22222 112n[1,()]311131n，2n,142T,，n，(,),两式相减得: (1)T,,2n2n2n1242921，2 S2n56解:(I)依题意得，即。 ,,32nn,,32,nSnn 22，，?2时，a; 当n(32)312(1)65nnnnn,,,,,,,,,,，，assnnn,1，， 2当n=1时，×-2×1-1-6×1-5 1,,3as11 所以。 ,,,5()nNa6nn 31111,,(II)由(I)得，因此，使得b,,,,n,,aannnn,，,,，(65)6(1)526561,,,,，1nn m111m,,nN,，成立的m必须满足?，即m?10,故满足要求的最小整1,，，,,20202261n，,, 数m为10。 53x,,，(n,1)，(,1),,n,57解:(1) n22 13535 ？,,，,,,？,,,,yxnPnn33,(,3)nnn4424 ？(2)的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为:？cPcxnnn 23125n，n，2 (),y,ax，,24 222把代入上式，得，的方程为:。 D(0,n，1)？cy,x，(2n，3)x，n，1a,1nn 11111'？,,,， k,y|,2n，3()nx,0kkn，n，n，n，(21)(23)22123n,1n 1111111111 ,[(,)，(,)，？，(,)]？，，？，kkkkkk257792n，12n，31223n,1n 11111=(,),, 252n，3104n，6 点评:本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。(1)、(2)两问运用几何知识算出. kn 221)因为、在抛物线上，故??，58解:(Pxy(,)Pxy(,)xy,4,xy,4nnnnnn，，，111nnnn，，11 yy,11nn，1又因为直线的斜率为，即，??代入可得PP,nn，1n2xx,2nn，1 22111xx,nn，1,,，,xxnn，1nn,24xx,22nn，1 111， 故？,,,，,，bxxxxxx()(),,,,nnnnnnn2121212221，,，,222322nnn,,,222 b11n，1是以 ,,{}bn44bn 4131为公比的等比数列;， SS,,,,，,(1)1nnnn3444 159解:(I)由已知得 aaan,,，,2,11nn，2 3313 aaa,,,,,,,,,11,2214424 又 baa,,,1,baa,,,1,nnn，1nnn，，，121 ananaa，，，,,(1)1nnnn，，11,baa,,11nnn，，11222 ？,,,,.baaaaaa,,,,,,1112nnnnnnn，，，，2111 31是以为首项，以为公比的等比数列. ？{}b,n24 3131n,1(II)由(I)知， b,,，,,，(),nn4222 3131 ？,,,,，aa1,？,,,,，aa1,nn，121n2222 3131,,,,,, ？,,,,，aaaa,,,,，1,1,32nn,12n,12222将以上各式相加得: 3111 ？,,,,,，，,,,，aan(1)(),n121n,2222 11,(1)n,13131322aannn ？,，,,，,，,,,,，,1(1)(1)2.n1nn,1122222,12 3 ？,，,an2.nn2 (III)解法一: ST，,nn存在，使数列是等差数列. {},,2n 111 Saaann,，，,,,，,，，,,,，，，，,,,，,3()(12)2nn1212n22211(1),22nnn(1)，1333nnnn,,22,，，,32n ,,，,,，，3(1)3.nn1222221,2 31,,(1)n313342Tbbb,，，,,,，,,,,,,，(1). 12nn，1nn12222,12 ST，,ST，,nnnn数列是等差数列的充要条件是、是常数 B){},(,，AnBAnn 2即 STAnBn，,，,,nn 223333nn,nn,31,又 ,,,，,,3(1)(1)ST，,,，，，,，3()nn，nnn12222222 ST，,,nn？当且仅当，即时，数列为等差数列. 10,,{},,22n 解法二: ST，,nn存在，使数列是等差数列. {},,2n nn(1)，由(I)、(II)知， abn，,,22？