第7章参数估计

第7章  参数估计 一、基本要求 (1) 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的基本MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714167078704_0——无偏性、有效性（最小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 估计量的无偏性；会比较两个无偏估计量的方差；会利用大数定律证明估计量的相合性． (2) 掌握求估计量的方法——矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩． (3) 掌握建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法． (4) 掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法． 二、内容提要 统计推断，就是由 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 推断总体，是统计学的核心内容，其两个基本问题是统计估计和统计检验．统计推断的众多分支、应用、方法及原理都是围绕着估计与检验建立和展开的．参数估计，就是根据样本来估计总体的未知参数，分为点估计和区间估计． ㈠ 评选估计量的标准  点估计是用统计量的值估计未知参数的值；作估计用的统计量称为估计量；估计量是随机变量，它所取的具体值称为估计值．例如，对于任意总体 ，可以分别用样本均值 和样本方差 做总体的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 期望 和方差 的估计量．我们用统计量 （有时简记为 ）做未知参数 的估计量，其中 是简单随机样本 的函数． 同一个未知参数 一般有多个可供选择的估计量．评选估计量的标准，是对于估计量优良性的要求，考试大纲要求掌握无偏性、有效性（最小方差性）、相合性． 1、无偏性  称估计量 为未知参数 的无偏估计量，如果 = ． 2、有效性  假设 和 都是 的无偏估计量，那么如果 ，则称估计量 比 更有效．在未知参数 任何两个无偏估计量中，显然应该选更有效者——方差较小者． 3、相合性  称估计量 为未知参数 的相合估计量，如果 依概率收敛于 ．换句话说，当 充分大时，相合估计量 以十分接近１的概率近似等于它所估计的未知参数 ，即 ．相合性一般是大数定律的推论． ㈡ 求估计量的方法 考试大纲要求掌握最常用的两种求估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法． 1、矩估计法  矩估计法，是用样本矩估计相应的总体矩、用样本矩的函数估计总体矩相应函数的一种估计方法．矩估计法无需知道总体的分布．总体的 阶原点矩和 阶中心矩定义分别定义为 和 (k=0,1,2,…)． 考试大纲只涉及一阶矩和二阶矩．矩估计法的步骤为： (1) 用 阶样本原点矩 估计 阶总体原点矩 ，用 阶样本中心矩 估计总体的 阶中心矩 ．例如，用一阶样本原点矩——样本均值 = 估计总体的数学期望 ，用二阶样本中心矩——未修正样本方差 估计总体的方差DX ． (2) 设 是一阶原点矩 和二阶原点矩 的函数，则 就是 的矩估计量(见例7.19)． (3) 设 (i=1,2)是一阶原点矩 和二阶原点矩 的函数，则 就是 (i=1,2)的矩估计量(见例7.5、例7.18~7.20)． 2、最大似然估计法  最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学表达式．我们用概率函数 表示总体 的概率分布，其中 是一维参数或 是二维参数．对于离散型总体X，其概率函数为 对于连续型总体 ，其概率函数 就是概率密度． (1) 似然函数  设总体 的概率函数为 ， 是来自总体 的简单随机样本，则称函数 为参数 的似然函数；称函数 为对数似然函数，亦简称似然函数． (2) 最大似然估计量  对于给定的样本值 ，使似然函数 或 达到最大值的参数值 ，称做未知参数 的最大似然估计值．对于几乎一切样本值 ，使似然函数 或 达到最大值的估计量 ，称做未知参数 的最大似然估计量，即最大似然估计量 （以概率1）决定于条件： ． (3) 似然方程  由函数有极值的必要条件，得方程 或  ， 称做参数 的似然方程；假如未知参数 是二维的，则得似然方程（组） 或              在相当广泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估计量．一般，要用微积分中判断最大值的方法来判断似然方程的解是否最大似然估计量．有时，只能用近似计算的方法求解似然方程．在有些情形下，似然函数对 的导数不存在，这时应采用其他方法求最大似然估计量(见例7.19，例7.21和例7.27)． (4) 最大似然估计量的函数  假设参数 的函数 有唯一反函数，而 是 的最大似然估计量，则 是 的最大似然估计量． ㈢ 参数的区间估计 未知参数 的区间估计，亦称 “置信区间”，是以统计量为端点的随机区间 ,它以充分大的概率包含未知参数 的值，其中区间的端点 和 是统计量． 1、置信区间  设 是总体X的未知参数， 是来自总体X的简单随机样本， 是两个统计量，满足 ， 则称随机区间 为参数 的置信度为 的区间估计或置信区间，简称为 的 置信区间；区间的端点——统计量 分别称做置信下限和置信上限．对于具体的样本值 ， 是直线上一个普通的区间，称做置信区间的一个实现． 置信度是随机区间 “包含”或“覆盖”未知参数 的值的概率．