【word】 一种新的非线性波浪周期概率分布

【word】 一种新的非线性波浪周期概率分布 一种新的非线性波浪周期概率分布 第33卷第1期 2011年1月 海洋 ACTAOCEANOIOGICASIN1CA VoI.33,NO.1 January2011 一 种新的非线性波浪周期概率分布 张军,宋文鹏,葛勇 (1.国家海洋局第三海洋研究所,福建厦门361005;2.国家海洋局海洋溢油鉴别与损害评估技术重点实验室,山 东青岛266033;3.国家海洋局北海环境监测中心,山东青岛266033) 摘要:在最大熵原则的基础上,通过解一条件变分问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,导出一种新的适用于描述非线性波浪周期 丁统计分布的概率密度函数.这种概率分布有如下的优越性:(1)该分布的参数是由无因次周期的 m(m为正数)阶分布矩得出.从而周期的信息熵达到最大,故适用于描述波浪周期的非线性;(2)该 分布有4个参数,从而更能符合最大熵原则;(3)该分布形式简单且其 参数容易由已知观测数据确 定,从而便于理论和实际应用.用实验室风浪槽中不同风速下和不同风区处实测的风浪的周期数 据对此概率密度函数进行验证,结果显示概率密度函数与各组实测数据符合良好,且优于 IonguetHiggins导出的周期分布. 关键词:非线性波浪;最大熵原则;周期 中图分类号:P731.21文献标志码:A文章编号:02534193(2011)01-0012-05 1引言被定义为 由于海浪具有不容忽视的非线性和巨大的不确 定性,因此我们很难得到合适的波浪周期分布.就 作者所知,目前惟一的由理论导出的周期分布是由 LonguetHiggins_1]导出的,这个分布在近半个世 纪以来被广泛的应用于海洋科学和技术领域.然 而,由于该分布是在线性理论和窄谱假定的基础上 导出的,必然无法体现海浪周期的非线性特性.因而 与实际观测数据有相当的差距. 随着海洋科学的发展,迫切需要一种能体现海 浪的非线性的周期分布来适应形势的发展.然而, 至今没有在文献中找到这样的分布.本文将在最大 熵原理的基础上导出一个能够很好的反映海浪非线 性的周期分布. 2最大熵周期概率密度函数的导出 对于一由多个个随机事件构成的系统,信息熵 ?In一一?plnp,(1) 式中是事件i的概率密度函数(以下称PDF). 众所周知,在信息论中信息熵反映的是的无序 性,也就是”无知性”.信息熵与不确定性和”无知 性”之间的关系在Ulrych和Bishop的文章中做 了很好的阐述:不需要事先的任何假定来描述变化 的信息但是能最大限度的表达信息的不确定性,这 正是最大熵原理的优越性. 在此,周期丁定义为是波浪经过两个上跨零点 之间经历的时问,这是周期的最通用的定义,如此定 义可以反映随机变量的连续性.在我们文章中周期 丁的信息熵()可以表达为: r( E(T)一I厂(丁)lnf(『)dT,(2)J0 式中厂(T)是T的PDF.在以下讨论中,T将代表 海浪周期.(T)满足以下约束条件 收稿日期:20100305;修订日期:2010—10-12. 基金项目:国家自然科学基金(40706012);国家海洋局青年基金 (2008209);财政部基本科研业务费专项资金(海三科2007010). 作者简介:张军(1973),男,山东省泰安市人,副研究员,博士,从事物理 海洋学研究.E—mail:zhangj@tiosoa.CII 1期张军等:一种新的非线性波浪周期概率分布l3 I厂(T)dT一1,(3) ?0 rfx lln丁厂(T)dT—C<CXD,(4) J0 - —— fT_厂(丁)dT—T一C<c>o(m>0),?0 (5) 式中,为正数,上划线值代表均值,也就是期望值. 应当指出这些约束条件是理所当然的而不是先验指 定的.显然,条件(3)是约束_厂(T)为一正随机变量的 PDF,而条件(4)是约束当卜.3或+0时厂(T)一o (即当超过某个基本值时_厂(T)一O);对于作为随机 变量的海浪周期T,这两个约束条件是理所当然的. 约束条件(5)是指厂(丁)的m(为任意正数)阶原点分 布矩存在,也就是说当,厂超出某个值时.厂(T)一0.此 时值与前人的工作中的值不同_,它是正数,且 是待定参数,而不是单纯的指定为正整数. 在前人的工作中,式(3),(5)都被部分地提出, 并推导出关于波高或波面位移的PDF并取得了不 错的效果.但这些工作都是取值为指定的正整 数,而本文将要在考虑式(3),(5),且此处为正 数,而不只是正整数,由12,卢,y和”这4个参数共同 作用的非线性波浪周期的PDF. 