，,,STn22nnn2 nn(1)，,,,，22nTTnnn,,32,ST，,nn2 ,，T,n2nnn 31,,(1)n313342Tbbb,，，,,,，,,,,,,，(1)又 12nn，1nn12222,12ST，,3233n,,,nn ,，,，()，1nnn222 ST，,nn当且仅当时，数列是等差数列. ？{},,2n aan，121n，n60解:(1)由已知 a,2,()a,即,2,1n，n22n(n，1)n aa1n 是公比为2的等比数列，又 ？数列{},222n1 ann2n ？,2.？a,2,nn2n 2n (2) ？b,b,[An，(4A，B)n，2A，2B，C],2，n1n 22 若恒成立. a,b,b恒成立,则n,An，(4A，B)n，2A，2B，Cnn，n1 A,1A,1,, ,,？4A，B,0,B,,4 ，故存在常数A、B、C满足条件 ,, ,,2A，2B，C,0C,6,, (3) a，a，？，a,(b,b)，(b,b)，？，(b,b),b,b12n2132n，1nn，11 2n，12n，1 ,[(n，1),4(n，1)，6],2,6,(n,2n，3),2,6 2n，1n，1 ,[(n,1)，2],2,6,2,6 61解:(1)当n=1即00 ? ,1n，1 n12n2n，2又 ? 1,,2,,2,fi()n，1n，1,1i (3)由(1)图象中可知:S(n)―S(n―1)表示一个以f(n,1)、f(n)为底，n―(n―1)=1为 高的梯形面积(当n=1时表示三角形面积)，根据(*)可得 211(1)(1)nn,nn，n S(n)―S(n―1)=[(1)()]1[] fn,，fn，,，,22222 211(1)nnn,n()[(1)](1)又可得 fn,,nn,,n,，fn,,，,22222 1 ?S(n)―S(n―1)= f(n,)2 62解:(1)令，得x,x,012 ? f(0),f(x)，2f(0),？f(x),,f(0).00 令，得 ? f(x),f(x)，f(1)，f(0),？f(1),,f(0).x,1,x,00012 由?，?得 为单调函数， ？x,1.f(x),f(1).？f(x)00(2)由(1)得， f(x，x),f(x)，f(x)，f(1),f(x)，f(x)，1121212 ？f(n，1),f(n)，f(1)，1,f(n)，2,f(1),1, 1， ？f(n),2n,1.(n,Z)？a,.n2n,1 1111又 ？f(1),f(，),f()，f()，f(1)2222 11 ？f(),0,b,f()，1.122 111111又， ？f(),f(，),f()，f()，f(1),2f()，1nn，1n，1n，1n，1n，1222222 111n,1 ？2b,2f()，2,f()，1,b.？b,().n，1nnn，1n222 1111111111 ？S,，，，？,(,，,，？，,)n1，33，5(2n,1)(2n，1)213352n,12n，1 11 ,(1,)22n，1 1111111110112n,1n32n,1 T,()()，()()，？，()(),，()，？，()n222222222 11n[1,()]21n24,,[1,()] 1341,4 42121211nn ？S,T,(1,),[1,()],[(),].nn332n，134342n，1nnnnnn,1,110， ？4,(3，1),C3，C3，？，C3，C,3n，1,2n，1nnnn 43114 ？S,T,(,),0.？S,T.nnnnn322n，134 (3)令， F(n),a，a，？，an，1n，22n 111FnFnaaa则 (，1),(),，,,，,,0.2n，12n，2n，1nnn4，14，32，1 12?当时， n,2,n,NF(n),F(n,1),？,F(2),a，a,.343512422 即 log(x，1),log(9x,1),2.？,[log(x，1),log(9x,1)，1].111135352222, ,，1,0,x ,5112,,x,, 解得或 ,9,1,0,,x,1.x,933,，11x,,.249,1x, 63解:(1)?，?，又?，?，S,a,,14S,,14aS,,14a,1554444 4a，aa,a，，1441 ?，?，， S,,14a,,8，，,,2a，1d,,341132 ?。 a,3n,11n 22,xy，,1,2a4，，,a，4x，6ax，5a,0 (2)，由题意，知,nnnn ,y,x，3, 162，，n,，即，?