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椭圆与双曲线常见题型归纳.doc

椭圆与双曲线常见题型归纳

黄杰雄
2019-02-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《椭圆与双曲线常见题型归纳doc》,可适用于综合领域

椭圆与双曲线常见题型归纳一“曲线方程直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解向量综合型例在直角坐标系中点到两点的距离之和为设点的轨迹为,直线与交于两点。(Ⅰ)写出的方程   (Ⅱ)若求的值。例解:(Ⅰ)设P(xy)由椭圆定义可知点P的轨迹C是以为焦点长半轴为的椭圆.它的短半轴故曲线C的方程为.(Ⅱ)设其坐标满足消去y并整理得故.若即.而于是化简得所以.例.设、分别是椭圆的左、右焦点(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点求的最大值和最小值(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、且∠为锐角(其中为坐标原点)求直线的斜率的取值范围例.解:(Ⅰ)解法一:易知所以设则因为故当即点为椭圆短轴端点时有最小值当即点为椭圆长轴端点时有最大值解法二:易知所以设则(以下同解法一)(Ⅱ)显然直线不满足题设条件可设直线联立消去整理得:∴由得:或又∴又∵即 ∴故由①、②得或例.设、分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点求的最大值和最小值(Ⅱ)若C为椭圆上异于B一点且求的值(Ⅲ)设P是该椭圆上的一个动点求的周长的最大值例.解:(Ⅰ)易知所以,设,则因为故当即点为椭圆短轴端点时有最小值当即点为椭圆长轴端点时有最大值(Ⅱ)设C() 由得又所以有解得 (Ⅲ)因为|P|+|PB|=-|PF|+|PB|≤+|BF|∴周长≤+|BF|+|B|≤.所以当P点位于直线BF与椭圆的交点处时周长最大最大值为.例.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(,)右顶点为()求双曲线C的方程()若直线l:与双曲线C恒有两个不同的交点A和B且(其中O为原点)求k的取值范围。例.解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为(Ⅱ)将由直线l与双曲线交于不同的两点得即 ① 设则而于是  ②由①、②得    故k的取值范围为例.已知椭圆(a>b>)的离心率过点A(b)和B(a)的直线与原点的距离为.()求椭圆的方程.()已知定点E()若直线y=kx+(k≠)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值使以CD为直径的圆过E点请说明理由.例.解析:()直线AB方程为:bxayab=.依题意 解得 ∴ 椭圆方程为 .…………………分 ()假若存在这样的k值由得.∴ .          ①设、则      ②…………………………………………分而.要使以CD为直径的圆过点E()当且仅当CE⊥DE时则即.…………………………………………分∴ .        ③将②式代入③整理解得.经验证使①成立.综上可知存在使得以CD为直径的圆过点E.………………………分.“中点弦型”例已知椭圆试确定的值使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例解:设的中点而相减得即而在椭圆内部则即例已知双曲线的中心在原点焦点在轴上离心率焦距为()求该双曲线方程()是否定存在过点)的直线与该双曲线交于两点且点是线段的中点?若存在请求出直线的方程若不存在说明理由例()()设直线:代入方程得()则解得此时方程为方程没有实数根。所以直线不存在。例.已知椭圆的中心在原点焦点为FF()且离心率。(I)求椭圆的方程(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B且线段AB中点的横坐标为求直线l倾斜角的取值范围。例.解:(I)设椭圆方程为解得 a=所以b=故所求方程为  …………………………分(II)设直线l的方程为代入椭圆方程整理得…………………………分由题意得 …………………………分解得  又直线l与坐标轴不平行 ………………………故直线l倾斜角的取值范围是  …………………………分.“弦长型”例.直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点记△AOB的面积为S.(I)求在k=<b<的条件下S的最大值(Ⅱ)当|AB|=S=时求直线AB的方程.例(I)解:设点A的坐标为(点B的坐标为由解得所以当且仅当时.S取到最大值.(Ⅱ)解:由得①|AB|=     ②又因为O到AB的距离 所以 ③③代入②并整理得解得代入①式检验△>故直线AB的方程是 或或或.例.已知向量=(x)=()=(x)=(y)(其中xy是实数)又设向量==-且点P(xy)的轨迹为曲线C(Ⅰ)求曲线C的方程(Ⅱ)设直线与曲线C交于M、N两点当|MN|=时求直线l的方程例解:(I)由已知…………………………………分……………………………………分即所求曲线的方程是:……………………………分(Ⅱ)由解得x=,x=分别为MN的横坐标)………………分由……………………………………………………分所以直线l的方程x-y=或xy-=…………………………分二.“基本性质型”例.设双曲线的方程为A、B为其左、右两个顶点P是双曲线上的任一点引AQ与BQ相交于点Q。()求Q点的轨迹方程()设()中所求轨迹为、的离心率分别为、当时求的取值范围。例解:()设∵∴∵∴∴化简得:经检验点不合题意∴点Q的轨迹方程为()由()得的方程为∵∴∴。例.P为椭圆上一点、为左右焦点若()求△的面积()求P点的坐标.例.解析:∵a=b=c= ()设则 ①②由①-②得  ()设P由得 将代入椭圆方程解得或或或例.已知双曲线与椭圆共焦点且以为渐近线求双曲线方程.(分)例 解析:由椭圆. 设双曲线方程为则 故所求双曲线方程为例代表实数讨论方程所表示的曲线例解:当时曲线为焦点在轴的双曲线当时曲线为两条平行的垂直于轴的直线当时曲线为焦点在轴的椭圆当时曲线为一个圆当时曲线为焦点在轴的椭圆。

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