由概率论可证明,对于一个正随机变量,如果它 的阶矩存在,那么它的所有m(m<n)阶矩一定存 在,因此约束条件(5)可等价地代之以 r…—— IT厂(T)dT===T”<Co.(6) J0 依照最大熵原理,我们的目标是是要寻求这样 一 个厂(T):它能在满足约束条件(3),(4)和(6)的 情况下使E(丁)达到最大值.这是一个条件变分问 题,此问题的欧拉方程为: FLT1一 a[_,(,r)Inf(了4-flo,(T)+_,(rr)T’l一70_,(InTj一 —————————lrJr)r——————— (7) 式中,和y是待由上述约束条件确定的常数, 由式(7)得到最大熵周期的PDF: -厂(丁)===aTexp(一),(8) 式中”,,卢,y仍然是需由约束条件确定的常数,它 们与和y的关系如下 fd_一1+0, i- 卢一一(9) l . Ly— 将式(7)分别代人约束条件(3)以及(5)得: ‘‘ (10) T一升”PE(y++1)/] 0<m?,(11) 此处I1[]代表众所周知的gamma函数.利用以 上两式,我们可以将为任意正数时f(T)的参数 ,卢,7用T分布矩表示出来. 取优一手,号,,n,分别带入式(11),同时利 用式(10)得: 再一}?rE(y+寻+)/]一 ?兰 /3I’L(),+1)/J 一 睁FE(y+号+1)j]一 ===兰, rL(y+1)/ === 号州r[(y++/]一 ===… rL(y+1)/J 一 (件州rE(Y+”+1)/]一 ,z 面PE(而Yq而-2)/nH~一y+l,(15)[(y+1)/]’, 式(12)立方方后除以式(14),式(13)平方后除以式 (]5)得. (T号). T丁3n 一 14-..于I,.[(),+)/](y1)’… 通过(16),(17)两式可数值求出y,值,再由式 (15)和式(10)求出d,值. 为方便起见,我们引入无因次周期r r一,r/(18) 一 海洋33卷 (r)一ahe一.(20) 一 ?T一1,2,3,4, .N (21) 一 ?一1,2,3 3实验室试验数据验证 一 +1(1,).]× (辜二)一..,..2,…,...1 +[u+(?+).]』一’ 以讨论,它们就是图1一图6(由于是无因次分布,图 中横坐标和纵坐标都没有单位,为方便起见,最大熵 分布写为f(r),图中标注为n,gonguet,Higgins分 布写为fo.(r),fo.z(r),…,图中标注为0.1, 0.2,…). 图1两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速6m/s,风区40m) 图2两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速8m/s,风区22m) 图3两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速8m/s,风区34m) l期张军等:一种新的非线性波浪周期概率分布15 图4两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速14m/s,风区10m) 图5两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速14m/s,风区22rn) 4结论和讨论 本文通过解决一个条件变分问题,在最大熵的 基础上得到了一种非线性波浪周期概率分布.通过 图1图6的比较我们可以得出以下结论: 参考文献: 6 5 4 — 3 々 1 O T 图6两种无因次周期分布与实测资料 的对比(风速14m/s,风区37m) (1)Longuet—Higgins周期分布只是描述了海 浪的一种理想化的状态,它只能在非线性特性非常 弱的情况下近似的符合观测事实.当非线性较强或 很强时,Rayleigh分布与观测事实必然存在偏差,这 种现象已经为大量的实验室和海上观测资料所证 实.提出一种新的非线性波浪周期分布是本文的一 个创新点. (2)该分布能同时体现非线性周期的”偏度” (Skewness)和”尖度”(kurtosis),故厂(r)能很好地 描述海浪周期T的非线性.