或，即或,,16a,5a,0a,53n,11,53n,11,,5nnn3，即或时，直线与曲线相交于不同的两点。Cn,2n,6n,1ln 22165a,a，，525nn,, ，，M,a，4,AB4242，，,a，,,,,a,,,,nnnnnn424a，,,n 2,925,,,42,9n,,,n,6,,,，?时，的最小值为。 M87n,624,,,n,163,n,1, (3)若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是:CCllnn曲线上的点到直线距离的最小值。 Cln 2 曲线与直线不相交时，，即，，，,,16a,5a,00,a,5Clnnnn 即，?， 3n,11,5n,3,4,5 ?时，曲线为圆，?时，曲线为椭圆。 Cn,3,4Cn,55n 22xy 选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，,1n,324 ，它到直线的距离 M，，2cos,,2sin,l 2cos2sin3,,,，36,32，?椭圆到直线的距离为Cldd,,,,,3min3222 32,1032。 (椭圆到直线的距离为) C,3l422 n，4265解 (1)证:对称轴， 所以在[0，1]y,x，(n，4)x,2x,,,02 上为增函数 ， a,(,2)，(n，3),n，1n n,1n,2999,,,,(2)由得 ，，nb，n,1b，？，2b，b,，，？，，1,,,,12n,1n101010,,,, n,299,,，，，， = 两式相减得n,1b，n,2b，？，b，？，，1,,12n,11010,, n,19,,b，b，？，b,,S,,12nn10,, ？当n,1时，b,S,111 n,219,, 当n,2时，b,S,S,,,,nnn,11010,, ,1？？？？？？？当n1时, ,n,2,即b,19n,,,？？当n,2时,,,1010,,, ,,2？？？？？？？当n1时, ,n,2,,,cab(3)由(1)与(2)得 ,n，19nnn,,？？？当n,2时,,,1010,,,设存在自然数，使对，恒成立 c,ckn,Nnk 23当时， n,1c,c,,0,c,c212110 n,298,n,,当时，， 当时， ？c,cn,2n,8c,c,,,,n，1nn，1n10100,, 当时，，当时， c,cc,cn,8n,8n，1nn，1n所以存在正整数，使对任意正整数，均有 nk,9 c,c,？,c,c,c,c,？12891011 ,解:(1)因为,所以. fxx,，21aa,，21，，nn，1于是,, 为等比数列, aa，,，121a，,10a，1，，,,nn，11n n,1所以, aa，,，112，，n1 n,1111,,从而, ,,,aa112，，,,n1 n111111121,,有.故. a,3,，，，，,，,,1,1,,21n,1aaaa，11222112，，，,,,1i111n,12 (2)因为 , bfb,,，bb(1)，，nn，1nn bb1bb111nn12所以,,, bbb,，(1),,,c,,Tnnn，1nnbb11，，bbbbbb，，nn，12311nnnn 11111111,.即有.由S,,，，,,,c,,,1nkb，1bbbbbbbn，11211，，kkknn 112,显然,知,即.因为,bbb,，1bbb,,,1,2,3b,0bb,,，，kkk，1n123，kk12bbkk，1 1nn111117T116k，，，，，,，,所以 . ,,k,2,,2421666210，STb26,,11kk，1kkk1,667解(1) f(1)=3 f(2)=6 当x=1时，y=2n，可取格点2n个;当x=2时,y=n，可取格点n个 ?f(n)=3n n (2)由题意知:b=3n?2 n 123n,1n S=3?2+6?2+9?2+„+3(n,1)?2+3n?2 n 23nn+1 ?2S=3?2+6?2+„+3(n,1)?2+3n?2n 123nn+1?,S=3?2+3?2+3?2+„3?2,3n?2 n 2nn+1 =3(2+2+„+2),3n?2 n，12,2n，1 =3? ,3n21,2 n+1n+1 =3(2,2),3n n+1?,S=(3,3n)2,6 n n+1S=6+(3n,3)2 n f(n)f(n，1)3n(3n，3) (3) T,,nnn22 (33)(36)nn，， n，1Tn，2n，12,,3(33)nn，Tn2nn2 n，2当时n,,1,1 2n n，2当时n,,2,1 2n n，2当时n,,3,1 2n 在直线上，即，且，68解:(1)由点P(a,a)x,y，1,0a,a,1a,1nn，1n，1n1数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列 an ，同样满足，所以 a,1，(n，1),1,n(n,2)a,1a,nn1n 111f(n),，，？