苏教版高中数学必修教案：第23课时二面角

第23课时  二 面 角 教学目标： 使学生正确理解二面角及二面角的平面角；通过概念教学，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角，体现由具体到抽象思想。 教学重点： 二面角的平面角。 教学难点： 求作二面角的平面角。 教学过程： 1．复习回顾： 两个平面平行的判定有哪几种方法？各种方法应具备条件是什么？ 两个平面平行的性质有哪些？如何利用性质解决问题？ 这一部分中等价转化思想体现在哪里？ 2．讲授新课： 1.二面角 ［师］两个平面的位置关系包括相交、平行两种，两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画. 而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定. 修筑水坝，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度（如图）。 还有教材中人造地球卫星的发射，需卫星轨道平面和地球赤道平 面成一定的角度. 请同学们再举出生活中例子说明结论. 那就是：为了解决实际问题，需研究两个平面所成的角. ［师］请同学归纳总结二面角的概念.（可与平面角概念对比） 二面角的概念 （1）半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面. （2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫二面角的棱， 这两个半平面叫二面角的面. ［师］（3）常用直立式和平卧式两种（教师和学生共同动手） 直立式：                          平卧式： ［生］（4）二面角的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 在上图（1）中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α—AB—β. 有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P—AB—Q. 如果棱为l，则这个二面角记作α—l—β或P—l—Q. ［师］进一步研究图（2）中∠AOB与∠A′O′B′的大小. 在二面角α—l—β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB. 再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角 ∠A′O′B′. 因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何？ ［生］由OA∥O′A′，OB∥O′B′可知 ∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同. 即∠AOB=∠A′O′B′ ［师］结论说明了什么问题？ ［生］按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关. ［师］由此结果引出二面角的平面角概念. （5）二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 上图（2）中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角. 前边举过门和门所在墙的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角. 二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度. 本书中 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 二面角的大小范围为0°~180°. 当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°. ［师］若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角. 除教材例外，举出一个二面角为直二面角的例子. ［生］教室相邻墙构成的二面角就是直二面角. 如图DD1⊥A1D1，DD1⊥D1C1 ∴∠A1D1C1为二面角A1—D1D—C1的平面角 ∵∠A1D1C1=90° ∴该二面角为一直二面角. ［师］在作图时注意两种情形. （1）它是一个“平面角”，它的两边必须在同一 平面内，AB、CD虽各在两个平面内，且都垂直于棱， 但不在同一平面内，所以AB和CD不成平面角. （2）二面角的平面角的两边必须都与棱垂直，∠ABC的顶点虽在棱上，两边也分别在两个半平面内，但BC不与棱垂直，所以∠ABC不是二面角的平面角. 下面阅读例1，并简要分析 例1：河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m） 分析：人升高了多少？实质上就是求人所在位置到水 平面距离，问题就转化为解 Rt△EFG，而直角三角形的求解靠二面角平面 角来完成，找二面角的平面角就成为关键. 解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线 AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度. 在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连结FG. 则FG⊥AB 即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角. ∠EFG=60°, 由此得EG=EFsin60° =CEsin30°sin60°=10× =2.5 ≈4.3（m）. 答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m. ［师］学生思考问题. 两条相交直线对顶角相等. 两个平面相交时，形成一些二面角，其中有些二面角有类似对顶角的位置关系， 二面角α—ΑΒ—β和二面角α′—AB—β′相等. 这样的两个二面角有公共的棱 它们的面合在一起恰是两个相交平面. 具有这样特殊位置的两个二面角大小相等. 但二面角α—AB—β和二面角β—AB—α′是互补的. 例2：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。 解：作AC⊥l于c，连结BC ∵PA⊥α，l α      ∴PA⊥l 又AC⊥l，AC∩PA＝A ∴l⊥平面PAC        ∴l⊥PC ∵PB⊥β，l β    ∴PB⊥l      又PB∩PC＝P        ∴l⊥平面PBC ∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC ∴∠ACB就是所求的二面角 △PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7      ∴∠P＝600 ∴∠ACB＝1200 3．课堂练习： 课本P47  练习1. 4．课时小结： 1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念； 2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义. 5．课后作业： （一）课本P47  习题  1~7. （二）预习： 如何判定两个平面垂直？两个平面垂直后具有什么性质？ 备课资料 一、求作二面角的平面角 求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种： 1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角. 2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线. 3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角. ［例1］（2002年高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 江苏卷）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°. 分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD其棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径. 证法一：利用定义法 经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE 因底是正方形，故CD＝DA △CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90° 则CE⊥PD 故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角 设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC 因 OA＝ × a＝a，AE＜AD＜a  cos∠AEC＝ ＝ ＜0 所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°. 证法二：运用三垂线法 ∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB ∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD 过B作BE⊥PA则BE⊥面PAD 在面PBC内作PG BC，连GD 经C作CF⊥面PAD于F 那么连结EF，有EF AD 经F作FG⊥PD于H，连CH 则∠FGH是所求二面角平面角的补角 因CF⊥FH，故∠FHC是锐角 则面PAD与面PCD所成二面角大于90° 此结论证明过程中与棱锥高无关. 证法三：利用垂面法找平面角. 在证法一所给图形中 连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD ∴AC⊥PD 经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE 即PD⊥CE 故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角 以下同证法一. 评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得，证法二用的是三垂线法，关键在找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透立体几何的割补法求解问题，证法三是利用作垂直于棱的垂面，找交线是主要的. 二、用面积法求解二面角问题［面积射影］ 在运用上述方法找二面角的平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式cosθ＝ ，θ是二面角的大小，S′是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积. ［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小. 解：△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC 因E点射影为A，B1点射影为B 设正方体棱长为a 则S△ABC＝ a2 又在△EB1C中， B1E＝ a，B1C＝ a，EC＝ a 故cos∠B1EC＝ ∴sin∠B1EC＝ ∴ 设面MB1C和面ABCD所成的二面角为θ 则cosθ＝ 那么所求二面角的大小为arccos . 评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.S′＝S△ABC ，S＝S .