因而相对于Longuet— Higgins周期分布,该分布与观测数据的拟合程度 要好得多,能较好地反映波浪周期的非线性. (3)相对于前人只是提出3参数的最大熵分布, 4参数最大熵周期分布的提出是本文的又一个创新 点.4个参数的分布,比单纯的指定值为某个正 整数要更加符合最大熵原则. (4)分布的4个参数可以由各阶分布矩方便的 表示出来. [1]I.ONGUET—HIGGINSMS.Onthejointdistributionofperiodsandampl itudesofseawavesEJ].JGR,1975,8O(18):2688--2694. [2]LONGUET-HIGGINSMS.Onthejointdistributionofperiodsandamplitudesinarandomwavefield[J].ProcRoySoc,1983,A389: 241258. Es]UIRYCHTJ,BISH()PTN.Maximumentropyspectralanalysisandautoregressivedecomposition[J].ReviewsofGeophysicsand SpacePhysics,1974,l3(1):183—2OO. [4]吴克俭,孙孚.最大熵原理与海浪波高的统计分布[J].海 洋,1996,l8(3):2l一26. Es]徐福敏.最大信息熵原理在波高分布中的应用[J].河海大 学,2000,28(1):6771. [6]周良明,郭佩芳.最大熵原理应用于海浪波高分布的研究[J].海洋 科学进展,2005,23(4):414—421. [7]XUDe—lun,ZHANGJun,ZHENGGui—zhen.Maximumentropyestim ationofyearextremewaveheights[J].ChinaOceanEngineering, 2004,l8(2):307314. [8]ZHANGIz,XUDI.Anewmaximumentropyprobabilityfunctionforthesurfaceelevationofnonlinearseawaves[J].ChinaOcean 16海洋33卷 Engineering,2004,19(4):637—646. [9]张军,葛勇,陈航宇,等.r年重现期波高的最大熵估计EJ].台湾海 峡,2006,25(2):153159. E1o]张军,葛勇,陈航宇,等.基于最大熵原理的非Rayleigh海浪波高的 统计分布[J]. 中国海洋大学,2008,38(2):189--194 Anewprobabilitydistributionofnon—linearwaveperiods EnvironmentalMonitoringCenter,StateOceaniAdmisr”f0 卵,Q”d”o266033,Chi行n) Abstract:Basedonthemaximumentropyprinciple,aprobabilitydensityfunction(PDF)fortheperiodsof randomwavesisderivedthroughsolvingavariationalproblemsubjecttosomequitegeneralconstraints. Themainpointsofthemethodareasfollows:(1)theparametersinthefunctionareexpressed m—thdistri— bto”moments(18positivenumber).ThisPDFmaximizestheinformationentropyofT,soitiswell ..mpetentfordescribingthedistributionofTofnonlinearseawaveswithlargeuncertaintv ;(2)thisPDF havetourparameters,SOIt1Swellcompetentforthemaximumentropyprinciple;(3)itsparameterscan besimplydeterminedfromavailabledata. ComparisonsbetweenthePDFandtheobserveddistributionsof Perodsdatamadefromwaverecordsmeasuredinawindwavetunnelshowwel lsatisfyingagreementsa nd ismorefavorablethantheIonguet—HigginsPDF. Keywords:non,linearwave;themaximumentropyprinciple;periods