，(2) n，1n，22n 11111f(n，1),，，？，， n，2n，3n，42n，12n，2 111111 f(n，1),f(n),，,,,,02n，12n，2n，12n，22n，2n，1 7f(2), 所以是单调递增，故的最小值是 f(n)f(n)12 11111S(3)b，可得， S,S,(n,2),,1，，，？，nnnn,1nnn23 ， nS,(n,1)S,S，1nn,1n,1 (n,1)S,(n,2)S,S，1n,1n,2n,2 „„ S,S,S，1211 nS,S,S，S，S，？，S，n,1n1123n,1 ，n?2 S，S，S，？，S,nS,n,n(S,1)g(n),n123n,1nn 故存在关于n的整式g(x)=n,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立 69解:(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则fij，1,i，1，， 由题意可得 fijfijfijfijfijfij，，,，,，，，,，，1,11,,1,2,(,1)，，，，，，，，，，，，，，，，，， (其中为第行数所组成的数列的公差) ,，,fijfij,2,,2ddi，，，， (2) fjj1,4,，， 第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等？ 差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次 成等差数列. 设第行的数公差为,则， dd,2diiii，1 iii,,，111 ，所以则dd,，,，,2422i1 ii,1i，， ,,，，222,122fififififi,11,11,221,12,,，,,,，，，，，，，，，，，，， 2iii,1ii,1 ,,，，22,122fi,,,,,，,，21,112fi,，，,，2412i，，，，，，，， iii，1 ,，,，,，，21212ii，，，， fi,1，，i(3)由，可得 fiia,111,，,a,，,，121，，，，，，iii，1 11111,,i所以= 令,则gi,2,,b,，，i,,iii，1ii，1aa22121，，，，2121,,，，，，，1ii 11111,所以 bgi,,S,,,，，inii，1n，1，3，，3212121 111113,m要使得，即，只要=， Sm,,,m,,mnn，1n，1，，3213213 1113,,n，1，，所以只要, ，,m,,？,,,013m21,,m,34413,, 33,,,,即只要,所以可以令, ,,,n,,,log11log1122,,,,,13,m13m,,,, x则当时，都有.所以适合题设的一个函数为 Sm,gx,2n,,，，n n，170解:(I)?，， q,0a,a,q，qn，1n n，1aaqqaa,，,,an，1nn1n?，又,0，即数列是以0为首项，1,,，1,,n，1n，1nnqqqqq,, 为公差的等差数列 ann且，() ，，n,,,,1,2,3a,n,1q,n,1nnq nnn(II) ，，b,a，2,n,1q，2nn 23?，， b,2b,2q，8b,q，4132 2223423? ，，，，，，b,bb,q，4,22q，8,q，8q，16,4q,16213 2432222 ,,，，,q,4q，8q,q，，q,4q，8,qq,2，4,0 2 ?b,bb213 71解:(?)? 数列,,是等差数列， an ? (又， a，a,a，a,14aa,45231423 ,5,9aa,,22 ? ，或( ,,a,9a,533,, ? 公差，? ，( a,5a,9d,023 ? ，( d,a,a,4a,a,d,13212 ? ( a,a，(n,1)d,4n,3n1 12(?)