置信度一般选充分接近１的数，例如 ＝0.95．直观上，如果多次使用置信度为0.95的置信区间 估计参数 ，则该区间平均有95%的实现包含 的值，不包含 值的情形大致只有5%左右． 2、单侧置信区间  设 和 都是参数 的 置信区间，其中 和 是已知常数或无穷大，则 称做下置信区间，而 ——上置信区间． 3、置信区间的求法  设 是总体 的未知参数， ＝ 是来自总体 的简单随机样本．建立未知参数 的 置信区间的一般步骤为（见例7.26和例7.27）： (1) 选择一个包含参数 的样本的函数 ，但是其分布不依赖于参数 ；假设 是 的反函数； (2) 对于给定的置信度 ，根据 的概率分布选两个常数(分位数) 使之满足条件 ； (3) 利用 和 之间的反函数关系，由(7.11)式可得 ， 其中，若 是 的增函数，则 ， ；若 是 的减函数，则 ， ；由此得参数 的 置信区间 ． 注  式(7.11)中 的选择有一定任意性，因此具有相同置信度的置信区间并不惟一．对于对称分布（如正态分布、 分布）以及偏度不大的分布（如 分布和 分布），通常按如下原则选取 ： ． ㈣ 正态总体参数的区间估计 正态总体参数的置信区间，主要是一个正态总体均值和方差的置信区间，以及两个正态总体均值差和方差比的置信区间． 1、一个正态总体参数的区间估计  假设总体 ， 是来自总体 的简单随机样本； 是样本均值， 是样本方差．表7-1列出了 和 的 置信区间． 表7-1  和 的 置信区间 未知参数 置信区间 分 位 数 附表2 未知 附表2 附表3         2、两个正态总体参数的区间估计  假设 ， ； 和 分别是来自总体 和 的简单随机样本， ， ， ， 是相应的样本均值和样本方差； 是联合样本方差(见(6.16)式)． 和 的 置信区间列入表7-2． 表7-2  均值差 和方差比 的 置信区间 未知参数 置信区间 分位数 , 已知 附表2 , 未知 = 附表2 附表4         三、典型例题及其分析 例7.2.1 设 是从正态总体 中抽出的样本，要求估计 和 . 【解】 已知 .因此可用样本一阶原点矩和二阶原点矩去估计. 【解毕】 实际上，不论总体服从什么分布，其总体均值的矩估计量都是样本均值 ，总体方差的矩估计量都是二阶样本中心矩，即 例7.2.2 设 是从区间 上均匀分布的总体中抽出的样本，求 的矩估计. 【解】          因此 所以 就是 的矩估计量.                          【解毕】 例7.2.3 设总体X~ ，样本值 ，求 的极大似然估计值. 【解】  总体分布密度 样本的似然函数为    取对数，得对数似然函数 对 求偏导数，并令其为零，得似然方程组 其根为  这就是 与 的极大似然估计值（数学上可以验证， 确实在 ， 处达到极大值）. 的极大似然估计量为 【解毕】 【注】此例说明了求未知参数极大似然估计的方法. 例7.2.4 设总体X~ ，来自总体 的样本 .求 的极大似然估计. 【解】 的分布密度 样本 的似然函数为 由此式可见，要 最大，只要 最小，而由 的表达式知，当 时， 为最小，此时 最大.故 的极大似然估计值为 ，而似然估计量为 【解毕】 例7.3.1 设 是从某总体中抽出的样本，则样本均值 是总体分布均值 的无偏估计. 【证明】 设总体 的分布的期望 ，每个样本 的分布与总体分布相同，因此其均值 ，而    因此，样本均值 是总体均值的无偏估计量.                          【证毕】 【注】 由此例题可知：在正态总体 中，用 估计 在指数分布总体中，用 估计 （指数分布密度函数为 ）；在二项分布总体中用 估计 （二项分布概率分布为 ），以及在泊松分布总体中用 估计 （泊松分布概率分布为 ）等，都是无偏估计. 例7.5.2 样本方差 是总体分布方差 的无偏估计. 【思路】 将样本方差 表达式分解，再求期望. 【证明】 设总体分布期望为 ，方差为 ，则 而  其中  所以        于是 故 是 的无偏估计.                                          【证毕】 【注】  二阶样本中心矩 是正态总体 方差 的矩估计和极大似然估计.但是，它却不是 的无偏估计，因为 例7.3.3 设总体 的样本 ，则当 时， 比 有效. 【思路】  首先想到样本均值是总体均值的无偏估计，则比较哪个有效的问题就转化为方差大小的比较问题. 【证明】  由例7.3.1知， 由例7.3.2知， 显然  所以 比 有效. 例7.3.4 试证：样本均值 是总体均值 的相合估计. 【证明】  由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，即对于任给 ，有      因此， 是 的相合估计.                                  【证毕】 例7.3.5 试证明二阶样本中心矩 是总体方差 的相合估计. 【思路】  本题只要能证明 即可，仍要基于大数定律来证. 【证明】  设总体 的均值为 方差为 . 则  所以 因此 依大数定律 依概率收敛于 ，而 依概率收敛于0，故 依概率收敛于 ，即它是总体方差 的相合估计.                    【证毕】 【注】样本方差 也是总体方差 的相合估计. 例7.4.1 用某仪器间接测量温度，重复测量5次，得 试问，温度的真值在什么范围内？ 【思路】  先把问题化为数学问题.用 表示温度的真值， 表示测量值. 通常是一个正态随机变量，假定仪器无系统偏差. 现测量5次，得到 的5个样本值.问题就是在未知方差（仪器的精度）的情况下，找 的置信区间.设 【解】  利用式(7.2)， 的置信区间为