? ， S,na，n(n,1)d,n，2n(n,1),2n,nn12 2Sn,n2n ? b,,( ? 数列是等差数列， ,,bnnn，cn，c ? ( 2b,b，bn，1nn，2 2222(n，1),(n，1)2n,n2(n，2),(n，2)2,,， ? ( (n，1)，cn，c(n，2)，c 212n,n去分母，比较系数，得 ( ? ( c,,b,,2nn12n,2 2nn11f(n),,,(?) ?( 225(n，25),2(n，1)36n，26n，25n，，26n 251当且仅当n,，即时，取得最大值( f(n)n,5n36 ,72解:?令t = sinx +cosx=2sin(x + ), 33?,?–2?t?2, ,Rx 2a22ay = t + at = (t + )– , 24 162当a < 0时, t =–2时,y= 4–2a = , 解得:a = , ,最大33 1112此时, f(x) = (x –)– ,?f(x) = –. 最小值399 162当a ?0时, t =2时,y= 4+2a = , 解得:a = . 最大33 1112此时, f(x) = (x +)– ,?f(x) = –. 最小值399 1综合上述,条件满足时, 的最小值为–. fx()9 nn，13n,13n，，？，，? ? S= f(n)f(n，1)f(3n,1)f(3n) 1111，，？，，=, n，2n，33n，13n，2 1111，，？，，; 设S(n ) =n，2n，33n，13n，2 1111，？，，则S(n+1 ) = n，3n，43n，43n，5 S(n+1 ) –S(n ) = 1311111,，，,>=>0 ; (3n，5)n，2(3n，5)(n，2)3n，33n，43n，5n，2 47453*,,?S(n )在时单调递增，?S = S(n )?S(1) = n,N606041111又,,？,,， n，2n，33n，13n，2 13?S < . (2n，1),2,,2n，2n，2 3?综上有: < S < 2成立. 4 ,22(3) )?x?R, x , k,且x , k,(k?Z), ?sinx, cosx ?(0,1), ，2 2222又sinx+cosx =1, 故设t = sinx, 则有cosx= 1 – t , 设f (t) = t logt + (1 – t ) log (1 – t ) (其中t?(0,1)) 22 tf′(t ) = logt + loge –log (1 – t ) – loge = log. 222221,t 11令f′(t ) = 0, 得t =,当0 < t < 时, f′(t ) < 0, 所以22 11f (t )在(0, )单调递减,当 < t <1时, f′(t ) > 0, 所以f (t )22 111在(,1)单调递增,?t = 时f (t)取最小值等于f() = 222 11111log+log= log= – 1. 22222222 2222即有sinsinx+cosx logcosx ?– 1 . x log22 a2当> 2时, f(x) = x+ax的对称轴x= < – 1, a ,2?f (x)在(– 1,+,)上单调递增, 2222?f(sinx logsinx+cosx logcosx) ?f (–1 ) = 1 – a . 22 73解:(1)为等差数列，?，又， a，a,a，a,22{a}a,a,117n342534 2? ，是方程的两个根 aan,22x，117,034 又公差，?，?， a,aa,13a,9d,03434 ，2,9ad,1a,,11? ? ? a,4n,3,,n，3,13add,41,, n(n,1)2(2)由(1)知， S,n,1，,4,2n,nn2 2Sn,n61512nb,,b,??，，?是等差数b,b,{b}n123n1，c2，c3，cn，cn，c 12列，?，??(舍去) 2b,b，b2c，c,0c,,c,02132 (3)由(2)得: 22n,n22 ，时2T,3b,2(n，n),3(2n,2),2(n,1)，4,4n,1b,,2nnn,n11n,2 bnn6464，26464n取等号，时取等,,,,4n,329nbnnnn(，9)(，9),2(，1)，10，9n，1n，，10n 64bn号，(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以2T,3b, nn,1(n，9)bn，1